第二章 2.1.1 倾斜角与斜率（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，系统梳理倾斜角的定义（0°≤α<180°）及唯一性、斜率的概念（tanα）及公式（两点间斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)），构建从几何直观（倾斜角）到代数表示（斜率）再到应用（线段交点斜率范围）的学习支架。 以交通工程坡度为现实情境导入，通过问题链引导学生抽象倾斜角与斜率关系，培养数学眼光。例题结合图形分析斜率范围（如例3线段交点问题）发展数学思维，课中助教师引导探究，课后分层练习题帮助学生巩固基础、弥补盲点。

2.1.1　倾斜角与斜率 [学习目标]　1.了解直线的倾斜角和斜率的概念(重点).2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率(重点)． 导语 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝＝.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？本节课我们就来学习一下． 一、直线的倾斜角 问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 问题2　在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 知识梳理 1．倾斜角的定义： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度． 例1　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) 答案　AC 解析　任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，故B错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确； 当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1， 故D错误． (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 答案　AB 解析　根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 反思感悟　直线倾斜角的概念和范围 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 跟踪训练1　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 答案　60°或120° 解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. (1)　　　　　(2) ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 答案　135° 解析　设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 二、直线的斜率 问题3　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1)已知直线l经过O(0,0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ 提示　(1)tan α＝＝. (2)tan α＝＝1－. (3)tan α＝. 知识梳理 1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系： (1)直线P1P2的方向向量＝(x2－x1，y2－y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为＝(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率． (2)当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0,1)． 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. (5)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 例2　(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角． ①A(2,3)，B(4,5)； ②C(－2,3)，D(2，－1)； ③P(－3,1)，Q(－3,10)； ④M(2,4)，N(－3,4)． 解　①存在．直线AB的斜率kAB＝＝1， 则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝45°. ②存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1， 则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝135°. ③不存在．因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. ④存在．因为yM＝yN＝4， 所以直线MN的斜率为0，倾斜角α＝0°. (2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． 解　当a＝3时，斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率k＝. 反思感悟　求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. (2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2)． 跟踪训练2　(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为________． 答案　－ (2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________． 答案　1 解析　由斜率公式k＝＝1，得m＝1. (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，)，则直线l的倾斜角为_________． 答案　 解析　设直线l的斜率为k， 则k＝，所以直线的倾斜角为. 三、倾斜角和斜率的应用 问题4　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？ 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大． 知识梳理 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 例3　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 解　如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 反思感悟　倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 跟踪训练3　已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 解　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 1．知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围． (2)直线斜率的定义和斜率公式． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清． 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案　ABC 2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 答案　A 解析　由题意知，tan 45°＝，得m＝2. 3．已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，则x＝________，直线AB的倾斜角为________． 答案　3　 解析　因为A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，所以kAB＝kBC，即＝，解得x＝3，设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ＝1得θ＝，所以直线AB的倾斜角为. 4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1) 答案　0°<α≤90° 解析　当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°. [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5) 答案　D 解析　D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 2．(多选)已知直线斜率的绝对值为，则直线的倾斜角可以为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　BC 解析　由题意得直线的斜率为或－，故直线的倾斜角为60°或120°. 3．已知点A(，1)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角θ是(　　) A．60° B．30° C．120° D．150° 答案　B 解析　kAB＝＝， ∴tan θ＝且0°≤θ＜180°， ∴θ＝30°. 4．若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. 答案　C 解析　∵直线的斜率k∈(－∞，]， ∴k≤tan ， ∴该直线的倾斜角α的取值范围是 ∪. 5.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k1＜k2 C．k1＜k2＜k3 D．k3＜k2＜k1 答案　A 解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°， 所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0， 即k1＜0，k2＞k3＞0. 6．下列可作为斜率k＝－的直线的方向向量的是(　　) A．(2,3) B．(3,2) C．(－3，－2) D．(－3,2) 答案　D 解析　斜率为k＝－的直线的一个方向向量为a＝，所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量．经验证D中向量与共线． 7．(5分)已知直线l经过(1,0)，(2，)两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是____________． 答案　 解析　由直线l经过(1,0)，(2，)两点， 则直线l的斜率k1＝＝， 设直线m的倾斜角为α，所以直线m的斜率k2＝tan α＝， 因为0≤α<π，所以α＝. 8．(5分)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________． 答案　(3,0)或(0，－3) 解析　若点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0)，则k＝＝tan 45°＝1，解得x＝3，所以P(3,0)．若点P在y轴上，设点P的坐标为(0，y)，则k＝＝tan 45°＝1，解得y＝－3，所以P(0，－3)．综上，P为(3,0)或(0，－3)． 9．(10分)已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？(2分) (2)直线l与y轴平行？(2分) (3)直线l的一个方向向量的坐标为(3,1)．(2分) (4)直线的倾斜角为45°？(2分) (5)直线的倾斜角为锐角？(2分) 解　(1)若直线l与x轴平行， 则直线l的斜率k＝＝0， ∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在， ∴m＝－1. (3)直线l的一个方向向量的坐标为(3,1)，故k＝， 即＝， 解得m＝. (4)由题意可知，直线l的斜率k＝1， 即＝1，解得m＝0. (5)由题意可知，直线l的斜率k>0， 即>0， 解得－1<m<1. 10．(12分)如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 解　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 11．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　B 解析　设A(a，b)是直线l上任意一点， 则平移后得到点A′(a－2，b＋2)， 于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1. 12．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A. B. C. D．{k|k<2} 答案　A 解析　∵kAP＝＝2，kBP＝＝，如图， 又直线l与线段AB始终没有交点， ∴斜率k的取值范围是. 13．过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,2] B．(0,4) C．[2,4) D．(0,2)∪(2,4) 答案　B 解析　由直线的倾斜角α的取值范围是，得直线的斜率存在时，k<－1或k>1. 当m≠2时，k＝＝， ∴<－1或>1， 解得0<m<2或2<m<4. 当直线的斜率不存在时，m＝2符合题意． 综上，实数m的取值范围是(0,4)． 14．(5分)若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________． 答案　 解析　∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝，即ab＝2a＋2b，两边同除以ab，得1＝＋，即＋＝. 15．已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是(　　) A.>> B.>> C.>> D.>> 答案　B 解析　因为表示经过点O(0,0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以，，的几何意义可以表示为3个斜率，作函数f(x)＝log2(x＋1)的图象，如图所示． 因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与坐标原点O相连，如图所示，可得>>. 16．(12分)已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围． 解　的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率． 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB，且A，B， 又kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $