精品解析：江苏省南京市南京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

南师附中2025级高一年级十月份练习 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】应用列举法写出集合，即可得元素个数. 【详解】由集合的描述知. 故选：D 2. 命题：“对任意的，”的否定是（ ） A. 不存在， B. 存在， C. 存在， D. 对任意， 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可. 【详解】“对任意的”的否定是“存在”. 故选：C. 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出的充要条件，利用充分必要条件概念判断. 【详解】，即，等价于，解得， 所以的充要条件为， 使“”成立的一个充分不必要条件是. 故选：B. 4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可. 【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则， 因此，解得． 故选：A． 5. 已知集合，若集合，满足：，则集合对的个数为（ ） A. 16 B. 27 C. 36 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】按照集合的元素个数进行分类，再根据集合的子集个数结论判断集合的个数. 【详解】当时，的个数为；当为1元素集时，的个数为； 当为2元素集时，的个数为2；当为3元素集时，的个数为1， 故的个数为. 故选：B. 6. 已知全集，，是的子集，且，，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定，，再结合，即可求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 所以， 所以，又， 所以无论是否属于， 都有， 故选：C 7. 若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，命题，为真命题，可得出，结合基本不等式可解得实数的取值范围. 【详解】由题意，，为真命题， 所以，又，当且仅当，即时，取等号， 所以. 故选：D. 8. 若关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，分类讨论求解含参数的不等式，进而列式求出的范围. 【详解】不等式， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，不合题意； 当时，原不等式等价于，解得或，不合题意； 当时，原不等式等价于，解得， 由不等式恰有2个整数解，得，解得； 当时，解得，由不等式恰有2个整数解，得， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”是假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D. 已知，是全集的子集，则“”是“”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】举反例判断A，举反例否定充分性，求解方程判断必要性求解B，利用一元二次方程的性质建立不等式组判断C，利用集合的混合运算判断D即可. 【详解】对于A，当时，， 则命题“，”是假命题，故A正确， 对于B，对于充分性，当时，取，得到，则充分性不成立， 对于必要性，当时，解得且，则必要性成立， 可得“”是“”的必要不充分条件，故B错误， 对于C，若方程有一个正根和一个负根，且设两个根为， 则，解得， 可得充分性不成立，必要性成立，故C正确， 对于D，对于充分性，任取，则， 若，则，可得，即充分性成立， 对于必要性，设，可得或， 当时，因为，所以， 可得，即成立， 当时，可得，即成立，可得必要性成立，故D正确. 故选：ACD 10. 若，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值2 C. 有最小值5 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当时，等号成立，可得， 所以有最大值，故B错误； 对于选项C：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值5，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值，故D错误. 故选：AC. 11. 容器中有，，共3种粒子，其中粒子9颗，粒子10颗，粒子12颗.若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子；若不同种类的两颗粒子发生碰撞，则会变成一颗另外种类的粒子.例如，若一颗粒子和一颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子.如果经过若干次两两碰撞后，最终只剩下1颗粒子，那么最后一颗粒子（ ） A. 可能是粒子 B. 可能是粒子 C. 一定不是粒子 D. 一定不是粒子 【答案】AC 【解析】 【分析】粒子先两两碰撞，粒子两两碰撞，粒子两两碰撞或、粒子碰撞再粒子两两碰撞，可判断AD；根据任意一次碰撞时，粒子与粒子的数目之和要么不变，要么减少2即可判断BC选项. 【详解】用表示，，粒子的数目分别为，，，那么初始状态可表示为，12颗粒子先两两碰撞，之后粒子数目变为，再由8颗粒子两两碰撞，之后粒子数目变为，再让粒子一直碰撞，直至数目变为，再来一次碰撞，最终数目为，即最终剩下的粒子为粒子，从而选项D错误； 当粒子数目变为时，如果粒子与粒子碰撞，则粒子数目变为，再让粒子一直碰撞，直至数目变为，再来一次碰撞，最终数目为，即最终剩下的粒子为粒子，从而选项A正确； 注意到任意一次碰撞时，粒子与粒子的数目之和要么不变，要么减少2，从而粒子与粒子的数目之和的奇偶性不变，初始时粒子与粒子的数目之和为，为奇数，最终剩下的粒子数目为1时，粒子与粒子的数目之和为1，为奇数，从而最终剩下的粒子不可能是粒子，从而选项B错误，选项C正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 已知集合，.若，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合，再分和两种情况分别列出不等式，求解即可. 【详解】由解得，所以. 若， 当时，，解得； 当时，①，或②， 由①解得，②无解. 综上可知，的取值范围为. 故答案为： 13. 若“”的必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，时，，得出的取值范围，分情况验证即可. 【详解】由题意时，，所以或， 由，得，所以， 当时， ，故，不满足不合题意； 当时，，故，所以，符合题意， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 设表示数集中最小的数，若，则的最大值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】令，则，，讨论、、依次对应、、，结合基本不等式求对应范围，即可得其最大值. 【详解】令，则，， 所以 ， 当时，，且， 此时， 其中， 当且仅当，即时取等号， 此时； 当时，，且， 此时， 其中， 当且仅当，即时取等号， 此时（时取等号）； 当时，，且， 此时， 其中， 当且仅当，即时取等号， 此时（时取等号）； 综上，时，有的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共3小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2）时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据二次不等式恒成立的概念，对不等式进行化简，判断对应二次函数图形的开口方向和零点个数，列出不等式，求出结果即可. （2）根据含参二次不等式的解法，先对不等式进行化简和因式分解，再对参数进行讨论，求出结果. 【小问1详解】 由题意得恒成立，即恒成立， 当时，，不满足题意； 时，则， 由，解得或， 又，则， 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得，即， 所以， ①当时，，解集为； ②当时，方程的两个根为，. 不等式的解集为； ③当时，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 综上，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 16. 已知函数． （1）若对于任意的，均有，证明：； （2）当时，证明：对于任意的，成立的充分必要条件为． 【答案】（1）因为恒成立，所以，． 又，故． （2）必要性： 对于任意的，．则，即． 又，得．从而，． 因此，． 充分性： 由，且，则对于任意的，有 ． 又，故． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 记集合的所有子集构成的集合为，即，如果的子集同时满足：①，；②对任意的，都有且，则称为的运算封闭系统.例如，为的一个运算封闭系统. （1）写出集合的所有运算封闭系统； （2）是否存在集合的运算封闭系统，满足中含有7个元素？说明理由； （3）确定集合的运算封闭系统的个数. 【答案】（1）为，，，. （2） 不存在.理由如下： 设为集合的一个运算封闭系统，且中有7个元素.因为共有8个子集，所以中只缺少的一个1元素子集或2元素子集. 如果缺少的是1元素子集，不妨设为，则，， 由题意，即，矛盾； 如果缺少的是2元素子集，不妨设为，则，， 由题意，即，矛盾. （3）29 【解析】 【分析】（1）由新定义逐个列举即可； （2）从缺少一个1元素子集或2元素子集.讨论即可； （3）法一：通过中元素个数逐个列举即可，法二：通过中包含单个元素的集合的个数逐个列举即可. 【小问1详解】 ，，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法一：设为集合的一个运算封闭系统. 如果中只有两个元素，有一种情况：； 如果中有三个元素，有6种情况； ，，，，， 如果中有4个元素，有9种情况； ，，， ，，， ，，， 如果中有5个元素，有6种情况； ，，， ，，， 如果中有6个元素，有6种情况； ，， ，， ， 如果中有7个元素，由（2）知，有0种情况； 如果中有8个元素，有1种情况. 综上所述，集合的运算封闭系统的个数为. 方法二：考虑中包含单个元素的集合的个数. 如果中不包含单个元素的集合，则4种情况； ，，，， 如果中包含一个单个元素的集合，有15种情况； ，，，，，， ，，， ，，， ，，， 如果中包含二个单个元素的集合，有9种情况； ，，，，， ，， ， 如果中包含三个单个元素的集合，则1种情况. 综上所述，集合的运算封闭系统的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南师附中2025级高一年级十月份练习 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题：“对任意的，”的否定是（ ） A. 不存在， B. 存在， C. 存在， D. 对任意， 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，若集合，满足：，则集合对的个数为（ ） A. 16 B. 27 C. 36 D. 64 6. 已知全集，，是的子集，且，，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”是假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D. 已知，是全集的子集，则“”是“”的充要条件 10. 若，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值2 C. 有最小值5 D. 有最小值 11. 容器中有，，共3种粒子，其中粒子9颗，粒子10颗，粒子12颗.若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子；若不同种类的两颗粒子发生碰撞，则会变成一颗另外种类的粒子.例如，若一颗粒子和一颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子.如果经过若干次两两碰撞后，最终只剩下1颗粒子，那么最后一颗粒子（ ） A. 可能是粒子 B. 可能是粒子 C. 一定不是粒子 D. 一定不是粒子 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 已知集合，.若，则的取值范围为___________. 13. 若“”的必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是___________. 14. 设表示数集中最小的数，若，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共3小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 16. 已知函数． （1）若对于任意的，均有，证明：； （2）当时，证明：对于任意的，成立的充分必要条件为． 17. 记集合的所有子集构成的集合为，即，如果的子集同时满足：①，；②对任意的，都有且，则称为的运算封闭系统.例如，为的一个运算封闭系统. （1）写出集合的所有运算封闭系统； （2）是否存在集合的运算封闭系统，满足中含有7个元素？说明理由； （3）确定集合的运算封闭系统的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $