福建省莆田第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

莆田一中2025~2026学年度上学期10月月考试卷 高二数学选择性必修第二册第五章 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知函数f(x)=2,则f'(2)的值为() A.22 B.21n2 c品 D.21n2 1 2.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是() A.f'(1)>f'(2)>f'(3)>0 B.f'(1)<f'(2)<f'(3)<0 =fx) C.0<f'(1)<f'(2)<f'(3) D.f'(1)>f'(2)>0>f'(3) 3.己知函数y=fx)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是( A.函数y=fx)在(1,2)上单调递减 B.x=-1是函数y=f(c)的极小值点 C.x=1是函数y=fx)的极大值点 D.f2)是函数y=f(x)的极大值 4.函数f(x)=(x2-2x)e的图象大致是() 5.已知函数f(x)=e-e"+sinx,若f(1+2a)+f(a)>0,则a的取值范围为() A.(-1,+∞) B.（-∞，-1) c(-3+∞) D.(∞，-3) 6.点M是曲线f(x)=血匹上的动点，则点M到直线y=x+2的距离的最小值为() m A.2 B.√2 C.3v2 2 D.9 7.已知a=1+e十1b=l1n3+}c=ln4+号，则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 8.己知f(c)是定义在■上可导的偶函数，且g(c)=f'(x.若g(x)在[0，十∞)单调递增，则满足 (x-3)9(c-1)≤0的x的取值范围为( A.(-∞，1]U[3,+∞) B.[1,3] C.(-∞，-1]U[3,+∞） D.[-1,3] ·1· 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列求导正确的是（ ) A.若y=x3-x十3，则y=3x2-1 B.若y=ln(2x-1,则y=20-1 C.若y=x3e,则y=x2(1+3x)e D.若y=2si,则y=2xcos4sinx 02 10.已知函数f(x)=x3-3x2+4,则( A.f(x)有3个零点 B.过原点作曲线y=f(x)的切线，有且仅有一条 C.点(1，f(1)是曲线y=fx)的对称中心 D.f(x)在区间(-1,3)上的值域为(0,4) 11.已知函数fx)=ln4卫+ax在x=3处取得极大值，f(x)的导函数为f(x,则() Aa=青 B.当0<x<1时，f(x)>f(x2) C.f(2+x)=f'(2-x) D.当1≤≤≤3且a十<4时，f+f)<9 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.函数f(x)=二的单调递减区间为 13.已知函数f(x)=x3-3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0，则m十n= 14.己知函数y=g(x)的图象与函数f(x)=e(x<0)的图象关于y轴对称的，若y=g(x)的图象与直线 y=kx恰有两个交点，则k的取值范围为 四解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知函数fx)=lnx+a心十b,a,b∈R,若曲线y=f)在x=1处的切线方程为y=一x+2. (1)求a,b的值： (2)求函数=f(x)在区间[日，e]上的最值. ·2· 16.(15分)已知函数f(x)=xlnx (1)求出f(x)的极值点、零点，并画出f(x)的大致图象； (2)证明：x-1≤xlnc. 17.(l5分)已知函数f(o)=xe-受x2-aa+,a∈R (1)讨论函数f(x)的单调性 (2)若a=-1,判断函数y=f(xc)零点的个数. ·3 18.（(17分)己知函数f(x)=e-x. ()若函数g)=fo)-子x3-ax2在(0，+o∞)上存在单调递减区间，求a的取值范围： (2)若对任意x≥0，f2x)≥(a+4)x2+1恒成立，求a的取值范围. 19.(17分)若函数f(x)在[a,b]上有定义，且对于任意不同的，2∈[a,b],都有f(x)-f(2川<kc-l, 则称f(x)为[a,b]上的“k类函数” (1若f)=号+x,判断f〔x)是否为[1,2]上的“3类函数”： (2)若fw)=a(知-1)e-号-lnx为[1，e]上的“2类函数”，求实数a的取值范国； (3)若f(x)为[1,2]上的“2类函数”，且f(1)=f(2),证明：Vx1,x2∈[1,2]，f()-f(x2川<1. ·4· 莆田一中2025~2026学年度上学期10月月考解析版 高二数学选择性必修第二册第五章 命题人：高影廉换霞审核人：吴晓明曾献峰林丽丽陈淑琼 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知函数f(c)=2,则f(2)的值为() A.2 B.21n2 c 1. D.21m2 【答案】B 【详解】·函数f'(c)=2ln2,f(2)=2ln2,故选：B. 2.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是() A.f'(1)>f'(2)>f(3)>0 B.f'(1)<f'(2)<f'(3)<0 0=x) C.0<f'(1)<f'(2)<f(3) D.f'(1)>f'(2)>0>f'(3) 【答案】A 【详解】血函数f)的图象可知，：当：≥0时，@)单调递增，f1)>0,于2)>o- :随着x的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，·f'(1)>f'(2)>f'(3)>0. 故选：A 3.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是( A.函数y=f(x)在(1,2)上单调递减 B.x=-1是函数y=f(x)的极小值点 C.x=1是函数y=f(x)的极大值点 D.f2)是函数y=f(x)的极大值 【答案】D 【详解】由图可知x∈(-∞，2)时，f'(x)>0,所以函数y=f(x)在(-∞，2)上单调递增， x∈(2，+∞)时，f'(x)<0,所以函数y=f(x)在(2，十∞)上单调递减， 故A,B,C错误；D正确.故选：D 4.函数f(x)=(x2-2x)e的图象大致是() 【答案】B 【详解】由f(x)=（x2-2x)e>0,解得x>2或x<0: 由f(x)=(x2-2c)e<0,解得0<c<2:所以排除选项A、C fx)=(x2-2x)e,∴f'(x)=(2x-2)e+(x2-2x)e=(x2-2)e, 当x<-√2或x>√2时，f'(x)>0,f(x)在(-∞，-√2)，(W2,+∞)上是增函数： ·1· 当-√2<c<√2时，f(x)<0,f(x)在(-√2，√2)上是减函数； 所以排除选项D 故选：B 5.已知函数f(x)=e-e+sinx,若f(1+2a)+f(a)>0,则a的取值范围为() A.(-1,+∞) B.（-o∞，-1) C(-3+ D.(-∞，-3） 【答案】C 【详解】由题意得，函数f(x)的定义域为R. :f(-x)=e-e+sin(-x)=-(e-e"+sinx)=-f(x),.f(c)为奇函数. f(x)=e*-e *+sina,..f'(a)=e"+e-+cosa, :e+e≥2√e.e=2,当且仅当e=e,即c=0时取等号，-1≤cosx≤1， ∴.f'(x)>0恒成立，即f(x)在R上为增函数 …f(a)+f1+2a)>0,∴.f(a)>-f1+2a)=f(-1-2a), a>-1-2a解得a>-分即a的取值范围为(-分+∞)故选：C 6.点M是曲线f)=血心上的动点，则点M到直线y=x+2的距离的最小值为() A.2 B.√2 C.3v2 2 D.要 【答案】C 【详解】因为f(x)=1-n心，又直线g=0+2的斜率为1， x2 由fc)=1-h2=1,得x2+1nx-1=0.又函数gy=r2+1nx-1在(0，+∞)上单调递增函数，r=1为 x 零点， 此时M的坐标为(1,0)到直线x-y+2=0的距离为1-0+2-32 √12+12 2 所以点M到直线y=x+2的距离的最小值为y2 2 故选：C =x+2 In(x) fx)= 7.已知a=1+e十，b=ln3+}c=ln4+号则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 【答案】C 【详解】 法1：构造函数f()=lnx十云其中x>0, 则f回三=社+}=2+2士>0所以，函数f四在0.+o)上单调递增， r(o+1)2 因为a=1+e十=fe),b=ln3+}=f3):c=lm4+号=f4, ·2· 因为4>3>e>0,所以，a<b<c.故选：C. 法2：估算 由ln2≈0.7，ln3≈1.1，e≈2.7， 得a=1+中1+27+≈127，b=lh3+}11+025=135, 1 c=ln4+号=22+号≈1.4+0.2=16 所以，a<b<c.故选：C 8.己知f(x)是定义在R上可导的偶函数，且g(x)=f'(x).若g(x)在[0，十∞)单调递增，则满足 (x-3)g(x-1)≤0的x的取值范围为( A.(-∞，1]U[3,+∞) B.[1,3] C.(-∞，-1]U[3,+∞) D.[-1,3] 【答案】B 【详解】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-)=f(x),两边求导得-f'(-x)=f'(x), 即一9（一x)=g(x)所以g(x)是R上的奇函数且为R上增函数， 而g(x-1)的图象相当于把g(c)的图象向右平移1个单位， 则当xe(-0,1]时，9x-1)≤0，当xE1,+∞)时，9x-1)≥0，所以原不等式等价于”二3≥0或 x≤1 0-3≤0，解得1≤≤3.故选：B x≥1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列求导正确的是( A.若y=x3-x十3，则y=3x2-1 B.若y=1n(2x-1),则y=2x-1 1 C.若y=3e,则y=x2(1+3x)e D.若y=2sin心，则y=2rcos04sinr 【答案】AD 【详解】B.应为寸=22C.应为寸=3+e故答案为AD 10.已知函数fx)=x3-3x2+4,则( A.f(x)有3个零点 B.过原点作曲线y=f(x)的切线，有且仅有一条 C.点(1，f1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.f(x)在区间(-1,3)上的值域为(0,4) 【答案】BC 【详解】 法1：f(x)定义域R,f'(x)=3x2-6x=3x(x-2) 令f'(x)=0得x=0或x=2.令f'(x)>0得x<0或x>2,令f'(x)<0得0<c<2. 所以f(x)在(-∞，0)单调递增，在(0,2)单调递增，在(2，+∞)单调递减 当x=0时，fx)有极大值，并且极大值为f(0)=4 当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f2)=0 函数fx)=x3-3x2+4的图象如下 ·3 可知f(x)有2个零点，A错误 过原点作曲线y=f(x)切线有且仅有一条y=0,B正确 点(1，f1)是曲线y=f(x)对称中心，C正确. 在x∈（-1,3)上f0)=4,f(2)=0.D错误 法2： 对于A,由fx)=(c+1)(x-2)2=0,得x=-1或x=2,函数f(x)的零点有且只有2个，A错误： 对于B,设过原点作曲线y=fx)的切线切点为(xo,-3+4),f'(x)=3x2-6x, 切线方程为y-(x8-3x+4)=(3x-6co)(x-xo),则-(x8-3+4=(3-6o)(-co), 即2-3x-4=0,整理得(-2)(2+co+2)=0,解得c0=2,即切线只有y=0一条，B正确： 对于C,f(x)=(x-1)3-3(x-1)+2,fx)的图象可由g(x)=x3-3x的图象向右平移 一个单位长度，向上平移2个单位长度得到，又g(x)=x3-3x为奇函数，图象关于原点对称， 则f(x)的图象关于(1,2)对称，而f1)=2,即点(1，f1)是曲线y=f(x)的对称中心，C正确： 对于D,由f-1)=f2)=0,f(0)=4,得fx)在区间(-1,3)上的值域不是(0,4)，D错误， 故选：BC 11.己知函数fx)=ln4二卫+ac在x=3处取得极大值，f(x)的导函数为f(x),则( Aa=吉 B.当0<x<1时，f(x)>f(x2) C.f(2+)=f'(2-x) D.当1≤≤≤3且a十<4时，f✉+f小<9 【答案】ACD 【解析】解：由4二巴>0，则0<x<4,则函数f)的定义域为(0,4)， 则f=ln4-）-lh+a,ac0,则f=-士+a 因为函数f@)在x=3处取得极大值，所以f3)=-1-合+a=0,即a=青， 此时e=4-hz+,则ra=。士+寺aa 3x(x-4) 令f(x)<0,得0<x<1或3<x<4:令f'(x)>0,得1<x<3, 所以函数f(x)在(0,1)和(3,4)上单调递减，在(1,3)上单调递增， 则函数f)在0=3处取得极大值，符合题意，即a=专，故A正确：由上述可知函数f)在(0,1)上单调 递减，当0<<1时，0<2<x<1,则f)<f),故B错误；由f(m=二1e-3, 3x(x-4) 则f2+)=42十0-12+x-3=4x+1)(-1) 3(2+x)(2+c-4) 3(2+x)(x-2) ·4· f2-=(2=12-0-3-41--8-)=4r+1)- 3(2-x)(2-x-4)3(2-)(-x-2)3(2+c)(xc-2)' 所以f'(2+x)=f(2-x),故C正确；因为1≤G≤2≤3,1十m2<4,则1≤1<4-2≤3，又函数fx) 在(1,3)上单调递增，则f(x)<f4-2), 所以fa)+f<f+f4-小，又f)+f4-=h(4-)-lnr+寺+lnw-la4-+寺4 x)=9,则✉)+f)<f)+f4-购)=9，故D正确.故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.函数f(如)=二的单调递减区间为 【答案】(1，十∞) 【详解】由题意知f()=1二”，令f(e)=0得x=1, 令f'(x)<0得c∈(1，+∞)，所以函数的单调递减区间为(1，十∞) 13.己知函数f(x)=x3-3mx2+nx+m在x=-1处取得极值0，则m十n= 【答案】7 【详解】fx)=x3-3mx2+nx+m2,f'(x)=3x2-6mx+n, 根据题意：f-=3+6m+n=0,f-D=-1-3m一n+m2=0,解得3或m=-2 In=9 当侧g时，ea-3动++3-3红+≥0，函数单调述指，无极值点，金去. 当)时，f回=32-12z+9=3+10e+. 在x∈(-∞，-4)和x∈(-1，十∞)时，f'(x)>0,函数单调递增； 在x∈(-4，-1)时，f'(x)<0,函数单调递减，故函数在x=-1出有极小值，满足条件. 综上所述：m+n=9-2=7. 故答案：7 14.已知函数y=g(x)的图象与函数f(x)=e(x<0)的图象关于y轴对称的，若y=g(x)的图象与直线 y=kc恰有两个交点，则k的取值范围为 【答案】k>e 【详解】g(c)=e,过原点的曲线g(c)=e的切线方程为y=ex,故k>e 27 四解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）】 15.(13分)已知函数fx)=lnx+a,+b,a,b∈R,若曲线y=f)在x=1处的切线方程为y=-x+2. (1)求a,b的值： ·5. (2求函数=f()在区间[合，e]上的最值. 【详解】m)函数f回)=l1he+心士也=lnc十a+品f)=}-总=2。 1分 由题意得：f'(1)=1-b=-1,f1)=a+b=1. .3分 解得：a=-1,b=2.....5分 由（①）知fx)=ln+2-1,f四)=二2 .6分 令f(x)=0,解得：x=2. .7分 列表如下： e [ (2,e] f'(c) 0 + f(x) 单调递减 In2 单调递增 .10分 又f日)=28-2fe)=8,2e-2> e ....12分 所以函数fe)=lhx+2-1在区间[合e]上的最大值是28-2，最小值是12 13分 16.(15分)已知函数f(x)=xlnx (1)求出f(x)的极值点、零点，并画出f(x)的大致图象： （2)证明：c-1≤xln. 【详解】(1)f(x)定义域为(0，十o∞)，f'(c)=lnc+1 2分 令f)=0得=吕，令f>0得x>是，令fm)<0得0<m< 3分 ∴f)在(0，)单调递减，在（合+∞）单调递增 .4分 ∴f)的极值点为吕 .5分 令f(x)=xlnx=0得c=1.fx)的零点为l.. .6分 1 g=2=四王-0x+ofe一 7分 x2 f(x)的大致图象如下 ·6