第二章 2.5.2 圆与圆的位置关系（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本高中数学讲义聚焦圆与圆的位置关系核心知识点，通过类比直线与圆的位置关系，系统梳理代数法（联立方程解的个数判断）和几何法（圆心距与半径关系判断），并延伸至相交弦问题、圆系方程及综合应用，构建从基础到应用的学习支架。 该讲义以日食现象导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过几何法与代数法对比培养推理能力，结合例题解析与跟踪训练强化运算能力，助力教师课中高效授课，也便于学生课后回顾知识清单、完成练习题，查漏补缺提升应用意识。

2.5.2　圆与圆的位置关系 [学习目标]　1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法(重点).3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题(难点)． 导语 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系． 一、两圆位置关系的判断 知识梳理 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 注意点： 判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系． 例1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解　圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系． 跟踪训练1　(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A．4 B．6 C．16 D．36 答案　C 解析　圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1， ∵两圆有三条公切线， ∴两圆外切， ∴＝1＋，解得a＝16. (2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条． 答案　4 解析　到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，－1)的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5. 半径之和为3＋1＝4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条． 二、相交弦问题 例2　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 解　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立圆C1与圆C2的方程，得 由①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 又圆C1的圆心(－3,0)，r＝， ∴C1到直线AB的距离d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)解方程组 得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则 ＝， 解得a＝，故所求圆的圆心为， 半径为. 故所求圆的方程为2＋2＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 反思感悟　(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 跟踪训练2　圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________． 答案　(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0) 解析　方法一　由 解得 所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)． 由解得 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法二　同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)， 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由解得 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 三、圆与圆的综合性问题 例3　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解　设所求圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1.① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0， 故＝.② ＝r.③ 由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 延伸探究　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？ 解　因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切， 且过点(3，－)， 所以解得 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 反思感悟　通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题． 1．知识清单： (1)两圆的位置关系． (2)两圆的公共弦． (3)圆系方程． (4)圆与圆的综合性问题． 2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：将两圆内切和外切相混. 1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 答案　B 解析　把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝＝<r1＋r2，又r2－r1<，所以两圆相交． 2．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A．2 B．－5 C．－2 D．5 答案　AB 解析　圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3， 圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2. 依题意有＝3＋2， 即m2＋3m－10＝0， 解得m＝2或m＝－5. 3．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________________________________________________________________________． 答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 解析　设圆C的半径为r， 圆心距d＝＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4； 当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6， 则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16 或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________. 答案　1 解析　将两圆的方程相减， 得相交弦所在的直线方程为y＝， 圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1， 所以a＝1. [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为(　　) A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 答案　C 解析　由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则圆心距d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切． 2．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　) A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 答案　A 解析　圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为＝，即x＋y－1＝0. 3．(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　　) A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9 C．(x－2)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49 答案　BCD 解析　由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2. A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3. ∵|C1C|＝∈(r1－r，r1＋r)， ∴两圆相交； B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3， ∵|C2C|＝5＝r＋r2， ∴两圆外切，满足条件； C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5， ∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切； D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7， ∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切． 4．设圆C1 ，C2 都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆的圆心距|C1C2|等于(　　) A．32 B．16 C．8 D．1 答案　C 解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都过点(4,1)， ∴两圆的圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2， (4－b)2＋(1－b)2＝b2， ∴a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2 的两个实数根， 即a，b为方程x2－10x＋17＝0 的两个实数根， ∴a＋b＝10 ，ab＝17 . ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32， ∴|C1C2|＝＝＝8. 5．已知点A(1,0)，B(1,6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于(　　) A．－3或3 B．57 C．－3或57 D．3或57 答案　C 解析　由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切． 因为A(1,0)，B(1,6)， 所以以AB为直径的圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9， 圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m. 因为两圆相切， 所以|CM|＝|3±|，即5＝|3±|， 解得m＝57或m＝－3. 6．若直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则|AB|等于(　　) A．1 B. C. D．2 答案　C 解析　如图所示，设直线l交x轴于点M， 由于直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B， 则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2， ∵|BC2|＝2＝2|AC1|， ∴C1为MC2的中点，A为BM的中点， ∴|MC1|＝|C1C2|＝2， 由勾股定理可得|AB|＝|MA|＝＝. 7．(5分)已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是________________． 答案　4a2＋b2＝1 解析　圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a,0)，半径长为2. 圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1. 圆心坐标为(0，b)，半径长为1. 由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以＝2－1＝1， 整理得4a2＋b2＝1. 8．(5分)经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为______________________． 答案　x2＋y2－x－y－＝0 解析　由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0. 9．(10分)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系；(3分) (2)求公共弦所在的直线方程；(3分) (3)求公共弦的长度．(4分) 解　(1)将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，所以r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，所以两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0. (3)方法一　两方程联立，得方程组 两式相减得x＝2y－4，③ 把③代入②得y2－2y＝0，解得y1＝0，y2＝2， 所以或所以两圆交点坐标为(－4,0)和(0,2)， 所以两圆的公共弦长为＝2. 方法二　由(2)知x－2y＋4＝0为两圆公共弦所在直线的方程． 由(1)知圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5，圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3， 所以两圆的公共弦长为 2＝2＝2. 10．(10分)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；(6分) (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．(4分) 解　(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意． ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)． 即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2， 所以＝2，即＝2， 解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0. (2)依题意，设D(a，a＋2)． 又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|＝5， 所以＝5， 解得a＝－1或a＝6. 所以D(－1,1)或D(6,8)， 所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9. 11．已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y＋3)2＝m有公共点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　圆x2＋y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆(x－4)2＋(y＋3)2＝m的圆心C2(4，－3)，半径r2＝(m>0)，则|C1C2|＝＝5，两圆有公共点⇔|－1|≤5≤＋1，解得16≤m≤36，显然[16,36][16，＋∞)．故“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y＋3)2＝m有公共点”的必要不充分条件． 12．(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 答案　ABD 解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B， 两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确； 对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确； 对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，半径r＝1，所以|AB|＝2＝，故C不正确； 对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确． 13．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，则下列说法正确的是(　　) A．两圆有两条公切线 B．直线AB的方程为y＝2x＋2 C．线段AB的长为 D．若圆O上有一动点E，圆M上有一动点F，则|EF|的最大值为＋3 答案　AD 解析　因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确； 又圆O：x2＋y2＝4，① 圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，② 所以由②－①得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；又圆O的圆心为O(0,0)，半径为2，则圆心O到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝2×＝，故C错误；圆M的圆心为M(－2,1)，半径为1，所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝＋3，故D正确． 14．(5分)在平面直角坐标系Oxy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点(0,1)的距离为2，则实数a的取值范围是______________． 答案　∪ 解析　因为圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0， 所以(x－a)2＋(y－a)2＝1，其圆心C(a，a)，半径r＝1. 因为点P到点(0,1)的距离为2， 所以P点的轨迹为x2＋(y－1)2＝4. 因为P又在(x－a)2＋(y－a)2＝1上， 所以圆C与圆x2＋(y－1)2＝4有交点， 即2－1≤≤2＋1， 解得≤a≤0或1≤a≤. 所以实数a的取值范围是∪. 15．(5分)为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h＝6 mm(如图所示)，则R＝________ mm. 答案　 解析　如图，设两圆O1，O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N， 点D为线段OO2与圆O2的交点， 则|DE|＝h＝6，所以|NE|＝10，|O2M|＝10，|O2N|＝10－|DN|＝h＝6， 因为∠O1NO2＝∠OMO2＝90°，∠O1O2N＝∠OO2M， 所以△O1NO2∽△OMO2，所以＝， 所以＝，解得R＝. 16．(12分)在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C1的方程为2＋y2＝10，圆C2过点M，且与圆C1外切于点N. (1)求圆C2的方程；(5分) (2)设斜率为2的直线m分别交x轴负半轴和y轴正半轴于A，B两点，交圆C2在第二象限的部分于E，F两点．若△AOE与△BOF的面积相等，求直线m的方程．(7分) 解　(1)设圆C2的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 因为圆C1的方程为2＋y2＝10， 所以圆C1的圆心坐标为C1， 因为圆C2与圆C1外切于点N， 所以圆C2的圆心在直线C1N上， 因为直线C1N的方程为y＝－， 所以b＝－， 因为圆C2过点M， 且与圆C1外切于点N， 所以 解得 所以圆C2的方程为x2＋2＝. (2)如图，设直线m的方程为y＝2x＋t(t>0)， 则A，B(0，t)， 因为圆C2的方程为x2＋2＝， 所以圆C2与y轴正半轴的交点的坐标为， 因为直线m交圆C2在第二象限的部分于E，F两点， 所以圆心C2到直线m的距离满足 <且t>， 所以<t<，① 因为△AOE与△BOF的面积相等， 则AE＝BF，所以EF，AB的中点重合． 所以EF的中点D， 因为C2D⊥EF，C2， 所以·kEF＝－1，即×2＝－1， 解得t＝4满足①式， 所以直线m的方程为y＝2x＋4，即2x－y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $