第三章 3.2.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦直线与双曲线的位置关系这一核心知识点，以前续双曲线几何性质为基础，通过类比直线与椭圆位置关系引入相交、相切、相离三种情况，进而探究弦长公式及中点弦问题，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料以问题驱动引导学生思考，如通过“仅有一个公共点是否相切”培养推理意识，结合例1分类讨论k的取值范围提升逻辑思维。课中助力教师系统授课，课后分层练习题帮助学生巩固方法，查漏补缺，在解决综合问题中发展数学思维与表达能力。

第2课时　直线与双曲线的位置关系 [学习目标]　1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长问题．(重点) 导语 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题． 一、直线与双曲线的位置关系 问题1　类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ 提示　有三种位置关系，分别为相交，相切、相离三种情况． 问题2　当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？ 提示　不一定．当直线与渐近线平行时，仅有一个交点． 知识梳理 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 注意点： 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 例1　 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 解　联立 消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． 由得－<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点． 延伸探究　若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 解　联立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． 由得k＝±， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点． 故当k＝±或±1时， 直线l与双曲线有且只有一个公共点． 反思感悟　(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 跟踪训练1　已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)，讨论过点P的直线l的斜率的情况，使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点． 解　①当l垂直于x轴时，直线l与双曲线C相切，有一个公共点． ②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)， 代入双曲线C的方程，得(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0. 当k2＝2，即k＝或－时，方程有一个解． 当k2≠2时，Δ＝48－32k， 令Δ＝0，可得k＝；令Δ>0，可得k<且k≠±；令Δ<0，可得k>. 综上所述，当直线l的斜率k∈或直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C有一个公共点； 当直线l的斜率k∈∪∪时，直线l与双曲线C有两个公共点； 当直线l的斜率k∈时，直线l与双曲线C没有公共点． 二、弦长公式及中点弦问题 例2　已知双曲线的方程是－y2＝1. (1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程； (2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求直线l′的方程． 解　(1)设直线l的方程为y＝x＋m， 代入双曲线方程， 得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0， Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0， ∴m2>3. 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则x1＋x2＝－m，x1x2＝. 由弦长公式得|AB|＝|x1－x2| ＝＝， ∴＝， 即m＝±5，满足m2>3， ∴直线l的方程为y＝x±5. (2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)，B′(x4，y4)两点， 点P(3,1)为A′B′的中点， 则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2. 由x－4y＝4，x－4y＝4， 两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0， ∴＝， ∴l′的方程为y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 把此方程代入双曲线方程， 整理得5y2－10y＋＝0， 满足Δ>0， 即所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0. 反思感悟　解决双曲线中有关弦长问题，多数考虑应用弦长公式．解决中点弦问题常用根与系数关系法和点差法，注意所求参数的取值范围． 跟踪训练2　已知双曲线的方程为x2－＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 解　方法一　设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0， ∴k2－2≠0，且Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0， 解得k<，且k≠±. 设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝. ∵点B(1,1)是弦的中点， ∴＝1，∴k＝2>. 故双曲线上不存在被点B(1,1)平分的弦． 方法二　设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 且 由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴kMN＝＝2， ∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1. 由消去y，得2x2－4x＋3＝0. 又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B平分的弦． 1．知识清单： (1)直线与双曲线的位置关系． (2)弦长公式及中点弦问题． 2．方法归纳：定义法、数形结合． 3．常见误区： 判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论．代数计算中的运算失误． 1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 答案　A 解析　由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)， 可得其渐近线方程为y＝±x， 因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行， 所以它与双曲线只有1个交点． 2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A．(－2,2) B．[－2,2) C．(－2,2] D．[－2,2] 答案　A 解析　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0， 由Δ>0可得－2<k<2. 3．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　) A．(1,2) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(2,1) 答案　C 解析　方法一　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0， 由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为(－1，－2)． 方法二　设直线y＝x－1与双曲线2x2－y2＝3交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设线段AB的中点为M(x0，y0)，将A，B代入双曲线方程得 2x－y＝3,2x－y＝3，作差整理得 kAB＝＝＝＝1，① 又M在y＝x－1上，则有y0＝x0－1，② 联立①②解得x0＝－1，y0＝－2， 所以M(－1，－2)． 4．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________. 答案　4 解析　由双曲线方程可得右焦点为(2,0)，渐近线方程为y＝±x，把x＝2代入渐近线方程， 得y＝±2，故|AB|＝4. [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一公共点． 2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 答案　C 解析　设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3， 所以其渐近线方程为y＝±x. 3．经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为(　　) A. B. C. D．7 答案　B 解析　双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4,0)，经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－4)， 代入x2－y2＝8并整理得3x2－32x＋72＝0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝24， 所以直线被双曲线截得的线段的长为×＝. 4．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝3的直线l有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　双曲线－＝1， 过F1的直线l垂直于x轴时， |AB|＝＝＝3， 双曲线两个顶点的距离为2， ∴满足|AB|＝3的直线l有3条， 一条是通径所在的直线，另两条与右支相交． 5．设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　D 解析　设F1(－c,0)，A(－c，y0)， 则－＝1，∴＝－1＝＝＝， ∴y＝， ∴|AB|＝2|y0|＝. 又＝2， ∴·2c· |AB|＝·2c·＝＝2， ∴＝， ∴＝＝. ∴该双曲线的渐近线方程为y＝±x. 6．(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　) A．C的焦距为4 B．C的离心率为 C．C的渐近线方程为y＝±x D．直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 答案　AC 解析　由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确； 因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确； 因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确； 将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确． 7．(5分)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________. 答案　2 解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示． ∵四边形OABC为正方形且边长为2， ∴c＝|OB|＝2. 又∠AOB＝， ∴＝tan ＝1，即a＝b. 又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 8．(5分)过点M(0,3)的直线l与双曲线C：－＝1交于A，B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点O，则直线l的方程为________． 答案　y＝±x＋3 解析　由题意可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋3， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y可得 (3k2－2)x2＋18kx＋21＝0， 则3k2－2≠0，解得k≠±. 又Δ＝(18k)2－4×21×(3k2－2) ＝72k2＋168>0， 且x1＋x2＝－，x1x2＝. 故y1y2＝(kx1＋3)(kx2＋3) ＝－＋9＝， 因为以AB为直径的圆过坐标原点O， 所以·＝0， 即x1x2＋y1y2＝＋＝0， 解得k＝±. 故直线l的方程为y＝±x＋3. 9．(10分)设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1,2)．求： (1)直线AB的方程；(5分) (2)△OAB的面积(O为坐标原点)．(5分) 解　(1)显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)， 即y＝kx＋2－k. 由 消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则1＝＝(2－k2≠0)，解得k＝1. 当k＝1时，满足Δ>0， ∴直线AB的方程为y＝x＋1. (2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3， ∴|AB|＝· ＝×＝4. 又点O到直线AB的距离d＝＝， ∴S△OAB＝|AB|·d＝×4×＝2. 10．(12分)已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长． 解　双曲线方程可化为x2－＝1， 故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4， ∴c＝2.∴F2(2,0)， 又直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线l的方程为y＝x－2， 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵x1·x2＝－<0， ∴A，B两点不位于双曲线的同一支上． ∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－， ∴|AB|＝ ＝·＝6. 11．已知双曲线E的中心在原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由已知条件易得直线l的斜率k＝＝1， 设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则－＝1，① －＝1，② x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30， 由①②得＝，从而＝1， 又因为a2＋b2＝c2＝9， 故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为－＝1. 12．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　C 解析　设双曲线的半焦距为c， 则F(c,0)，将x＝c代入双曲线－＝1， 得y＝±，不妨取C，B， 又A1(－a,0)，A2(a,0)， 故＝＝－，＝＝. 因为A1B⊥A2C， 故－×＝－1， 即＝1，即＝1， 所以a＝b，故渐近线方程是y＝±x，即y＝±x. 13．(2023·天津)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　 D 解析　不妨设过F2(c,0)作一条渐近线y＝x的垂线，垂足为P， 则|PF2|＝＝b＝2， 所以b＝2，① 联立可得x＝，y＝， 即P， 因为直线PF1的斜率为＝， 整理得(a2＋c2)＝4ab，② a2＋b2＝c2，③ ①②③联立得，a＝，b＝2， 故双曲线的方程为－＝1. 14．(5分)已知双曲线－x2＝1(a>0)的离心率e＝，点F1，F2分别是它的下焦点和上焦点，若P为该双曲线上支上的一个动点，则|PF1|与P到一条渐近线的距离之和的最小值为________． 答案　5 解析　双曲线－x2＝1(a>0)的离心率e＝， 所以e2＝1＋＝，解得a＝2， 所以F1(0，－)，F2(0，)，双曲线方程为－x2＝1， 由－x2＝0得双曲线的渐近线方程为y＝±2x， 由P为该双曲线上支上的一个动点， 根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|＝4＋|PF2|， 设点P到渐近线y＝2x的距离为d， 则|PF1|＋d＝4＋|PF2|＋d， 过F2作渐近线y＝2x的垂线， 垂足为M，如图． 所以|F2M|＝＝1， 所以|PF1|＋d＝4＋|PF2|＋d≥4＋|F2M|＝5， 同理|PF1|与P到渐近线y＝－2x的距离之和的最小值也为5. 15．(5分)祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家．他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点，则双曲线的方程为____________；若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为________． 答案　－x2＝1　3π 解析　∵双曲线C的离心率e＝＝， ∴c＝a， ∴c2＝a2＋b2＝a2， ∴b2＝a2， ∵双曲线的方程为－＝1过点(，2)， 即－＝1，a2＝3，b2＝1， ∴双曲线方程为－x2＝1， 则渐近线方程为y＝±x， 取直线x＝m(0≤m≤1)， 代入－x2＝1，得y＝， 代入y＝x，得y＝m， ∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝(3＋3m2)π－3m2π＝3π. 又高度为1， 故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π. 16．(12分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A(2,2)，且△AF1F2的面积为2. (1)求双曲线C的标准方程；(4分) (2)直线l：x＝my＋1交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于点E，F(不同于点A)，记直线AE，AF分别与直线x＝1交于点M，N，证明：B是MN的中点．(8分) (1)解　由题知 解得 ∴双曲线C的标准方程为－＝1. (2)证明　将l：x＝my＋1代入双曲线C：－＝1， 得(2m2－1)y2＋4my－2＝0. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则2m2－1≠0，Δ＝32m2－8>0， y1＋y2＝－， y1y2＝－. 直线AE的方程为y＝(x－2)＋2， 令x＝1，得yM＝＋2； 直线AF的方程为y＝(x－2)＋2， 令x＝1，得yN＝＋2. ∵＋ ＝＝－4， ∴yM＋yN＝0， 又B(1,0)， ∴|BM|＝|BN|，即B是MN的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $