第1-3章阶段巩固卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版

第1-3章阶段巩固卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列命题中真命题是（   ） A．一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性 B．某抽奖活动中奖的概率是，参与次抽奖一定会中奖 C．在一个随机事件过程中某种结果的出现概率是由实验的次数决定的 D．将、、、、依次重复写遍，得到这个数的平均数是 2．下列式子属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（   ） A．80 B．90 C．100 D．110 6．如图，正方形的边长为6，是的中点，，与交于点，则的长为（　　） A． B． C． D．9 7．已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，已知矩形的边，，为边上一点．将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 9．某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经实验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件，为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图①是手工课上红红剪的窗花，军军将其轮廓绘制到平面直角坐标系中，得到如图②所示的示意图，其中是正方形和正方形的中心，且正方形的顶点均在坐标轴上，与轴平行，若，则与的交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是 ． 12．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 13．已知一元二次方程的两根是，，则 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长是方程的解，则线段长的最大值是 ． 15．如图，E，F是矩形的边上两点，连接，，且，若，，则的长为 ． 16．如图，在菱形中，，E是对角线上一点，G是线段的延长线上一点，且，连接．若，，则的长为 ． 三、解答题 17．选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 18．已知：如图，在中，对角线的中垂线交于，交于．求证：四边形是菱形． 19．互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 20．已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 21．如图，在正方形中，连接，点P是边上的点（不与端点重合），连接，点为的中点，过点P作于点E，连接，，． (1)求证：； (2)连接，当时，求的长． 22．若关于x的方程有一个解为，则称这样的方程为“归一方程”．例如：方程有解，所以为“归一方程”． (1)下列方程是“归一方程”的有________．（填序号） ①； ②； ③． (2)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求代数式的值． (3)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求n 的值和方程的另一个解． 23．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，平分四边形的面积． (2)求经过多少秒后，． (3)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． (4)运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 24．在学习完矩形的内容后，某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形中，，，点为矩形对角线的交点． 操作发现： 如图（1）所示，点为边上任意一点，连接并延长与边交于点． （1）小组成员甲发现“”，请你完成证明； （2）如图（2），连接、，小组成员乙发现“四边形的形状一定是______，当的长为______时，四边形是菱形”； 探究发现： 受前面两位组员的启发，小组成员丙与丁对图形进一步操作，将图（2）中的与分别沿与进行翻折，点与点分别落在矩形内的点，处． （3）如图（3），连接，，发现“四边形是平行四边形”，请你证明这个结论； （4）如图（4），连接，有最小值吗？若有，请你直接写出的长；若没有，请说明理由． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第1-3章阶段巩固卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A D B D B A D 1．D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算等知识，熟记方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算是解决问题的关键．根据相关知识点逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即数据波动越大，也就意味着数据越不稳定；方差越小，数据越稳定．所以“一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性”是错误的．故A是假命题，不符合题意； B.某抽奖活动中奖的概率是，表示在大量重复抽奖的情况下，平均每次抽奖中奖的可能性是，参与次抽奖，只是有可能中奖，但不是一定会中奖，因为每次抽奖的结果都是独立的，具有随机性．所以“参与次抽奖一定会中奖”是错误的．故B是假命题，不符合题意； C.在一个随机事件中，某种结果出现的概率是由事件本身的性质决定的，而不是由实验的次数决定的．实验次数只是用来估计概率，当实验次数足够多时，频率会逐渐稳定在概率附近．所以“某种结果的出现概率是由实验的次数决定的”是错误的．故C是假命题，不符合题意． D.已知、、、、依次重复写遍，可得这个数据的总和为，所以这个数据的平均数为，该命题是真命题，符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、满足一元二次方程的定义，符合题意； B、未知数的次数为1次，故不是一元二次方程，不符合题意； C、不是方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了矩形的判定方法，解决此题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定可知，有一个角为直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，即可得到答案． 【详解】解：A. ，对角线相等，可判断是矩形，故选项A正确，符合题意； B. ，是已具有的性质，不能判断是矩形，故选项B错误，不符合题意； C. ，对角线互相垂直，可判断是菱形，故选项C错误，不符合题意； D. ，是已具有的性质，不能判断是矩形，故选项D错误，不符合题意． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查配方法，熟练掌握该知识点是关键．将常数项移到等式的右侧，再将系数化为1，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可配方． 【详解】解：原方程移项得， ， ， ， 故选：A． 5．D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，则摸到黄球的概率为，再根据概率计算公式求出黄球的个数即可求出红球的个数． 【详解】解：∵过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在， ∴摸到黄球的概率为， ∴盒子中黄球的个数为（个）， ∴盒子中红球的个数为（个）， 故选：D． 6．B 【分析】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由正方形的性质得出，，，由E是的中点，得出，由勾股定理得出，证明，即可得出答案． 【详解】解：∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了含参数的一元一次方程和一元二次方程的整数根问题，解题的关键是分二次项系数为0和不为0两种情况讨论，对于二次方程通过因式分解转化为整数解的条件求解． 分（一元一次方程）和（一元二次方程）两种情况；当时，直接求解并判断根是否为整数；当时，因式分解方程，利用根为整数的条件确定的可能取值，进而求出整数，统计符合条件的的个数． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，是整数，故符合条件； 当时，方程为一元二次方程，因式分解得，根为和； ∵根都是整数， ∴为整数，即为整数； ∴为2的约数：； 当时，；当时，；当时，；当时，；均为整数，符合条件； 综上，满足条件的整数为，共5个． 故选：D． 8．B 【分析】先由折叠的性质得出，则F，M，C三点共线，再由勾股定理求出，然后利用三角形的中位线定理求解． 【详解】解：如图所示连接，． ∵将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处， ∴垂直平分线段， ∴， 又∵， ∴F，M，C共线， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵N是的中点，M是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质求线段长，矩形与折叠问题等知识，解题关键是添加适当的辅助线，构造三角形中位线求解． 9．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先表示出单件玩具的利润，及销售量，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程即可. 【详解】解：每件玩具的利润为元，销售量为件，根据题意，得 . 故选：A. 10．D 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．设与轴交于点，过点作于点，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质推出，，得到和都是等腰直角三角形，进而得到，，求出，即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是边长为的正方形， ，，，，， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ， 点在第二象限内， 点的坐标为， 故选：D． 11． 【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列表是解题的关键． 先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 甲 乙 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则共有25种等可能结果，其中恰好配成大小相同一套的有5种情况，故概率为：． 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查了根的判别式，以及根与系数的关系．将原方程变形为，求出方程的，分为两种情况，，代入后求出a的范围即可． 【详解】解：原方程可化为，这是一个关于的一元二次方程， ∵原方程有两个不相等的实根， ∴只有一个大于0的实数根， ， 当时，有唯一解； 时，； 此时原方程为，即， 解得：； 的一个根大于0，另一个根小于0， ②，，， 根据根与系数的关系得：， 即， 综上所述，a的取值范围是或， 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，将所求式子进行变形，再整体代入计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．/ 【分析】如图，记的中点为，连接、，则，由正方形，由勾股定理得，由题意知，，即，然后作答即可． 【详解】解：解方程得（负值舍去）， 即正方形的边长是4， 如图，记的中点为，连接、， ， ， ∵正方形， ∴由勾股定理得，， 由题意知，，即， ∴线段长的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 15．2 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 16．7 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．过点作于点，先证出是等边三角形，则可得，再根据直角三角形的性质和勾股定理可得，则可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 故答案为：7． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握算理是解决问题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用求根公式法求解即可； （3）用求根公式法求解即可； （4）把等号右边各项移到等号左边，用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 18．证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等，利用平行四边形和线段垂直平分线的性质可证，即可得四边形是平行四边形，进而由即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 19．(1) (2)，详见解析 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一种支付方式的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种， ∴小红在支付中，选用微信支付的概率是， 故答案为：； （2）解：令微信、支付宝、现金三种支付方式分别为，列表如下： 由表可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有共3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 20．(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题关键． （1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得：， ∴， 解得． 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据定理即可得证； （2）连接，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再求出，利用勾股定理可得，然后根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22．(1)②③ (2) (3)，另一个根为5 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握“归一方程”的定义，是解题的关键： （1）分别求出方程的解，进行判断即可； （2）先求出方程的两个根为，再由“归一方程”的定义分类讨论求解； （3）根据根与系数的关系，求出两个根，以及的值即可． 【详解】（1）解：，解得：，故①不是“归一方程”； ，解得：或，故②是“归一方程”； ，解得：，故③是“归一方程”； 故答案为：②③； （2）解： 解得， 当时，则 ∴； 当，则， ∴， 综上，代数式的值为 （3）∵为“归一方程”， ∴方程有一个根为，设另一个根为， 则由一元二次方程根与系数的关系得到， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系得到， ∴； ∴，另一个根为5． 23．(1) (2)或 (3)当时，恰好平分． (4)当时，点B在线段的垂直平分线上． 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可． （4）如图，连接，过作于，证明，结合，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得． （2）解：当时， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则， 解得：， 当，时，如图， 过作于，过作于， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 同理：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 综上：当或时，． （3）解：如图，连接，过作于， ∵恰好平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴当时，恰好平分． （4）解：如图，连接，过作于， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 综上：当时，点B在线段的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识，分情况讨论是解题的关键． 24．（1）见解析（2）平行四边形，（3）见解析（4）有， 【分析】（1）连接，根据矩形的性质，证明，即可得到结论； （2）连接，结合（1）结论，先证明，再证明四边形是平行四边形．设，利用菱形的性质和勾股定理列方程，即可求出的长； （3）连接，由（1）知，再结合矩形的性质，证明，得到，由翻折的性质，可推出，，进而得到，即可证明结论； （4）由（3）可知，四边形是平行四边形，则，故最小时，最小，此时点，落在矩形对角线上，设，根据矩形与折叠的性质，得到，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵点为矩形对角线的交点 ∴点在线段上，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴． 即当的长为时，四边形是菱形”． （3）解：如图3，连接，由（1）知， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵沿翻折，点落在处， ∴， ∴，， 同理可得，，， ∴，，． ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （4）解：由（3）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴最小时，最小． 在中，， ∴取最小值时，点，，共线，即落在对角线上． ∴要使最小，只有点，落在矩形对角线上， 如图4，设， ∴，，矩形的对角线， 由折叠可知，，， ∴， 在中，有， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理，折叠的性质，最短线段问题等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $