专题06 长方体、正方体的特殊类问题（期中专项训练）六年级数学上学期（苏教版）

专题06 长方体、正方体的特殊类问题（期中专项训练） 目录 题型1立体图形的切拼问题 1 题型2组合体的表面积、体积 3 题型3体积的等积变形 5 题型4测量不规则物体的体积 6 题型1立体图形的切拼问题 1．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）如图所示的长方体是由棱长1分米的小正方体拼成的。若从编号①②③④⑤⑥的六个小正方体中拿掉两个，使所剩部分的表面积比原来长方体的表面积多4平方分米。下面可以选择的拿法是（    ）。 A．①③ B．③④ C．②④ D．①② 2．（24-25六年级上·江苏南通·期中）观察下图中数字1、2、3所在位置，挖掉（    ）处的一个小正方体后，剩下部分的表面积最大。 A．数字1 B．数字2 C．数字3 D．无法确定 3．（23-24六年级上·江苏扬州·期中）下边的长方体正好可以截成3个棱长1厘米的正方体。截开后，三个正方体表面积的和与原来长方体相比，（    ）。 A．不变 B．增加2平方厘米C．增加4平方厘米 D．增加6平方厘米 4．（24-25六年级上·江苏盐城·期中）最少需要（    ）个相同的小正方体木块可以拼成一个大正方体。 A．6 B．8 C．9 D．27 5．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）下面的物体是用1立方厘米的正方体摆成的，它的体积是（    ）。 A．9立方厘米 B．8立方厘米 C．10立方厘米 6．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）如图，在一个长8分米、宽5分米、高6分米的木盒内，最多可以放（    ）个棱长为2分米的小正方体木块。 A．24 B．28 C．30 D．240 7．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）用棱长为1厘米的小正方体拼成下面的图形，这个图形的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 8．（23-24六年级上·江苏常州·期中）一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了（ ）平方厘米，体积增加了（ ）立方厘米。 9．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）一个长方体，如果宽增加2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加32平方厘米，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 10．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）把1.6米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.8平方分米，原来这根木料的体积是（ ）立方分米。 11．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）一个长方体，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，求原来长方体的体积是（ ）立方厘米。 12．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是（ ）平方分米；剩余的体积是（ ）立方分米。 13．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）将下面的长方体切成两个完全一样的小长方体，使这两个小长方体的表面积之和最小，你来画一画，并算出一个小长方体的表面积。 14．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）一个长方体按图中三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了36平方厘米、24平方厘米、12平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？若长、宽、高都是整厘米数，体积是多少立方厘米？ 题型2组合体的表面积、体积 1．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）（如图）一个棱长为3cm的正方体，如果从它的顶点处挖去一个棱长1cm的小正方体，这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积（    ）。体积和原来的正方体相比（    ）。 A．增加了；没有变B．没有变；减少了C．减少了；增加了 D．无法确定 2．（23-24六年级上·江苏徐州·期中）将两个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积（    ）。 A．增加8平方分米 B．减少8平方分米 C．不变 3．（23-24六年级上·江苏连云港·期中）王浩用几个棱长为2厘米的正方体木块摆了一个物体。下图是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）立方厘米。 A．24 B．32 C．40 D．48 4．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）下图都是用棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 5．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图是由棱长1厘米的小正方体堆积起来的，它的体积是（ ）立方厘米，表面积是（ ）平方厘米。至少再添（ ）个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。 6．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）用棱长2厘米的小正方体摆成下边的物体。这个物体的表面积是（ ）平方厘米，至少添加（ ）个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。 7．（23-24六年级上·江苏南京·期中）如下图，每个小正方体的棱长是1分米，按照这样的规律继续摆下去，第③个立体图形的表面积是（ ）平方分米，第⑥个立体图形共有（ ）个小正方体。 8．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）下面是用棱长为1厘米的小正方体摆成的立体图形。 表面积是6平方厘米，体积是1立方厘米。 （1）表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米； （2）表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米； （3）当放置到5层时，这个立体图形的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 题型3体积的等积变形 9．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）把一个棱长8分米的正方体钢坯，锻造成一段横截面面积是16平方分米的长方体方钢，锻造成的这段方钢长多少分米？ 10．（23-24六年级上·江苏扬州·期中）只列综合算式（或方程），不计算。 把一块棱长是0.6米的正方体钢坯，锻造成横截面面积是0.08平方米的长方体钢材，锻成的钢材长多少米？ 11．（23-24六年级上·江苏徐州·期中）把一个棱长是6厘米的正方体钢材，锻造成一个长18厘米，宽8厘米的长方体钢材，长方体钢材的高是多少厘米？（用方程解） 12．（24-25六年级上·江苏连云港·期中）学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长6厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长3厘米、宽2.5厘米的长方体模具，制作成蜡烛。 （1）实验发现：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是（    ）发生了变化，没有产生（    ）。 （2）求制作成的蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 题型4测量不规则物体的体积 1．（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个无盖的正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，水深2分米。小明在水里放了一条鲫鱼后测得水面高为2.2分米。鲫鱼体积为（    ）立方分米。 A．13.2 B．12 C．1.2 D．1.8 2．（23-24六年级上·山西临汾·期中）在一个装满水的正方体容器里，放入2块体积各是200cm3的铁块，使铁块完全浸没水中，容器里的水会溢出（    ）。 A．200cm3 B．400cm3 C．600cm3 3．（24-25六年级上·江苏扬州·期中）下面是测量一个土豆体积的实验步骤，但顺序被打乱了。 ①列式计算出土豆的体积。 ②找一个长方体无盖透明塑料罐，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米。 ③将土豆完全浸没在水中，量出水面高度22厘米。 ④倒入适量的水，量出水面高度15厘米。 实验的正确顺序应该是： → → → （填序号）。 算一算，这个土豆的体积是（ ）立方厘米。 4．（24-25六年级上·江苏·期中）一个长方体玻璃缸，长6分米，宽5分米，高6分米，其中水深2.8分米，若投入一个棱长为3分米的正方体铁块（底部与玻璃缸底部完全接触），则水面上升（ ）分米。 5．（24-25六年级上·广西钦州·期中）一个长方体容器，底面是边长9分米的正方形，容器内部灌有水，将一个铁球放入容器，容器内部水位升高了6厘米，这个铁球的体积为多少？ 6．（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个足够高的长方体容器中装有水，小明将一个棱长厘米的正方体铁块完全浸没在水中（水没有溢出），水面上升了厘米；再将一个长厘米、宽厘米、高厘米的长方体铁块也完全浸没在水中（水仍没有溢出），水面又会上升多少厘米？ 7．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）乐乐为了计算一块石头的体积，按下面的过程进行了操作，同学们请你根据下面的信息，算出这块石头的体积是多少立方厘米？ 8．（24-25六年级上·江苏南京·期中）王师傅用下面5块长方形玻璃制作了一个无盖的长方体鱼缸。 （1）做这长方体的鱼缸需要多少平方分米的玻璃？ （2）这个长方体鱼缸的容积是多少升（鱼缸玻璃厚度不计）？ （3）在鱼缸注入深为3分米的水，并在鱼缸中放入一块假山石（假山石完全浸没在中）水面上升了1分米。假山石的体积是多少立方分米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 长方体、正方体的特殊类问题（期中专项训练） 目录 题型1立体图形的切拼问题 1 题型2组合体的表面积、体积 9 题型3体积的等积变形 15 题型4测量不规则物体的体积 17 题型1立体图形的切拼问题 1．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）如图所示的长方体是由棱长1分米的小正方体拼成的。若从编号①②③④⑤⑥的六个小正方体中拿掉两个，使所剩部分的表面积比原来长方体的表面积多4平方分米。下面可以选择的拿法是（    ）。 A．①③ B．③④ C．②④ D．①② 【答案】C 【分析】棱长1分米的小正方体，一个面的面积是1×1＝1平方分米。从编号是①②③④⑤⑥的六个小正方体中拿掉两个，拿掉左右两边相邻的两个表面积不变，拿掉中间相邻的两个表面积增加2个小正方形，拿掉中间1个表面积会增加2个小正方形，想增加4平方分米，得拿中间的且不相邻的两个，所以拿②④或③⑤或②⑤都可以。据此解答。 【解答】根据分析可得： 1×1＝1（平方分米） 使所剩部分的表面积比原来长方体的表面积多4平方分米。就要拿②④或③⑤或②⑤。 故答案为：C 2．（24-25六年级上·江苏南通·期中）观察下图中数字1、2、3所在位置，挖掉（    ）处的一个小正方体后，剩下部分的表面积最大。 A．数字1 B．数字2 C．数字3 D．无法确定 【答案】B 【分析】挖掉数字1处的一个小正方体，表面积不变；挖掉数字2处的一个小正方体剩下部分表面积增加了4个小正方形的面积，挖掉数字3处的一个小正方体，增加2个小正方形的面积，所以挖掉数字2处的小正方体后剩下部分的表面积最大。据此解答即可。 【解答】由分析可知： 挖掉数字2处的一个小正方体后，剩下部分的表面积最大。 故答案为：B 3．（23-24六年级上·江苏扬州·期中）下边的长方体正好可以截成3个棱长1厘米的正方体。截开后，三个正方体表面积的和与原来长方体相比，（    ）。 A．不变 B．增加2平方厘米C．增加4平方厘米 D．增加6平方厘米 【答案】C 【分析】把长方体截成3个棱长1厘米的正方体，则三个正方体表面积的比原来长方体多4个正方体的面的面积，据此解答即可。 【解答】1×1×4 ＝1×4 ＝4（平方厘米） 则三个正方体表面积的比原来长方体多4平方厘米。 故答案为：C 【点评】本题考查长方体和正方体的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。 4．（24-25六年级上·江苏盐城·期中）最少需要（    ）个相同的小正方体木块可以拼成一个大正方体。 A．6 B．8 C．9 D．27 【答案】B 【分析】用同样大小的正方体可以拼成一个大正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，由此即可解答。 【解答】2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 所以最少需要8个相同的小正方体木块可以拼成一个大正方体。 故答案为：B 5．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）下面的物体是用1立方厘米的正方体摆成的，它的体积是（    ）。 A．9立方厘米 B．8立方厘米 C．10立方厘米 【答案】C 【分析】体积表示物体所占空间的大小叫做物体的体积，根据题意，一个小正方体的体积是1立方厘米，数出图形中有几个小正方体，体积就是几立方厘米，据此解答。 【解答】 有2层，上层2个小正方体，下层有8个小正方体，一共有2＋8＝10（个）小正方体。 1×10＝10（立方厘米） 它的体积是10立方厘米。 故答案为：C 6．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）如图，在一个长8分米、宽5分米、高6分米的木盒内，最多可以放（    ）个棱长为2分米的小正方体木块。 A．24 B．28 C．30 D．240 【答案】A 【分析】从题意可知：这个木盒的长是8分米，用8÷2＝4个，得长边可放4个棱长为2分米的正方体；宽5分米，用5÷2≈2个，得宽边最多可放2个正方体；用6÷2＝3个，得高边可放3个正方体，即可放3层。因此这个木盒可以放4×3×2＝24个正方体。 【解答】长：8÷2＝4（个） 宽：5÷2＝2（个）……1（分米） 高：6÷2＝3（个） 4×3×2＝24（个） 最多可以放24个棱长为2分米的小正方体木块。 故答案为：A 7．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）用棱长为1厘米的小正方体拼成下面的图形，这个图形的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】44 16 【分析】小正方体的每个面都是正方形，根据，可求出每个面的面积，观察可知， 这个图形从正面和后面看都有8个面，从上面和下面看都有6个面，从左面和右面看都有8个面，用每个面的面积乘面的总数可得这个图形的表面积。 观察可知这个图形一共有16个小正方体，根据，代入数据计算小正方体的体积，再用小正方体的体积乘16，即可得这个图形的体积。 【解答】 （平方厘米） （立方厘米） 用棱长为1厘米的小正方体拼成下面的图形，这个图形的表面积是44平方厘米，体积是16立方厘米。 8．（23-24六年级上·江苏常州·期中）一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了（ ）平方厘米，体积增加了（ ）立方厘米。 【答案】96 192 【分析】根据题意可知，高增加3厘米，表面积增加了一个长是8厘米，宽是8厘米，高是3厘米的长方体的侧面积；根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出增加部分的面积；体积增加了一个长是8厘米，宽是8厘米，高是3厘米的长方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】（8×3＋8×3）×2 ＝（24＋24）×2 ＝48×2 ＝96（平方厘米） 8×8×3 ＝64×3 ＝192（立方厘米） 表面积增加了96平方厘米，体积增加了192立方厘米。 9．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）一个长方体，如果宽增加2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加32平方厘米，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】32 【分析】宽增加2厘米，就变成一个正方体，说明长方体的侧面是正方形，而且宽比长和高都少2厘米；这时表面积比原来增加32厘米，表面积增加的部分就是宽为2厘米的4个侧面的面积；由此求出一个侧面的面积；进而求出长方体的长、宽和高；再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】32÷4÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 4－2＝2（厘米） 长方体的长是4厘米，宽是2厘米，高是4厘米， 4×2×4 ＝8×4 ＝32（立方厘米） 这个长方体的体积是32立方厘米。 10．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）把1.6米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.8平方分米，原来这根木料的体积是（ ）立方分米。 【答案】11.2 【分析】根据题意，平均锯成3段，增加4个截面的面积，用增加的面积÷4，求出一个截面的面积，再根据长方体体积＝底面积×高，代入数据，求出长方体木料的体积，即可解答（注意单位名数的换算）。 【解答】1.6米＝16分米 2.8÷4＝0.7（平方分米） 0.7×16＝11.2（立方分米） 把1.6米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.8平方分米，原来这根木料的体积是11.2立方分米。 11．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）一个长方体，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，求原来长方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】288 【分析】由题意可知，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，即减少了长为2厘米的长方体的侧面积，用48除以2即可求出长方体的底面周长，根据正方形的周长公式：C＝4a，据此求出长方体的底面的宽和高，最后根据长方体的体积公式：V＝abh，据此计算即可。 【解答】48÷2＝24（厘米） 24÷4＝6（厘米） （6＋2）×6×6 ＝8×6×6 ＝48×6 ＝288（立方厘米） 则原来长方体的体积是288立方厘米。 12．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是（ ）平方分米；剩余的体积是（ ）立方分米。 【答案】150 115 【分析】根据题意可知，长方体削成一个最大正方体，正方体的棱长等于长方体的高；根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出这个正方体的表面积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，分别求出长方体木块的体积和削成正方体木块的体积，再用长方体木块的体积－削成正方体木块的体积，即可解答。 【解答】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 8×6×5－5×5×5 ＝48×5－25×5 ＝240－125 ＝115（立方分米） 一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是150平方分米；剩余的体积是115立方分米。 13．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）将下面的长方体切成两个完全一样的小长方体，使这两个小长方体的表面积之和最小，你来画一画，并算出一个小长方体的表面积。 【答案】图见详解；90平方厘米 【分析】根据题意，将长方体切成两个完全一样的小长方体，则表面积会增加两个截面的面积；因为5×2＜10×2＜10×5，所以平行于长方体的左右面切割增加的表面积最小，据此画图。 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出一个小长方体的表面积。 【解答】如图： 10÷2＝5（厘米） （5×5＋5×2＋5×2）×2 ＝（25＋10＋10）×2 ＝45×2 ＝90（平方厘米） 答：一个小长方体的表面积90平方厘米。 14．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）一个长方体按图中三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了36平方厘米、24平方厘米、12平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？若长、宽、高都是整厘米数，体积是多少立方厘米？ 【答案】72平方厘米；36立方厘米 【分析】根据图可知，若用三种不同的方法切成两个完全一样的长方体，每一种切法就增加两个面，把三种切法增加的面积相加，即可求出长方体的表面积。 根据长×高×2＝36，长×宽×2＝24，宽×高×2＝12，据此求出长、宽、高，再根据长方体体积＝长×宽×高，求出长方体体积。 【解答】36＋24＋12 ＝60＋12 ＝72（平方厘米） 36÷2＝18，即长×高＝6×3； 24÷2＝12，即长×宽＝6×2； 12÷2＝6，即宽×高＝2×3； 长方体的长是6厘米，宽是2厘米，高是3厘米。 6×2×3 ＝12×3 ＝36（立方厘米） 答：原来长方体的表面积是72平方厘米，体积是36立方厘米。 题型2组合体的表面积、体积 1．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）（如图）一个棱长为3cm的正方体，如果从它的顶点处挖去一个棱长1cm的小正方体，这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积（    ）。体积和原来的正方体相比（    ）。 A．增加了；没有变B．没有变；减少了C．减少了；增加了 D．无法确定 【答案】B 【分析】从正方体顶点处挖去一个小正方体，看上去表面积减少了3个小正方形，又出现了同样的3个小正方形，因此表面积不变；现在的体积＝大正方体体积－小正方体体积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此分析。 【解答】原来正方体表面积：3×3×6＝54（cm2） 现在表面积：3×3×6＝54（cm2） 原来正方体体积：3×3×3＝27（cm3） 现在体积：3×3×3－1×1×1 ＝27－1 ＝26（cm3） 54＝54、26＜27 这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积没有变。体积和原来的正方体相比减少了。 故答案为：B 2．（23-24六年级上·江苏徐州·期中）将两个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积（    ）。 A．增加8平方分米 B．减少8平方分米 C．不变 【答案】B 【分析】将两个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积会减少了两个边长为2分米的正方形的面积，据此解答即可。 【解答】2×2×2 ＝4×2 ＝8（平方分米） 所以，将两个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少8平方分米。 故答案为：B 3．（23-24六年级上·江苏连云港·期中）王浩用几个棱长为2厘米的正方体木块摆了一个物体。下图是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）立方厘米。 A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】B 【分析】观察图形可知，这个物体有上、下2层，左、中、右一共3列；中间1列有2个正方体，左边1列有1个正方体，右边1列有1个正方体，因此这个物体一共有（1＋2＋1＝4）个正方体组成；每个正方体棱长为2厘米；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算出1个正方体的体积，再乘4，所得结果即为这个物体的体积。 【解答】1＋2＋1＝4（个） 2×2×2＝8（立方厘米） 8×4＝32（立方厘米） 因此这个物体的体积是32立方厘米。 故答案为：B 4．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）下图都是用棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】 30 8 【分析】边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米，从前面看有6个小正方形，从上面看有5个小正方形，从右面看有4个小正方形，前后面看到的小正方形个数一样，左右面看到的小正方形个数一样，上下面看到的小正方形个数一样，因此表面积＝（从前面看到的小正方形个数＋从上面看到的小正方形个数＋从右面看到的小正方形个数）×2； 棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，底层5个小正方体，中间1层2个小正方体，最上层1个小正方体，组合体的体积＝小正方体的总个数，据此分析。 【解答】（6＋5＋4）×2 ＝15×2 ＝30（平方厘米） 5＋2＋1＝8（立方厘米） 它的表面积是30平方厘米，体积是8立方厘米。 5．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图是由棱长1厘米的小正方体堆积起来的，它的体积是（ ）立方厘米，表面积是（ ）平方厘米。至少再添（ ）个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。 【答案】8 28 19 【分析】棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，这个立体图形有几个小正方体体积就是几立方厘米。观察可知，一共有3层，最上层1个小正方体，中间1层3个小正方体，最下层4个小正方体，将3层个数相加即可确定体积； 边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米，这个立体图形的表面有多少个小正方形，表面积就是多少平方厘米。从前面看有5个小正方形，从上面看有4个小正方形，从右面看有5个小正方形，前后面看到的个数一样，上下面看到的个数一样，左右面看到的个数一样，（前面看到的个数＋上面看到的个数＋右面看到的个数）×2＝表面积； 拼成的稍大正方体棱长上至少有3个小正方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出稍大正方体需要的小正方体个数，减去已有小正方体个数，即可求出需要添上的小正方体的个数。 【解答】1＋3＋4＝8（立方厘米） （5＋4＋5）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 3×3×3－8 ＝27－8 ＝19（个） 它的体积是8立方厘米，表面积是28平方厘米。至少再添19个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。 6．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）用棱长2厘米的小正方体摆成下边的物体。这个物体的表面积是（ ）平方厘米，至少添加（ ）个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。 【答案】144 17 【分析】本题是关于组合体的表面积计算以及补成大正方体所需小正方体个数的求解。对于表面积，需要通过观察组合体各个面的小正方形数量来计算；对于补成大正方体，要先确定大正方体的棱长，再计算所需小正方体总数与现有数量的差值；据此解答。 【解答】①组合体的表面积等于其各个面所包含的小正方形面积之和。由于组合体相对的面小正方形数量相同，所以可以先数出一个面的小正方形数量，再乘2得到相对面的总数，最后乘每个小正方形的面积。观察组合体，从前面、后面、左面、右面、上面、下面看，每个方向都能看到6个小正方形。每个小正方形的边长为2厘米，根据正方形面积公式计算每个小正方形的面积为，组合体一共有6个方向，每个方向有6个小正方形，所以小正方形的总数为。则组合体的表面积为。 ②首先，确定大正方体的棱长：观察组合体，要补成大正方体，其棱长应能容纳3个小正方体的棱长，即大正方体的棱长为3个小正方体的棱长。可得大正方体所需小正方体的总数为。接着数出现有小正方体的个数：第一层有6个，第二层有3个，第三层有1个，总共。所以至少需要添加的小正方体个数为。 所以，这个物体的表面积是144平方厘米，至少添加17个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。 【点评】计算组合体表面积时，利用相对面小正方形数量相同的特点简化计算；补大正方体时，先确定大正方体的棱长，再通过体积差求解添加个数。 7．（23-24六年级上·江苏南京·期中）如下图，每个小正方体的棱长是1分米，按照这样的规律继续摆下去，第③个立体图形的表面积是（ ）平方分米，第⑥个立体图形共有（ ）个小正方体。 【答案】54 66 【分析】边长1分米的正方形，面积是1平方分米，立体图形的表面有几个边长1分米的小正方形，表面积就是几平方分米。看图可知，第③个立体图形从前后左右4个方向观察都是9个小正方形，从上面和下面观察都是9个小正方形，据此确定第③个立体图形表面小正方形的个数即可。 第①个立体图形有1个小正方体；第②个立体图形有2层，增加了（1＋4）个小正方体；第③个立体图形有3层，在第②个立体图形的基础上又增加了（5＋4）个小正方体；以此类推，第⑥个立体图形有6层，下边每层都比上边1层多4个小正方体，据此将各层小正方体个数相加即可。 【解答】9×4＋9×2 ＝36＋18 ＝54（平方分米） 1＋（1＋4）＋（1＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4＋4＋4） ＝1＋5＋9＋13＋17＋21 ＝66（个） 第③个立体图形的表面积是54平方分米，第⑥个立体图形共有66个小正方体。 8．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）下面是用棱长为1厘米的小正方体摆成的立体图形。 表面积是6平方厘米，体积是1立方厘米。 （1）表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米； （2）表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米； （3）当放置到5层时，这个立体图形的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】（1）18 4 （2）36 10 （3）90 35 【分析】 （1）已知小正方体的表面积是6平方厘米，根据正方体的表面积公式，用6÷6即可求出1个面的面积；通过观察可知，的表面由18个小正方形面组成，用乘法求出这个立体图形的表面积；由4个小正方体组成，已知1个小正方体的体积是1立方厘米，用乘法即可求出这个立体图形的体积； （2）通过观察可知，的表面由36个小正方形面组成，用乘法求出这个立体图形的表面积；由10个小正方体组成，已知1个小正方体的体积是1立方厘米，用乘法即可求出这个立体图形的体积； （3）如图： 观察规律可知，当放置到5层时，这个立体图形的表面由90个小正方形面组成，用乘法求出这个立体图形的表面积；这个立体图形由35个小正方体组成，已知1个小正方体的体积是1立方厘米，用乘法即可求出这个立体图形的体积。 【解答】（1）6÷6＝1（平方厘米） 18×1＝18（平方厘米） 4×1＝4（立方厘米） 表面积是18平方厘米，体积是4立方厘米； （2）36×1＝36（平方厘米） 10×1＝10（立方厘米） 表面积是36平方厘米，体积是10立方厘米； （3）90×1＝90（平方厘米） 35×1＝35（立方厘米） 当放置到5层时，这个立体图形的表面积是90平方厘米，体积是35立方厘米。 题型3体积的等积变形 9．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）把一个棱长8分米的正方体钢坯，锻造成一段横截面面积是16平方分米的长方体方钢，锻造成的这段方钢长多少分米？ 【答案】32分米 【分析】正方体的体积公式为V＝a3（V为体积，a为棱长）。正方体钢坯的棱长为8分米，所以正方体的体积为83＝512立方分米。锻造前后，钢坯的体积不变，即长方体方钢的体积等于正方体钢坯的体积，为512立方分米。长方体的体积公式为V＝Sh（S为横截面面积，h为高）。已知长方体方钢的横截面面积为16平方分米，体积为512立方分米，所以高（这里是方钢的长）为512÷16＝32分米。 【解答】83＝8×8×8＝512（立方分米） 512÷16＝32（分米） 答：锻造成的这段方钢长32分米。 10．（23-24六年级上·江苏扬州·期中）只列综合算式（或方程），不计算。 把一块棱长是0.6米的正方体钢坯，锻造成横截面面积是0.08平方米的长方体钢材，锻成的钢材长多少米？ 【答案】0.6×0.6×0.6÷0.08 【分析】根据题意，把一块正方体钢坯锻造成长方体钢材，那么钢坯的体积不变。 先根据正方体的体积公式V＝a3，求出钢坯的体积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出锻成的钢材的长度。 【解答】0.6×0.6×0.6÷0.08 ＝0.36×0.6÷0.08 ＝0.216÷0.08 ＝2.7（米） 答：锻成的钢材长2.7米。 11．（23-24六年级上·江苏徐州·期中）把一个棱长是6厘米的正方体钢材，锻造成一个长18厘米，宽8厘米的长方体钢材，长方体钢材的高是多少厘米？（用方程解） 【答案】1.5厘米 【分析】根据题意可知，锻造前后钢材的体积不变，即正方体钢材的体积＝长方体钢材体积；设长方体钢材的高为x厘米；根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积公式：体积＝长×宽×高；列方程：6×6×6＝18×8×x，解方程，即可解答。 【解答】解：设长方体钢材的高是x厘米。 6×6×6＝18×8×x 36×6＝144x 144x＝216 x＝216÷144 x＝1.5 答：长方体钢材的高是1.5厘米。 12．（24-25六年级上·江苏连云港·期中）学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长6厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长3厘米、宽2.5厘米的长方体模具，制作成蜡烛。 （1）实验发现：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是（    ）发生了变化，没有产生（    ）。 （2）求制作成的蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】（1）形状；新的物质 （2）28.8厘米 【分析】（1）结合实际经验可知，正方体蜡块熔化后制作成长方体蜡烛，体积并没有改变，只是形状发生了变化，没有产生新的物质。 （2）因为体积不变，先根据，算出正方体的体积，即长方体体积，再根据长方体体积的逆运算，长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算即可。 【解答】（1）实验发现：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是形状发生了变化，没有产生新的物质。 （2） （立方厘米） （厘米） 答：制作成的蜡烛的高是28.8厘米。 题型4测量不规则物体的体积 1．（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个无盖的正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，水深2分米。小明在水里放了一条鲫鱼后测得水面高为2.2分米。鲫鱼体积为（    ）立方分米。 A．13.2 B．12 C．1.2 D．1.8 【答案】D 【分析】根据题意可知，水面上涨的体积就是鲫鱼的体积；原来水深为2分米，水面升高（2.2－2）分米，用底面积乘（2.2－2）即可求出鲫鱼体积。。 【解答】3×3×（2.2－2） ＝9×0.2 ＝1.8（立方分米） 所以鲫鱼体积为1.8立方分米。 故答案为：D 2．（23-24六年级上·山西临汾·期中）在一个装满水的正方体容器里，放入2块体积各是200cm3的铁块，使铁块完全浸没水中，容器里的水会溢出（    ）。 A．200cm3 B．400cm3 C．600cm3 【答案】B 【分析】由题可知，2块铁块的体积就是溢出水的体积，据此求出两块铁块的体积即可。 【解答】2×200＝400（cm3） 容器里的水会溢出400cm3。 故答案为：B 3．（24-25六年级上·江苏扬州·期中）下面是测量一个土豆体积的实验步骤，但顺序被打乱了。 ①列式计算出土豆的体积。 ②找一个长方体无盖透明塑料罐，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米。 ③将土豆完全浸没在水中，量出水面高度22厘米。 ④倒入适量的水，量出水面高度15厘米。 实验的正确顺序应该是： → → → （填序号）。 算一算，这个土豆的体积是（ ）立方厘米。 【答案】② ④ ③ ① 336 【分析】（1）根据实验步骤：要先量长方体塑料罐的长、宽、高，再倒入水，量出水面的高度，然后将土豆完全浸没在水中，再量出此时水面的高度，升高的水的体积就是土豆的体积，最后即可列式计算土豆的体积。按这样的顺序排列即可； （2）土豆的体积＝容器的底面积×水面上升的高度； 【解答】实验的正确顺序应该是：②→④→③→① （立方厘米） 这个土豆的体积是336立方厘米。 4．（24-25六年级上·江苏·期中）一个长方体玻璃缸，长6分米，宽5分米，高6分米，其中水深2.8分米，若投入一个棱长为3分米的正方体铁块（底部与玻璃缸底部完全接触），则水面上升（ ）分米。 【答案】0.9 【分析】根据题意，正方体铁块的体积＝上升的水的体积，上升的水的形状是长6分米，宽5分米的长方体。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算即可求出正方体铁块的体积，即上升的水的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用上升的水的体积除以玻璃缸的长和宽，即可求出水面上升的高度。 【解答】3×3×3＝27（立方分米） 27÷6÷5＝0.9（分米） 则水面上升0.9分米。 5．（24-25六年级上·广西钦州·期中）一个长方体容器，底面是边长9分米的正方形，容器内部灌有水，将一个铁球放入容器，容器内部水位升高了6厘米，这个铁球的体积为多少？ 【答案】48.6立方分米 【分析】水面上升部分的体积，就是铁块的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【解答】6厘米＝0.6分米 9×9×0.6 ＝81×0.6 ＝48.6（立方分米） 答：这个铁球的体积为48.6立方分米。 6．（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个足够高的长方体容器中装有水，小明将一个棱长厘米的正方体铁块完全浸没在水中（水没有溢出），水面上升了厘米；再将一个长厘米、宽厘米、高厘米的长方体铁块也完全浸没在水中（水仍没有溢出），水面又会上升多少厘米？ 【答案】2.4厘米 【分析】根据正方体的体积棱长棱长棱长可知正方体铁块的体积，再利用长方体的体积公式底面积高可知长方体容器的底面积为（平方厘米），再利用 长方体的体积长宽高可知长方体铁块的体积，最后利用长方体的体积底面积解答即可。 【解答】（平方厘米） （厘米） 答：水面又会上升厘米。 【点评】本题考查了长方体的体积公式，正方体的体积公式，熟记长方体和正方体的体积公式是解题的关键。 7．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）乐乐为了计算一块石头的体积，按下面的过程进行了操作，同学们请你根据下面的信息，算出这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】400立方厘米 【分析】根据图意，棱长1分米的正方体水缸注满水，根据正方体的体积公式V＝a3，求出水缸住满水时水的体积； 把原来水的体积看作单位“1”，往缸里放一块石头，拿出石头后缸里的水还剩，则无水部分的体积是原来水的体积的（1－），单位“1”已知，用原来水的体积乘（1－），求出无水部分的体积，也就是这块石头的体积。 【解答】1分米＝10厘米 10×10×10＝1000（立方厘米） 1000×（1－） ＝1000× ＝400（立方厘米） 答：石头的体积是400立方厘米。 8．（24-25六年级上·江苏南京·期中）王师傅用下面5块长方形玻璃制作了一个无盖的长方体鱼缸。 （1）做这长方体的鱼缸需要多少平方分米的玻璃？ （2）这个长方体鱼缸的容积是多少升（鱼缸玻璃厚度不计）？ （3）在鱼缸注入深为3分米的水，并在鱼缸中放入一块假山石（假山石完全浸没在中）水面上升了1分米。假山石的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）188平方分米 （2）240升 （3）48立方分米 【分析】（1）制作鱼缸所需玻璃的面积，即无盖长方体的表面积，由玻璃的尺寸可知，鱼缸的长为8分米，宽为6分米，高为5分米。无盖长方体的表面积公式为：S＝ab＋2ah＋2bh（a为长，b为宽，h为高），把数据代入计算即可。 （2）鱼缸的容积，即长方体的体积，长方体体积公式为：V＝abh（a为长，b为宽，h为高）。把长8分米，宽6分米，高5分米，代入公式计算后再把单位换算为升即可。 （3）假山石的体积等于水面上升部分的水的体积。水面上升部分的水是一个长8分米、宽6分米、高1分米的长方体。根据长方体体积公式：V＝abh（a为长，b为宽，h为高），把数 【解答】（1）8×6＋2×8×5＋2×6×5 ＝48＋80＋60 ＝128＋60 ＝188（平方分米） 答：做这个长方体鱼缸需要188平方分米的玻璃。 （2）8×6×5＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 答：这个长方体鱼缸的容积是240升。 （3）8×6×1＝48（立方分米） 答：假山石的体积是48立方分米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $