第二章 2.2.1 直线的点斜式方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线的点斜式方程”核心知识点，从斜率公式推导点斜式方程入手，梳理斜率存在条件及特殊直线（与坐标轴平行）的方程形式，过渡到斜截式方程，并延伸至两直线平行与垂直的判断应用，构建从基础推导到综合应用的学习支架。 以射击手托枪瞄准为例引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题驱动推导过程培养数学思维中的推理意识，知识梳理注意点规范数学语言表达。例1写点斜式方程、例3判断两直线位置关系等实例，结合反思感悟与跟踪训练，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.2.1　直线的点斜式方程 [学习目标]　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程(重点).3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题(难点)． 导语 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求，则托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向． 一、求直线的点斜式方程 问题1　给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 提示　根据过两点的直线的斜率公式得＝k，即y－y0＝k(x－x0)． 知识梳理 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 例1　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－4,3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°. 解　(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－3＝3(x＋4)． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1)． 反思感悟　求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 跟踪训练1　求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 解　(1)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝＝－1. ∵直线过点P(－2,3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 二、直线的斜截式方程 问题2　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程． 提示　由点斜式方程得y－b＝k(x－0)， 即y＝kx＋b. 知识梳理 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 例2　已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程． 解　由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 延伸探究　 1．本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程． 解　∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3， ∴l的斜率为. ∵l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2：y＝4x－2， ∴l在y轴上的截距为2. ∴直线l的方程为y＝x＋2. 2．若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积． 解　令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝－1. 所以所求三角形的面积为 S＝×|－2|×|－1|＝1. 反思感悟　求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 例3　已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 解　当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋. 由－＝－，得m＝±； 由≠，得m≠且m≠， 所以当m＝－时，l1与l2平行； 又－·＝－1无解． 故当m＝－时，l1与l2平行； 当m＝0时，l1与l2垂直． 反思感悟　若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 跟踪训练2　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 解　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2， ∵l1∥l2， ∴ 解得a＝－1， 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． (2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4， ∵l1⊥l2， ∴4(2a－1)＝－1，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 1．知识清单： (1)直线的点斜式方程． (2)直线的斜截式方程． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合法． 3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离． 1．已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x－2 D．y＝x－2 答案　D 解析　∵直线l的倾斜角为60°， ∴k＝tan 60°＝， ∴直线l的方程为y＝x－2. 2．已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　) A．9 B．－9 C. D．－ 答案　B 解析　由y＋＝(x－1)，得y＝x－9， ∴l在y轴上的截距为－9. 3．若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　) A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 答案　B 解析　∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0. 4．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________. 答案　－1 解析　由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1. [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2 答案　D 解析　∵直线与x轴平行， ∴其斜率为0， ∴直线的方程为y＝－2. 2．已知直线l过点(－3,4)且方向向量为(1，－2)，则l在x轴上的截距为(　　) A．－1 B．1 C．－5 D．5 答案　A 解析　因为直线l的方向向量为(1，－2)， 所以直线l的斜率k＝－2， 又直线l过点(－3,4)， 所以直线方程为y－4＝－2(x＋3), 令y＝0，得x＝－1，所以l在x轴上的截距为－1. 3．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A．60°，2 B．120°，2－ C．60°，2－ D．120°，2 答案　B 解析　该直线的斜率为－， 当x＝0时，y＝2－， ∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－. 4．过点(－1,3)且垂直于直线y＝x＋的直线方程为(　　) A．y－3＝－2(x＋1) B．y－3＝－2(x－1) C．y－3＝－(x＋1) D．y－3＝(x＋1) 答案　A 解析　所求直线与已知直线垂直， 因此所求直线的斜率为－2， 故方程为y－3＝－2(x＋1)． 5．以A(2，－5)，B(4，－1)为端点的线段的垂直平分线的方程是(　　) A．y－(－3)＝2(x－3) B．y－3＝2(x－3) C．y－3＝－(x－3) D．y－(－3)＝－(x－3) 答案　D 解析　由A(2，－5)，B(4，－1)，知线段AB的中点坐标为(3，－3)， 又由斜率公式可得kAB＝＝2， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为 k＝－＝－， 所以线段AB的垂直平分线的方程为 y－(－3)＝－(x－3)． 6．(多选)已知直线l：y＝x－1，则(　　) A．直线l过点(，－2) B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为60° D．直线l在y轴上的截距为1 答案　BC 解析　对于A，将(，－2)代入y＝x－1，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由y＝x－1，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，可得α＝60°，故C正确； 对于D，由y＝x－1，令x＝0，可得直线l在y轴上的截距为－1，故D不正确． 7．(5分)已知斜率为－的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程为________． 答案　y＝－x＋4或y＝－x－4 解析　设l：y＝－x＋b， 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝b. 由题意，得·|b|·＝6， ∴b2＝16，∴b＝±4. 故直线l的方程为y＝－x±4. 8．(5分)在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________． 答案　y＝x－6或y＝－x－6 解析　因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为或－， 又因为在y轴上的截距为－6， 所以直线的斜截式方程为y＝x－6或 y＝－x－6. 9．(10分)求满足下列条件的m的值． (1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；(5分) (2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直．(5分) 解　(1)∵l1∥l2， ∴两直线的斜率相等． ∴m2－2＝－1且2m≠1， ∴m＝±1. (2)∵l1⊥l2，∴2m－1＝， ∴m＝. 10．(12分)直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程． 解　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)， 令y＝0，得x＝， 由三角形的面积为2，得××2＝2. 解得k＝. 可得直线l的方程为y－2＝(x－2)． 综上可知，直线l的方程为x＝2或y＝x＋1. 11．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是(　　) 答案　C 解析　对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意． 12.已知直线l：y＝xsin θ＋cos θ的图象如图所示，则角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　D 解析　结合图象易知，sin θ<0，cos θ>0， 则角θ是第四象限角． 13．(5分)直线l的斜率k为方程x2－2x＋1＝0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为________． 答案　y＝x＋5 解析　由题意，方程x2－2x＋1＝0的根为1， 所以k＝1，又在y轴上的截距为5， 则直线l的方程为y＝x＋5. 14．(5分)已知直线y＝x－1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β＝2α，且过点(2，－1)，则直线l的方程为________． 答案　y＝x－2－1 解析　因为已知直线的斜率为， 即tan α＝，所以α＝30°， 所以直线l的斜率k＝tan β＝tan 2α＝tan 60°＝， 又l过点(2，－1)， 所以l的方程为y－(－1)＝(x－2)， 即y＝x－2－1. 15．(5分)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(－1,0)，C(0,3)，AB＝AC，则△ABC的欧拉线的斜截式方程为__________． 答案　y＝－x＋ 解析　因为AB＝AC，所以△ABC外心，重心，垂心都位于线段BC的垂直平分线上， 设线段BC的垂直平分线的斜率为k， 则k·kBC＝－1， 因为kBC＝＝3，所以k＝－， 又因为BC的中点坐标为， 所以△ABC的欧拉线方程为 y－＝－， 化成斜截式为y＝－x＋. 16．(12分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点；(4分) (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．(8分) (1)证明　由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(－2,1)． (2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若要使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足 即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $