第二章 2.2.2 直线的两点式方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线的两点式方程”核心知识点，系统梳理从点斜式方程推导两点式方程的过程，延伸至截距式方程（直线与坐标轴交点的特殊情况），结合例题、跟踪训练及实际应用问题，构建从概念理解到技能运用的学习支架。 该资料以斜拉桥实际情境引入，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过问题驱动引导方程推导，发展数学思维的逻辑推理能力，例题中强调分类讨论（如截距为0或不为0的情况），提升严谨性。练习题结合面积计算等实际问题，助力学生用数学语言表达现实关系。资料含延伸探究与分层练习，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.2.2　直线的两点式方程 [学习目标]　1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程(重点).2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围． 导语 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线．怎样表示直线的方程呢？本节课我们就来学习一下． 一、直线的两点式方程 问题1　我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由点斜式方程，得 y－y1＝(x－x1)， 即＝(x1≠x2，y1≠y2)． 知识梳理 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 例1　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中： (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 反思感悟　利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件； 若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 跟踪训练1　已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程． 解　由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； (2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝， 即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 二、直线的截距式方程 问题2　若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由两点式方程，得 ＝，即＋＝1. 知识梳理 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 例2　求过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 延伸探究　若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解　(1)当截距不为0时， 设直线l的方程为＋＝1， 又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 反思感悟　应用截距式方程的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 三、截距式方程的应用 例3　过点P(3,2)的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A，B两点． (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程． 解　(1)设A(a,0)，B(0，b)， ∵P(3,2)为AB的中点，∴A(6,0)，B(0,4)， ∴由截距式得直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0. (2)由题意，设直线的截距式方程为＋＝1(a，b>0)， ∵直线过P(3,2)，∴＋＝1， ∴1＝＋≥2，∴ab≥24， 当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，等号成立， ∴△AOB的面积S＝ab≥12， ∴△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为＋＝1， 即直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 反思感悟　直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|. 跟踪训练2　已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 解　(1)因为直线l的两点式方程为 ＝， 所以＝，即＝x－1. 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8. 所以＋＝1.故所求截距式方程为＋＝1. (2)如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB，且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8， 故S△AOB＝|OA|·|OB|＝×4×8＝16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 1．知识清单： (1)直线的两点式方程． (2)直线的截距式方程． 2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解． 1．过点(1,2)，(5,3)的直线方程是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案　B 解析　∵所求直线过点(1,2)，(5,3)， ∴所求直线方程是＝. 2．在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 答案　A 3．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________． 答案　2x－y＝0或x－y＋1＝0 解析　当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时，得直线方程为2x－y＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为－＝1， 将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1， 得直线方程为x－y＋1＝0. ∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 4．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________． 答案　2x－y＋1＝0 解析　线段AB的中点坐标为(1,3)， 由直线的两点式方程可得＝， 即2x－y＋1＝0. [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为(　　) A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案　A 解析　代入两点式得直线方程为＝， 整理得y＝x＋3. 2．已知直线过点(2, 1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为(　　) A．2x＋y－5＝0 B．x＋2y－4＝0 C．x－2y＝0或x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0或2x＋y－5＝0 答案　C 解析　当截距为0时，设直线的方程为y＝kx， 因为直线过点(2, 1)，所以1＝2k， 即k＝，则直线的方程为y＝x，即x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线的方程为＋＝1， 因为直线过点(2,1)，所以＋＝1，则a＝2， 所以直线的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. 综上，直线的方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. 3．若直线＋＝1过第一、二、三象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 答案　C 解析　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. 4．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－3 C．－27 D．27 答案　D 解析　由两点式得直线方程为＝，令y＝0，得x＝27. 5．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 答案　A 解析　由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)， 再由两点式可得直线MN的方程为＝， 即2x＋y－8＝0. 6．(多选)若直线过点(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则该直线的方程为(　　) A．2x＋3y－6＝0 B．2x－3y＋6＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 答案　AC 解析　设直线的截距式方程为＋＝1.又直线过点(6，－2)， 则＋＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 7．(5分)已知点P(x,2)在过M(－2,1)和N(3，－4)两点的直线上，则x的值是________． 答案　－3 解析　过M，N两点的直线的方程为＝， 又P(x,2)在此直线上， 所以当y＝2时，x＝－3. 8．(5分)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的方程为____________． 答案　x＋3y＋2＝0 解析　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3， 即P(－5,1)，Q(7，－3)．由两点式可得＝，化简得直线l的方程为x＋3y＋2＝0. 9．(10分)如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系可用直线AB的方程表示． (1)求直线AB的方程；(5分) (2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李？(5分) 解　(1)由题图知点A(60,6)，B(80,10)， 则直线AB的方程为＝， 即x－5y－30＝0. (2)依题意，令y＝0，解得x＝30， 即旅客最多可免费携带30千克的行李． 10．(10分)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)． (1)求边AC和AB所在直线的方程；(4分) (2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积．(6分) 解　(1)由截距式，得边AC所在直线的方程为 ＋＝1，即x－2y＋8＝0. 由两点式，得边AB所在直线的方程为 ＝， 即x＋y－4＝0. (2)由题意，得点D的坐标为(－4,2)， 由两点式，得边BD所在直线的方程为 ＝， 即2x－y＋10＝0. ∴＋＝1. ∴直线BD与坐标轴围成的三角形的面积S＝×5×10＝25. 11．(多选)过点(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　) A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0 答案　AC 解析　当直线过点(0,0)时，直线方程为y＝x， 即x－4y＝0； 当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为＋＝1. 把点(4,1)代入，解得a＝5， 所以直线方程为x＋y＝5. 综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0. 12．已知直线l过原点，且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点分别为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为(　　) A．y＝x B．y＝2x＋3 C．y＝－x＋5 D．y＝x 答案　D 解析　由于直线l平分平行四边形ABCD的面积， 因此其必过平行四边形对角线的交点， 而B(1,4)，D(5,0)，所以对角线的交点为(3,2)， 又直线l过原点，所以其方程为y＝x. 13．直线－＝1与－＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 答案　B 解析　易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足题意． 14．(5分)已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为________． 答案　3x－4y＋20＝0 解析　依题意知，a＝2，P(0,5)． 设A(x0,2x0)，B(－2y0，y0)， 则由中点坐标公式，得 解得 所以A(4,8)，B(－4,2)， 由直线的两点式方程，得直线AB的方程是＝，即3x－4y＋20＝0. 15．(5分)已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________． 答案　3 解析　直线AB的方程为＋＝1， 则x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) ＝[－(y－2)2＋4]≤3. 即当点P的坐标为时，xy取得最大值3. 16．(13分)若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 解　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)， 则直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0. ∵|a|·|a|＝18，即a2＝36， ∴a＝±6， ∴直线l的方程为x＋y±6＝0. 若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)， 故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0. ∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36， ∴a＝±6， ∴直线的方程为x－y±6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $