2.5.1直线与圆的位置关系 难点训练微专题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1直线与圆的位置关系 难点训练微专题（学生版） 必备知识 直线与圆的位置关系 设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离为d.由消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点 d>r d=r d<r 突破通法： 1.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2. (2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出xM+xN和xM·xN,则|MN|=·. (3)根据弦长求直线方程时，要注意验证斜率不存在的情况. 2.求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时注意斜率不存在的切线. 3.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2. 微专题训练 一、单选题 1．已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 2．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知过点且斜率为k的直线l与圆相交于两点．则为（    ） A．3 B．5 C．7 D．与k有关 6．已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 7．直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 10．已知圆，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．圆关于直线对称 C．若直线被圆截得的弦长为，则 D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则 11．已知圆，直线.则（    ） A．直线与圆可能相切 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 三、填空题 12．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 13．圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为 . 14．设 ，若直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，且 与圆 相交所得弦长为 4， 为坐标原点，则 面积的最小值为 . 四、解答题 15．已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 16．圆，过点作直线， (1)若直线为圆的切线，求直线的方程； (2)若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1直线和圆的位置关系 难点训练微专题(解析版） 必备知识 直线与圆的位置关系 设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离为d.由消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点 d>r d=r d<r 突破通法： 1.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2. (2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出xM+xN和xM·xN,则|MN|=·. (3)根据弦长求直线方程时，要注意验证斜率不存在的情况. 2.求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时注意斜率不存在的切线. 3.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2. 微专题训练 一、单选题 1．已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交. 故选：C. 2．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得， 直线经过点， 设，，知，， 当与圆相切时， ，解得或， 由数形结合知直线与半圆形有两个公共点，则或， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 3．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径． 因为到直线的距离， 当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离， 所以的最小值为． 故选：C． 4．经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程． 【详解】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小. 圆配方可得， 圆心坐标为，半径为2， 弦心距，弦长为， 过圆的圆心和直线垂直的直线方程为，即． 最小的圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，， 所求面积最小的圆方程为：， 故选：C． 5．已知过点且斜率为k的直线l与圆相交于两点．则为（    ） A．3 B．5 C．7 D．与k有关 【答案】C 【分析】根据题意，联立直线l与圆的方程得到，再利用向量的数量积运算即可得解. 【详解】依题意，设过点且斜率为k的直线l的方程为，设， 联立，消去，得：， 此时，显然有解， 故，， 所以 . 故选：C. 6．已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，求出，再利用等面积法即可求得答案. 【详解】圆，且，则， 又，∴，利用面积相等，∴， 故选：D． 7．直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所求弦长为. 故选：D 8．已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由计算可得弦心距，进而可得，根据充分条件与必要条件判断即可. 【详解】由直线与圆交于A，B两点可得， 即弦心距， 又因，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 二、多选题 9．已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用勾股定理可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；分析可知直线过圆心时，可得出直线的斜率，可判断C选项；分析可知，当时，被圆截得的弦长的最小值，求出弦长的最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 10．已知圆，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．圆关于直线对称 C．若直线被圆截得的弦长为，则 D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】BD 【分析】对于A，将圆的方程整理为标准方程，由题意可得的范围，即可判断出A的真假；对于B，可得圆心的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得圆关于直线对称，即可判断出B的真假；对于C，求出圆心到直线的距离，由弦长公式可得的值，即可判断C的真假；对于D，当，可得圆心的坐标及半径的大小再求出的值，由勾股定理可得切线长的值，即可判断D的真假. 【详解】圆的方程为，所以，得，故A错误 因为圆的圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确 圆心到直线的距离，又弦长为，可得圆的半径为，得，故C错误 当时，可得圆的方程为，则圆心，半径为，， 所以切线长为，故D正确． 故选：BD 11．已知圆，直线.则（    ） A．直线与圆可能相切 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】BD 【分析】直线l：，由求出定点，由点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，即可判断A选项；令，求出圆与y轴交点纵坐标可得弦长，即可判断B选项；根据直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线l，由弦长公式即可判断C选项，求出直线l的方程即可判断D选项. 【详解】，则恒成立， 故，则直线恒过， 因为，所以点在圆内部， 因为直线恒过定点，所以直线与圆恒相交，所以A错； 对于圆，令，得，解得，所以圆被轴截得的弦长为，所以B选项正确； 对于选项：由于点在圆的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，最短弦长为，故C错； 因为圆心，直线恒过定点，直线被圆截得的弦长最短时，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 13．圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为 . 【答案】 【分析】设圆心为，可知半径，根据垂径定理，利用直线截圆所得弦长可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆的方程. 【详解】设圆心为，则圆的标准方程为， 所以圆的半径，又圆被轴所截得的弦长为，则， 解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 14．设 ，若直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，且 与圆 相交所得弦长为 4， 为坐标原点，则 面积的最小值为 . 【答案】5 【分析】先由几何法求出圆心到直线的距离，再结合基本不等式求解即可. 【详解】圆 ，圆心为，半径为， 设 与圆 相交所得弦长为 4， 由几何法求得圆心到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离为，即， 又， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：5 四、解答题 15．已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题可得直线过圆心，求出圆心坐标代入运算得解； （2）根据圆的几何性质求出圆心到直线距离d，分直线l斜率存在和不存在讨论利用点到直线的距离公式求解. 【详解】（1）因为圆：可化为， 所以圆心为，半径为， 因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心， 将代入，即 ，解得. （2）依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则． 当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即， 所以圆心到直线l的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上所述，直线l的方程为或. 16．圆，过点作直线， (1)若直线为圆的切线，求直线的方程； (2)若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或 【分析】（1）由条件讨论直线斜率存在和不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，即可得到答案； （2）由题意结合三角形面积公式可得，所以圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得. 【详解】（1）由圆，得其标准方程为， 所以圆心为，半径为. 当直线垂直于轴时，即满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线方程为，即， ，则直线方程为. 切线的方程为或. （2）由直线与圆相交于M，N两点，设C到直线距离为，则 ，当且仅当时等号成立， 所以圆心C到直线的距离，解之得或. 则直线的方程为或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $