第一章 1.4.2 第1课时 距离问题（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦用空间向量研究距离问题这一核心知识点，系统梳理点到直线、点到平面、平行直线及平行平面间距离的向量求解方法。通过问题引导、知识梳理、例题解析与反思感悟的递进式学习支架，帮助学生从空间向量的基本运算过渡到距离问题的实际应用，构建完整的知识脉络。 资料以立交桥距离计算为现实情境导入，引导学生用数学眼光观察现实世界中的空间形式。通过长方体、四棱锥等几何模型的实例分析，结合空间直角坐标系的建立与法向量的应用，培养学生的空间观念和数学思维推理能力。课中多样化例题（如例1两种解法）助力教师分层教学，课后跟踪训练与综合练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用，提升用数学语言表达和解决几何问题的能力。

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 [学习目标]　1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题．(重点)2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 导语 立交桥是伴随着高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？ 一、点到直线的距离 问题1　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 提示　如图，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝. 知识梳理 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 注意点： 如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解 例1　在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 解　方法一　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，O1(0,0,2)， C(0,3,0)， ∴＝(－2,0,2)，＝(－2,3,0)， ∴·＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4， 取a＝＝(－2,0,2)， u＝＝， ∴a·u＝， ∴O1到直线AC的距离 d＝＝. 方法二　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y,0)，则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)． ∵＝(－2,3,0)，⊥，∥， ∴解得 ∴D， ∴||＝＝. 即O1到直线AC的距离为. 反思感悟　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 跟踪训练1　在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与平面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离． 解　∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA＝45°， ∴PA＝AD＝4，AB＝2. 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． ∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，＝(0，－4,4)． 方法一　＝(－2,0,4)，＝(0，－4,4)， ∴·＝16， ∴在上的投影向量的长度为＝＝2. 所以点B到直线PD的距离 d＝＝＝2. 方法二　设存在点E，使＝λ，且BE⊥DP， 设E(x，y，z)， ∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4,4)， ∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ， ∴E(0,4－4λ，4λ)，＝(－2,4－4λ，4λ)． ∵BE⊥DP， ∴·＝－4(4－4λ)＋4×4λ＝0， 解得λ＝. ∴＝(－2,2,2)，∴||＝＝2， 故点B到直线PD的距离为2. 二、点、直线、平面到平面的距离 问题2　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 提示　过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离为PQ＝. 知识梳理 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝. 注意点： (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 例2　如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E，F. 设DH⊥平面PEF，垂足为H， 则＝x＋y＋z ＝，x＋y＋z＝1， ＝，＝， 所以·＝x＋y＋－z ＝x＋y－z＝0. 同理，·＝x＋y－z＝0， 又x＋y＋z＝1，解得x＝y＝，z＝. 所以＝，所以||＝. 因此，点D到平面PEF的距离为. (2)由题意得，AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，由(1)知＝， 平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)， 所求距离为＝＝. 反思感悟　用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 跟踪训练2　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点． (1)求证：B1C∥平面A1BD； (2)求直线B1C到平面A1BD的距离． (1)证明　连接AB1交A1B于点E，连接DE， 则点E为AB1的中点， 又D是AC的中点，所以DE∥B1C， 因为DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD， 所以B1C∥平面A1BD. (2)解　因为B1C∥平面A1BD， 所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离． 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，B1(0,2，3)，B(0,2，0)，A1(－1,0,3)， ＝(0,2，3)，＝(0，2，0)，＝(－1,0,3)． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 所以即 即 令z＝1，则n＝(3,0,1)． 所求距离d＝＝. 1．知识清单： (1)点到直线的距离． (2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化． 2．方法归纳：数形结合、转化法． 3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的基础． 1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A. B．1 C. D．2 答案　A 解析　 ∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)， ＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)， ∴点A到直线BC的距离为 d＝＝＝. 2．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)． 可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)， 则点P到平面ABC的距离为d＝＝. 3．已知棱长为1的正方体 ABCD－A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，所以 ＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)，设平面 A1C1D 的一个法向量为m＝(x，y,1)， 则 即 解得 故m＝(1,1,1)， 显然平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝. 4．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为4，E为CD1的中点，则点A1到平面BDE的距离为________． 答案　 解析　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A1(2,0,4)，B(2,2,0)，E(0,1,2)， 所以＝(2,0,4)，＝(2,2,0)，＝(0,1,2)， 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令y＝－1，则x＝1，z＝， 即n＝， 则点A1到平面BDE的距离d＝＝＝. [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　) A.a B. C. D. 答案　D 解析　方法一　连接BD，AC交于点O(图略)， 则D1O＝＝为所求． 方法二　如图建立空间直角坐标系，易得C(a，a,0)，D1(0，a,2a)， 取a＝＝(－a,0,2a)， u＝＝， 则点D1到直线AC的距离为＝＝. 2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D．3 答案　B 解析　∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)， ∴两平面间的距离d＝＝＝. 3.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) A．5 B．8 C. D. 答案　C 解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,12,0)，D1(0,0,5)． 设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x>0)． 设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)， 由n⊥，n⊥， 得n·＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，n·＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0， 所以a＝0，b＝c，所以可取n＝(0,5,12)． 又＝(0,0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝. 因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为. 4.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　以D1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，E(2,1，2)，F(1,2,2)． ＝(0，－1,2)，＝(－1,0,2)， 设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，得n＝(2,2,1)．又∵＝(－2,0,0)， ∴点C1到平面B1EF的距离d＝＝＝. 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则直线A1D1到平面EFGH的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则E，F，G，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)， ∴＝(－1,0,0)，＝， ＝(－1,0,0)，则＝， ∴∥. 又∵EF⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH， ∴A1D1∥平面EFGH. ∴A1D1到平面EFGH的距离，即为点D1到平面EFGH的距离． 设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝6，则y＝－1，∴n＝(0，－1,6)， 又∵＝， ∴点D1到平面EFGH的距离 d＝＝， ∴直线A1D1到平面EFGH的距离为. 6．(多选)已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2,2)，点A(x2,2x＋1,2)为平面α内一点，若点P(0,1,2)到平面α的距离为4，则x的值为(　　) A．2 B．1 C．－3 D．－6 答案　AD 解析　因为＝(0,1,2)－(x2,2x＋1,2)＝(－x2，－2x,0)，n＝(－1，－2,2)，所以·n＝x2＋4x，|n|＝＝3，所以点P到平面α的距离为d＝＝＝4，解得x＝2或x＝－6. 7．(5分)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则P到BD的距离为________． 答案　 解析　如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则P(0,0,1)，B(3,0,0)， D(0,4,0)， 所以＝(3,0，－1)， ＝(－3,4,0)， 取a＝＝(3,0，－1)，u＝＝， 则a2＝10，a·u＝－， 所以点P到BD的距离为＝＝. 8．(5分)Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________． 答案　3 解析　以C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(4,0,0)，B(0,3,0)， P， 所以＝(－4,3,0)，＝. 取a＝＝，u＝＝， 则P到AB的距离为d＝＝＝3. 9．(10分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． (1)求点M到直线AC1的距离；(4分) (2)求点N到平面MA1C1的距离．(6分) 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)， 直线AC1的一个单位方向向量为u＝，＝(2,0,1)， 故点M到直线AC1的距离 d＝＝＝. (2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1,1,0)， 所以＝(－1,1，－1)， 故N到平面MA1C1的距离d＝＝＝. 10．(12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点． (1)求直线FC1到直线AE的距离；(6分) (2)求直线FC1到平面AB1E的距离．(6分) 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(1,1,1)，E， F，C1(0,1,1)， A(1,0,0)． (1)因为＝，＝， 所以∥，即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离． 取u＝＝，又＝. 所以2＝，·u＝， 所以直线FC1到直线AE的距离为 ＝. (2)因为AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离． ＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝2，可得n＝(1，－2,2)， 所以C1到平面AB1E的距离为＝， 所以直线FC1到平面AB1E的距离为. 11.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，可作为x，y，z轴方向上的单位向量， 因为＝＋＋， 所以＝，＝(1,0,0)，＝， 所以P点到AB的距离 d＝＝ ＝. 12.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　) A.λ B. C.λ D. 答案　D 解析　以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 则M(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)， ＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，＝(0，λ，1)． 设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1,0,2)， 所以点M到平面D1EF的距离为 d＝＝＝. 因为N为EM的中点，所以N到平面D1EF的距离为. 13．(5分)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”，如图．已知在P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为________． 答案　 解析　以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系， 如图，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)，C(0,2,0)，由M为PC的中点可得M(1,1,1)． ＝(1,1,1)，＝(2,0,0)，＝(2,0,2)． 设n＝(x，y，z)为平面MAB的法向量， 则 即 令z＝－1，可得n＝(0,1，－1)，点P到平面MAB的距离为d＝＝. 14．(5分)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为________． 答案　 解析　如图，在平面ABC内过点A作Ay⊥AB， 显然射线AB，Ay，AA1两两垂直， 以点A为原点，射线AB，Ay，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 因为正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，C1， 所以＝(1,0,1)，＝， 因为动点P在线段AB1上， 则令＝t＝(t,0，t)，0≤t≤1， 即有点P(t,0，t)，所以＝(t－1,0，t)， 则||2＝(t－1)2＋t2＝2t2－2t＋1， 从而＝(t＋1)， 因此点P到直线BC1的距离 d＝ ＝ ＝＝≥， 当且仅当t＝时取等号， 所以线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为. 15.如图，在四棱锥P－ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，则四棱锥P－ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　该几何体的直观图如图所示， 分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO， ∵PO＝1，OM＝2， PM＝＝＝， ∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM， 又∵PO⊥AD，∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD， 以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系． 则A(1,0,0)，B(1,2,0)， C(－1,2,0)，D(－1,0,0)， P(0,0,1)， ＝(1,2，－1)，＝(－1,2，－1)， 设四棱锥P－ABCD外接球的球心为N(0,1，a)， ∵PN＝NA，∴(－1)2＋(1－a)2＝1＋(－1)2＋(－a)2，解得a＝0.∴＝(0，－1,1)， 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 取z＝2，则n＝(0,1,2)， 则四棱锥P－ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为 d＝＝＝＝. 16．(12分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，侧棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为？ 解　假设存在点E满足题意．以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，＝(0,0,2)，＝(2，－2,2)． 设＝λ，λ∈(0,1)， 则E(2λ，2(1－λ)，2λ)， ＝(－2,0,1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)， 设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量， 则 即 取x＝1，则y＝，z＝2， 即n＝为平面AED的一个法向量． 因为点A1到平面AED的距离 d＝＝， 所以＝， 又λ∈(0,1)，所以λ＝. 故存在点E，且当点E为A1B的中点时，点A1到平面AED的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $