河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期10月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则直线l的方程为(   ) A． B． C． D． 3．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 4．在中，则下列条件不是的充要条件的为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 6．若.若，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 8．在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（　　） A．四棱锥的体积不变 B．总有 C．点在一条定线段（不含端点）上 D．记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中，正确的有（ ） A．直线在轴的截距是2 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量是，则直线的斜率是 D．点在直线上，直线方程为． 10．已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 11．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（    ） 1 学科网（北京）股份有限公司 A．的图象关于点对称 C． B． D．若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．过两点和的直线在轴上的截距是 . 13．已知直线，若，则 ． 14．函数的最大值为 ，最小值为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 16．（15分）在中，角所对的边分别是．已知，的面积为． (1)求； (2)为边上一点， ①若是的平分线，求线段的长； ②若，求． 17．（15分）如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 18．（17分）设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． (1)写出圆的圆心的坐标以及半径； (2)设，当直线与圆交于、两点时，求弦的中点的轨迹； (3)设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为、），求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 19．（17分）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期10月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B B D C C A D BCD BCD ABD 12． 13．-1 14． / 0 15．(1)78分 (2)平均数90，方差 (3) 【分析】（1）利用百分位数的定义求解； （2）利用平均数和方差的定义求解； （3）利用古典概型的概率公式求解． 【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以， 解得， 又， 解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为， 则， 解得， 所以晋级分数线划为78分合理； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人．分别记为，和，，，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自于同一小组”， 则，共7个样本点， 所以． 16．(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式，结合角的范围求出，根据三角形面积公式和余弦定理即可求得边； （2）①利用三角形面积相等即可解方程求得线段的长；②设，所以，分别在和，利用正弦定理，推得，计算即得. 【详解】（1）因为，所以， 因为，则，故由，可得. 因为，，解得， 由余弦定理得，解得. （2）      ①因， 依题意有，解得. ②设，所以． 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理得，，即， 因，代入化简得， 即，解得，即. 17．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）应用线面垂直得出结合已知应用线面垂直判定定理得出平面，再应用线面垂直证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再根据点到平面距离公式计算求解； （3）应用空间向量法求出平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算再结合二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为 平面，且 平面，所以， 因为，且，所以， 且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，是棱的中点，所以， 因为，平面，且，所以平面． （2）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以，,2,，,1,，,0,， 则， 因为点在棱中点上，所以的坐标为， 设平面的法向量为， 则，令，得， （3）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 则， 因为点在棱上，所以， 则,,，故， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以， 即， 故平面与平面夹角的余弦值的最小值为． 18．(1)圆心，半径； (2)以中点为圆心，为半径的圆在圆内的一段圆弧； (3)，. 【分析】（1）化圆的方程为标准形式，求出圆心坐标及半径； （2）利用圆的性质及定义确定的轨迹. （3）利用点在圆内求出的范围，将直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求出的范围. 【详解】（1）圆的圆心，半径. （2）当时，圆的圆心，半径， 连接，取中点，连接，，又为弦的中点， 当与不重合时，，为直角三角形，则， 当与重合时，，因此， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又点在圆内， 所以弦的中点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在圆内的一段圆弧.    （3）圆的圆心，半径，点， 直线恒过定点，由直线恒与圆相交于、两点， 得点在圆内，则，又，解得， 所以正实数的取值范围是； 直线，由消去得，， 设，则， ，由为锐角，得， 即，整理得， 则，又，整理得，解得， 显然不共线，所以实数的取值范围是.    19．(1). (2). 【分析】（1）确定为奇函数，根据得到，解得答案； （2）①根据根与系数的关系确定，代入计算得到，根据范围得到最值；②取变换得到，得到根与系数的关系，确定，计算得到答案. 【详解】（1）由为奇函数，则恒成立. 即， 整理得：恒成立，故，解得， 故. （2）①若，则，由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为； ②时，，由有， 同时除以得，令，，， 由题知是方程的三个根， 则， 展开得，， 则. 【点睛】方法点睛：整体换元法可以简化分式的大部分运算，也体现了数学中转化思想. 1 学科网（北京）股份有限公司 $