2.5.2圆和圆的位置关系 微专题难点训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2圆和圆的位置关系 难点训练微专题(解析版） 必备知识： 已知两圆C1:(x-x1)2+(y-y1)2=,C2:(x-x2)2+(y-y2)2=, 则圆心距d=|C1C2|=. 则两圆C1,C2有以下位置关系: 位置 关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1+r2 d<|r1-r2| |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d=r1+r2 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 解题通法： （1）判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆的圆心距与两圆的半径和及差的绝对值的大小关系判断. （2）设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, (1)若两圆相交,两式相减,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程. (2)若两圆相切,两式相减,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程. （3）求两圆的公共弦长,常选其中一圆,由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,利用勾股定理求解. 微专题训练： 一、单选题 1．圆与圆的位置关系为（    ）． A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据得到答案. 【详解】，即，圆心，半径， ，圆心为，， ，故两圆外切. 故选：C. 2．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 3．两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】两个圆只有一条公切线，则两圆内切，利用圆与圆的位置关系可得，结合基本不等式求解即可. 【详解】两圆的标准方程为，和，圆心分别为和，半径分别为1和3， 又两圆和恰有一条公切线， 所以两圆内切，即， 得，则，当且仅当时取等号，即的最大值为1， 故选：A. 4．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 5．已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以. 故选：A 6．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 7．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 8．若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【详解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 二、多选题 9．已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．两圆是外切的位置关系 B．直线的方程为 C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5 D．圆和圆的一条公切线段长为 【答案】ABD 【分析】根据圆心距与两圆半径之和相等可知A正确，利用两点坐标即可得B正确；易知当四点共线且在两侧时，取得最大值为，可得C错误；根据两半径差和圆心距可得公切线段长为，即D正确. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为； 两圆圆心距，即圆心距等于两半径之和， 所以两圆外切，即A正确； 由圆心坐标可知，所以直线的方程为， 即，所以B正确； 由圆与圆之间的位置关系可得的最大值为，如下图所示： 当四点共线且在两侧时，取得最大值，可得C错误； 设为两圆的一条公切线，切点分别为， 易知，作于点，则， 又，则，可得公切线段长为，即D正确. 故选：ABD 10．已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 【答案】BCD 【分析】根据点与圆的关系即可求解A,根据圆心到直线的距离即可求解B，根据相交弦的定义即可求解D，根据相交时两圆的外公切线的求解即可判定C. 【详解】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为， 对于A，由于，故点在圆外，故A错误， 对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确， 对于D,由于,故两圆相交， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确， 对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确， 故选：BCD 11．圆与圆相交于，两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为 【答案】ACD 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D正确， 故选：ACD 三、填空题 12．已知圆与圆恰有三条公切线，则 . 【答案】 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切， 由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径， 则，解得. 故答案为： 13．已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】由两圆位置关系构造方程求解即可. 【详解】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 故答案为：或 14．已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 【答案】9 【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积； 法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积. 【详解】由已知，圆，圆， 圆心，半径，圆心，半径， 法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9； 法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为： 到距离为，所以，即， 又， 所以，四边形的面积. 故答案为：9. 四、解答题 15．已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由两圆外切得，直接可得实数的值； （2）将两圆方程相减得相交弦AB的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【详解】（1）因圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 因圆与圆外切，所以，得，解得或. 故实数的值为或. （2）当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交. 将两圆方程相减得直线AB的方程为. 所以圆心到直线AB的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 故. 16．已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围. （2）根据圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意，得，半径，半径． 因为两圆内含，所以， 所以，即，解得， 又因为，所以，故的取值范围为． （2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为． 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离． 又因为，所以， 解得，因为，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2圆和圆的位置关系 难点训练微专题(学生版） 必备知识： 已知两圆C1:(x-x1)2+(y-y1)2=,C2:(x-x2)2+(y-y2)2=, 则圆心距d=|C1C2|=. 则两圆C1,C2有以下位置关系: 位置 关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1+r2 d<|r1-r2| |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d=r1+r2 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 解题通法： （1）判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆的圆心距与两圆的半径和及差的绝对值的大小关系判断. （2）设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, (1)若两圆相交,两式相减,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程. (2)若两圆相切,两式相减,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程. （3）求两圆的公共弦长,常选其中一圆,由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,利用勾股定理求解. 微专题训练： 一、单选题 1．圆与圆的位置关系为（    ）． A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 3．两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 5．已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 6．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．两圆是外切的位置关系 B．直线的方程为 C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5 D．圆和圆的一条公切线段长为 10．已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 11．圆与圆相交于，两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为 三、填空题 12．已知圆与圆恰有三条公切线，则 . 13．已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 14．已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 四、解答题 15．已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 16．已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $