精品解析： 江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校2025-2026学年九年级上学期10月份素质测试数学试卷

2025-2026学年度扬州市梅苑双语九年级上学期10月份素质测试数学试卷 2025.10.11 一、选择题 1. ⊙O半径为4，点A在内，则的长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点A在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 2. 如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求出∠ABD=30°，根据相似三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3. 下列说法正确的是（　　） A. 直径是经过圆心的直线 B. 半圆是弧 C. 大于劣弧的弧叫作优弧 D. 长度相等的弧是等弧 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误 【详解】解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在圆上，有固定长度，故A错误； 选项B：半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为，故B正确； 选项C：优弧是大于半圆（）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定“在同圆或等圆中”，且“大于劣弧”的弧可能仍为劣弧（如弧大于劣弧，但仍是劣弧），故C错误； 选项D：等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧（如不同半径的圆中可能存在长度相等的弧），故D错误； 故选B 4. 如图，在中，直径 与弦 相交，连接，．若，则的大小为( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，连接，根据圆周角定理得，则有，然后通过圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 6. 如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作，如图所示， ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心， ∴， 故选：A． 7. 如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键． 设D的坐标是，则B的坐标是，根据矩形的面积即可求得的值，把D的坐标代入函数解析式，即可求得k的值． 【详解】解：设D的坐标是，则B的坐标是． ∵矩形的面积为，， 把D的坐标代入函数解析式得： ， 故选：D． 8. 如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】运用正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质综合推理判断． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°， ∵∠PAQ＝45°， ∴∠BAP+∠QAD =45°， ∵BM是正方形的外角的平分线， ∴∠MBC=135°， ∴∠BAP+∠APB=45°， ∴∠QAD＝∠APB， ∴②正确； ∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线， ∴∠ABP=∠QDA=135°， ∵∠QAD＝∠APB， ∴△ABP∽△QDA， ∴BP：DA=BA：DQ， ∴BP•DQ＝， ∴①错误； ∵△ABP∽△QDA， ∴BP：DA=BA：DQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA， ∴BP：BC=DC：DQ， ∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线， ∴∠PBC=∠QDC=45°， ∴△BPC∽△DCQ， ∴∠BCP=∠DQC， ∴∠PCQ=360°-∠BCD-∠BCP-∠DCQ=270°-（∠DQC+∠DCQ）=270°-（180°-∠CDQ）=135°. ∴③正确； 如图，将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接PF．则△ABF≌△ADQ． ∴∠1=∠3，AF=AQ，BF=DQ，∠AFB=∠AQD． ∴∠PAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠PAQ=45°． ∴∠PAF=∠PAQ． 又∵AP=AP， ∴△APF≌△APQ．∴PF=PQ． ∵∠PBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AQD+∠3）+45°=90°． ∴在Rt△BPF中，， ∴． ∴④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质．熟练掌握上述性质，灵活运用旋转构图求解是解题的关键. 二、填空题 9. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是___________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似时周长比等于相似比，能够熟练运用性质是解题关键．利用三角形相似的性质解题即可． 【详解】解：∵与相似， ∴相似比为：， ∴周长的比为：， ∵的周长为：， ∴的周长为：， 故答案为：． 10. 如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 _________． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 11. 如图，在菱形中，为上一点，连接，，交于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形的面积比等于相似比的平方，平行四边形的对边平行且相等，平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似，据此解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， 故答案为：． 12. 如图，四边形、四边形、四边形都是正方形，且点、、、在同一直线上，则____． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出线段、、的长度用表示，求出两个三角形对应边的比，进而证明∽，问题即可解决． 【详解】证明：设小正方形的边长为， 由勾股定理得： ， ； 而 同理可证：，； ， 即， ∽， ； ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”是解题的关键. 13. 如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过点作于点，根据切线的性质可知轴，故可得出四边形是矩形，所以，再求出的长，由垂径定理可得出的长，故可得出的长，进而得出点坐标，再把点坐标代入直线即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵与轴相切于点，∴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴， ∴，∵直线恰好平分的面积， ∴点在直线上， ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出点坐标即可得出结论． 14. 如图，某人与一座建筑物的距离，他站在A处，将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，若此时眼睛到食指的距离约为，食指的长约，则该建筑物的高度约是___________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．核心是利用相似三角形对应边成比例的性质，将实际问题中的长度测量转化为数学中的比例计算． 根据题意证明，再通过对应边成比例来计算建筑物的高度即可． 【详解】∵，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24． 15. 若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则_________． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了不共线三点确定一个圆，求一次函数解析式，解一元二次方程等知识；根据题意求出直线的解析式，把点C的坐标代入函数解析式中，求得m的值，则当m不取这些值时，三点不共线，能确定一个圆． 【详解】解：直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 把点C的坐标代入得：， 即， 解得：， ∴当或时，A、B、C三点能确定一个圆； 故答案为：4或． 16. 如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为__________ 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 设半径为，根据切线长定理得到，，，在中，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 【详解】解：设半径为， ∵在中，，是的内切圆， ∴在四边形中，， 四边形为矩形． 又∵， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理知：，， ，， 在中，， ． 整理，得：， 解得，负值舍去， ，． ∴． 故答案为：30． 17. 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，证明可求得，再证明可求出，再由证明，由相似三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：过点作交于点，如下图， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键． 18. 如图，在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，取的中点利用中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键；连接，取其中点E，连接，则，当点E在线段上时，取得最大值；由中位线定理及直角三角形的性质可分别求得的长，从而求得的最大值． 【详解】解：如图，连接，取中点E，连接， 则，当点E在线段上时，取得最大值，且最大值为； ∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∵是的中点，， ∴， ∴ ∴的最大值为． 故答案为：． 三、解答题 19. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形； ； （2） 解：如图，点M就是所求的点； ； （3） 解：如图，点D就是所求的点． ． 【解析】 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）取格点C和点D，使，，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，中，弦，相交于点，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2） 证明：∵，， ∴，， 在和中： ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键． （1）根据等弧所对的弦相等进行证明即可； （2）根据等弧所对的圆周角证明即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ； （2）12 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分． （1）求证：； （2）若点F在上，且，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ， 在的内接四边形中，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答； （2）利用圆内接四边形的性质可得，即可求得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，四边形为圆内接四边形， ， ， ， 23. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，． （1）若，求线段的长． （2）若的面积为1，求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2）平行四边形的面积为6． 【解析】 【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答； （2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得的面积是16，同理可得的面积是9，根据面积差可得答案． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 的面积为1， 的面积是16， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积是9， 平行四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键． 24. 如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC． （1）若，求的度数． （2）若，求长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理，解题的关键是利用垂径定理得出垂直平分，结合等腰三角形等边对等角及圆周角与圆心角的关系推导角度和线段长度． （1）先由（半径相等）得；再根据为直径得，结合得；最后通过角的和差关系及同角的余角相等推导 的度数． （2）先由得半径，结合求出的长度；再在中用勾股定理算的长；最后根据垂径定理得出结果． 【小问1详解】 解：∵、均为的半径， ∴， ∴（等边对等角）． ∵为的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角），即． 又∵于E， ∴，即． ∴（同角的余角相等）． 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴（半径等于直径的一半）． ∵， ∴． ∵于E， ∴（垂径定理），且为直角三角形． 在中，由勾股定理得： ， 即， ， ∴（线段长度为正）． ∴． 答：的长度为． 25. 如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； （1）求两个路灯之间的距离； （2）当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 【答案】（1）两路灯的距离为 （2）当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，再证明，利用相似比可得，则，解得； （2）如图2，他在路灯A下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【小问1详解】 解：， ， ，即， ， ， ， ，即， ，而， ∴， ∴． 答：两路灯的距离为； 【小问2详解】 解：如图2，他在路灯A下的影子为， ， ， ∴，即， 解得． 答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是． 26. 如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． （1）求证：是半圆O的切线； （2）连接，若，，则长为 ． 【答案】（1） 解：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是半径 ∴是半圆O的切线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理，勾股定理，圆周角定理，角平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由圆周角定理得，证明，结合，得出，即可作答． （2）先由圆周角定理得，运用勾股定理，结合等面积法列式计算，因为角平分线的判定与性质，得，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵以半圆O的直径为边作 ∴ 过点F作 ∵ ∴ ∴ 由（1）得 ∵ ∴ 故答案为：4 27. 【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是 ． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 【答案】（1）； （2）判断：，理由： 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， ，，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明和全等，即可得到； （2）根据矩形的性质证明，得到，即可证得结论； （3）过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，先证明，证得是固定值，进而证得点的运动轨迹是直线，然后将的最小值转化为求的最小值，即点，，三点同一直线时，，取得最小值，求即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， , ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，则， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得， ， ， 的最小值为的最小值，即， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是在判断三角形全等和相似时出现“手拉手”模型证明对应角相等及利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值． 28. 如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”． （1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D． ①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________； ②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”； （2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，求直线l的函数表达式． 【答案】（1）①D；10；②⊙O关于直线n的“特征数”为6；（2）直线l的解析式为y=-3x+7或y=x+ 【解析】 【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在Rt△EOF中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可； （2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,用待定系数法同理可得，消去b1和b2，得到关于m、n的方程组；根据⊙F关于直线l的“特征数”是，得出NA=，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=10，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏． 【详解】解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D， ⊙O关于直线m的“特征数”为DB·DE=2×5=10； ②如下图：过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q， ∵直线n的函数表达式为， 当x=0时，y=4；当y=0时，x=， ∴直线n经过点E（0，4），点F（，0）， 在Rt△EOF中，∵tan∠FEO===， ∴∠FEO=30°， ∴∠EFO=60°， 在Rt△HOF中，∵sin∠HFO=， ∴HO= sin∠HFO·FO=2， ∴PH=HO+OP=3， ∴PQ·PH=2×3=6， ∴⊙O关于直线n的“特征数”为6； （2）如下图，∵点F是圆心，点是“远点”， ∴连接NF并延长，则直线NF⊥直线l，设NF与直线l的交点为点A（m，n）， 设直线l的解析式为y=kx+b1（k≠0）, 将点与A（m，n）代入y=kx+b1中， ②-①得：n-4=mk-k，③ 又∵直线NF⊥直线l， ∴设直线NF的解析式为y=x+b2（k≠0）, 将点与A（m，n）代入y=x+b2中， ④-⑤得：-n=+，⑥ 联立方程③与方程⑥，得： 解得：， ∴点A的坐标为（，）； 又∵⊙F关于直线l的“特征数”是，⊙F的半径为， ∴NB·NA=， 即2·NA=， 解得：NA=， ∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2， 即(m+1)2+n2=10， 把代入，解得k=-3或k=； 当k=-3时，m=2，n=1， ∴点A的坐标为（2，1）， 把点A（2，1）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y=-3x+7； 当k=时，m=-2，n=3， ∴点A的坐标为（-2，3）， 把点A（-2，3）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y=x+． ∴直线l的解析式为y=-3x+7或y=x+． 【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度扬州市梅苑双语九年级上学期10月份素质测试数学试卷 2025.10.11 一、选择题 1. ⊙O半径为4，点A在内，则的长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（　　） A. 直径是经过圆心的直线 B. 半圆是弧 C. 大于劣弧的弧叫作优弧 D. 长度相等的弧是等弧 4. 如图，在中，直径 与弦 相交，连接，．若，则的大小为( )． A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 9. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是___________． 10. 如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 _________． 11. 如图，在菱形中，为上一点，连接，，交于点，若，则______． 12. 如图，四边形、四边形、四边形都是正方形，且点、、、在同一直线上，则____． 13. 如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 __________________． 14. 如图，某人与一座建筑物的距离，他站在A处，将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，若此时眼睛到食指的距离约为，食指的长约，则该建筑物的高度约是___________． 15. 若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则_________． 16. 如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为__________ 17. 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点，若，则的长为___________． 18. 如图，在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最大值是________． 三、解答题 19. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 20. 如图，中，弦，相交于点，．求证： （1）； （2）． 21. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分． （1）求证：； （2）若点F在上，且，求的度数． 23. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，． （1）若，求线段的长． （2）若的面积为1，求平行四边形的面积． 24. 如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC． （1）若，求的度数． （2）若，求长度． 25. 如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； （1）求两个路灯之间的距离； （2）当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 26. 如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． （1）求证：是半圆O的切线； （2）连接，若，，则长为 ． 27. 【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是 ． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 28. 如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”． （1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D． ①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________； ②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”； （2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，求直线l的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $