第二章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦两条直线平行和垂直的判定核心知识点，从平面几何中平行垂直的角关系入手，过渡到解析几何中用斜率刻画的判定条件，构建从几何直观到代数表达的学习支架，涵盖斜率存在时平行（k1=k2且不重合）、垂直（k1k2=-1）及特殊情况（斜率不存在）的完整知识脉络。 以过山车轨道为现实情境导入培养数学眼光，通过问题链引导和分类讨论发展数学思维，结合坐标计算、符号表达的例题与练习强化数学语言。课中助力教师引导学生从直观到抽象，课后练习题覆盖不同情形，帮助学生查漏补缺，提升解决几何问题的应用能力。

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [学习目标]　1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件(重点).2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题(难点)． 导语 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？本节课我们就来研究一下． 一、两条直线平行的判定 问题1　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示　两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 问题2　平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示　两直线平行，倾斜角相等． 知识梳理 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 例1　判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1，3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 解　(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1， 则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M三点不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 延伸探究　已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为__________. 答案　0或1 解析　当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝， kMN＝＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即＝，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，经检验，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 反思感悟　判断两条不重合的直线是否平行的方法 二、两条直线垂直的判定 问题3　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示　k1·k2＝－1. 知识梳理 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－. 例2　已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 解　若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， 即·＝－1，解得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1， 即·＝－1，解得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1， 即·＝－1，解得m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2. 反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 跟踪训练1　(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　) A．l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5) B．l1的斜率为－，l2过点P(1,1)，Q C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4,2) D．l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3) 答案　ABD 解析　A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直； B中，l2过点P(1,1)，Q，kPQ＝，故两条直线垂直． C中，kPQ＝，故l1不与l2垂直． D中，l1过点M(1,0)，N(4，－5)，kMN＝－，l2过点P(－6，0)，Q(－1,3)，kPQ＝，故两条直线垂直． 三、平行与垂直的综合应用 例3　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 解　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3， kBC＝＝－， ∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， ∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行． 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1， ∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形． 反思感悟　利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 跟踪训练2　已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 解　设所求点D的坐标为(x，y)， 如图所示，由于kAB＝3， kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD， AD⊥CD， ∵kBC＝0， ∴CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC， ∴＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3,3)． (2)若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝，kCD＝， ∴ 解得x＝，y＝， ∴D点坐标为. 综上，D点坐标为(3,3)或. 1．知识清单： (1)两直线平行的判定． (2)两直线垂直的判定． (3)两直线平行、垂直的应用． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况． 1．若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(　　) A. B．－ C．2 D．－2 答案　B 解析　由题意知，直线PQ的斜率存在， 由kPQ＝kMN，即＝， 得m＝－. 经检验知，m＝－符合题意． 2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B．－ C．a D．不存在 答案　BD 解析　当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－， 当a＝0时，l2的斜率不存在． 3．已知两点M(2,2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为(　　) A．(1,0) B．(6,0) C．(1,0)或(6,0) D．不存在 答案　C 解析　设P点坐标为(x0,0)，则kPM＝，kPN＝，由于∠MPN＝90°，故kPM·kPN＝－1，即·＝－1，解得x0＝1或x0＝6，故P点坐标为(1,0)或(6,0)． 4．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是______． 答案　平行或重合 解析　直线l1的倾斜角为135°， 故斜率kl1＝tan 135°＝－1. 由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)， 得kl2＝＝－1，所以kl1＝kl2， 所以直线l1与l2平行或重合． [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1．下列说法正确的是(　　) A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两条直线的斜率之积为－1 D．只有斜率相等的两条直线才一定平行 答案　B 解析　因为当两条直线的倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确；平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确；垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为－1，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直，故C不正确；斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确． 2．已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2)，B(1，－2)，C(－2,4)，则BC边上的高的斜率为(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　C 解析　∵B(1，－2)，C(－2,4)， ∴kBC＝＝－2， 设BC边上的高的斜率为k，则k·kBC＝－1， ∴k＝. 3．直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°， ∴l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－. 4．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A．1 B．3 C．0或1 D．1或3 答案　D 解析　因为l1⊥l2， 所以k1·k2＝－1， 即×＝－1， 解得a＝1或a＝3. 5．(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是(　　) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QS D．PR⊥QS 答案　ABD 解析　由斜率公式知， kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行，故ABD正确． 6．直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为(　　) A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1 C．y＝3x－3 D．y＝3x＋1 答案　A 解析　当直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°时，所得直线斜率为－，此时，该直线的方程为y＝－x，再将该直线向右平移1个单位长度可得直线 y＝－(x－1)，即y＝－x＋. 7．(5分)小明研究一张坐标纸中A(－4，m)，B(1,0)，C(3,0)，D(2，n)四点的关系时，发现直线AB与CD的方向向量互相垂直，则mn＝________. 答案　－5 解析　由题意可知直线AB与CD的斜率存在， 因为直线AB与CD的方向向量互相垂直， 所以直线AB与CD的斜率之积为－1， 又A(－4，m)，B(1,0)，C(3,0)，D(2，n)， 所以·＝－1， 整理得mn＝－5. 8．(5分)若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________. 答案　2　－ 解析　当l1⊥l2时，k1k2＝－＝－1，得b＝2. 当l1∥l2时，k1＝k2，Δ＝9－4×2×(－b)＝0， 得b＝－. 9．(10分)(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；(4分) (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．(6分) 解　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知直线l2的斜率k2一定存在， 直线l1的斜率可能不存在． 当直线l1的斜率不存在时，3＝a－2， 即a＝5，此时k2＝0， 则l1⊥l2，满足题意． 当直线l1的斜率k1存在时，a≠5， 由斜率公式，得k1＝＝， k2＝＝. 由l1⊥l2，知k1k2＝－1， 即·＝－1，解得a＝0. 综上所述，a的值为0或5. 10．(10分)已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)． (1)求点D的坐标；(5分) (2)试判定▱ABCD是否为菱形？(5分) 解　(1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以解得 所以D(－1,6)． (2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． 11．(多选)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　BC 解析　当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD. 当m≠0时，kAB＝，kCD＝， 则kAB＝kCD，即＝，得m＝1， ∴m＝0或1. 12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3,1) B．(4,1) C．(－2,1) D．(2，－1) 答案　A 解析　如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标． 13．(5分)已知直线l1，l2的斜率分别为kl1＝，kl2＝，直线l1，l2互相垂直，且a，b>0，则＋的最小值为________． 答案　 3＋2 解析　由题得kl1·kl2＝·＝－1， 所以a＋b＝1，又a>0，b>0， 所以＋＝(a＋b) ＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当＝， 即a＝2－，b＝－1时等号成立． 所以＋的最小值为3＋2. 14．(5分)如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|＝5 m，宽|AB|＝3 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.在BC上有一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为________m. 答案　 解析　以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,3)，D(5,3)，C(5,0)，设M(x,0)，0<x<5.由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在，由于AC与DM互相垂直，所以kAC·kDM＝－1，即·＝－1，解得x＝，所以BM的长为 m. 15．(5分)直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________. 答案　4＋ 解析　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 16．(13分)已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0)． (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；(6分) (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．(7分) 解　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 即×3＝－1.① 由已知得kPN＝－2， 由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 即＝－2.② 联立①②求解得x＝0，y＝1，即Q(0,1)． (2)设Q(x,0)， ∵∠NQP＝∠NPQ， ∴kNQ＝－kNP. 又∵kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2，即x＝1， ∴Q(1,0)． 又∵M(1，－1)， ∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $