第一章 1.3.1 空间直角坐标系-1.3.2 空间向量运算的坐标表示（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦空间直角坐标系及空间向量运算的坐标表示核心知识点，从平面直角坐标系类比引入空间直角坐标系，建立点与向量的坐标对应，系统讲解坐标运算、平行垂直条件及距离夹角公式，形成解决空间几何问题的学习支架。 通过类比迁移培养数学眼光中的空间观念，结合例题解析与跟踪训练发展数学思维中的推理能力，以坐标语言精准表达几何关系提升数学语言应用意识。课中助力教师分层教学，课后通过习题与反思帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习目标]　1.了解空间直角坐标系，能写出所给定点、向量的坐标.2.掌握空间向量运算的坐标表示．(重点)3.会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题．(难点) 导语 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算．类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题． 一、空间直角坐标系及点的坐标 问题1　利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？ 提示　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系．类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系． 知识梳理 1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2．相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 3．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 注意点： (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 例1　已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 解　∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为2. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2，2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0，2)． 答案不唯一． 延伸探究　试写出例1中点A分别关于Ozx平面、y轴、坐标原点的对称点． 解　点A关于Ozx平面的对称点为(2,2,0)， 点A关于y轴的对称点为(－2，－2,0)， 点A关于坐标原点的对称点为(－2,2,0)． 反思感悟　(1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． ③一般用右手直角坐标系． (2)求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z)． (3)空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则． 跟踪训练1　已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 解　如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． ∵三棱柱各棱长均为1， ∴OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝，OB＝. ∵A，B，C均在坐标轴上， ∴A，B，C. ∵点A1与C1在Oyz平面内， ∴A1，C1. ∵点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1＝1， ∴B1，即该三棱锥各顶点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1. 二、空间向量的坐标及坐标运算 知识梳理 1．向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 2．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 例2　在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5)． ①求顶点B，C的坐标； ②求·； ③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． 解　①设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以＝(x－2，y＋5，z－3)， ＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为＝(4,1,2)， 所以解得 所以点B的坐标为(6，－4,5)． 因为＝(3，－2,5)， 所以解得 所以点C的坐标为(9，－6,10)． ②因为＝(－7,1，－7)， 所以·＝－21－2－35＝－58. ③设P(x2，y2，z2)， 则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)， ＝(9－x2，－6－y2,10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2,10－z2)， 所以解得 故点P的坐标为. 反思感悟　空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标)． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 跟踪训练2　(1)如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则C1的坐标是(　　) A．(0,3,2) B．(0,4,2) C．(4,0,2) D．(2,3,4) 答案　A 解析　∵的坐标为(4,3,2)，D为坐标原点， ∴B1的坐标为(4,3,2)， ∴BC＝4，DC＝3，CC1＝2， ∴C1的坐标为(0,3,2)． (2)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝__________，b＝__________，a·b＝________. 答案　(1，，)　 (1,0，)　4 解析　a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)， ∴a＝(1，，)，b＝(1,0，)， ∴a·b＝1＋0＋3＝4. 三、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 知识梳理 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝. 例3　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设＝a，＝b. (1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？ (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． 解　(1)因为a＝＝(1,1,0)， b＝＝(－1,0,2)， 所以2a－b＝(3,2，－2)， 又c＝， 所以2a－b＝－2c， 所以(2a－b)∥c. (2)由(1)知ka＋b＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或－. 反思感悟　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 跟踪训练3　已知a＝(x,1，－1)，b＝(－2，y,1)，c＝(2，－3，z)，若a∥b，b⊥c，求a，b，c. 解　因为a∥b，所以a＝λb， 则(x,1，－1)＝λ(－2，y,1)， 即解得 所以a＝(2,1，－1)，b＝(－2，－1,1)， 又b⊥c，所以b·c＝－4＋3＋z＝0， 解得z＝1，所以c＝(2，－3,1)． 所以a＝(2,1，－1)，b＝(－2，－1,1)， c＝(2，－3,1)． 四、夹角和距离的计算 问题2　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示　如图，建立空间直角坐标系Oxyz， 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)， 于是|| ＝ ＝. 所以P1P2＝|| ＝， 这就是空间两点间的距离公式 知识梳理 1．空间两点间的距离公式： 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)， P1P2＝||＝ . 2．空间向量的夹角公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝. 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. 例4　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点． (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积． 解　以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 则B(0,1,0)，M(1,0,1)， N. (1)∵＝(1，－1,1)， ＝， ∴||＝ ＝， ||＝＝. 故BM的长为，BN的长为. (2)∵cos∠MBN＝cos〈，〉 ＝＝＝， ∴sin∠MBN＝＝， S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN ＝×××＝. 即△BMN的面积为. 反思感悟　利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 跟踪训练4　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． (1)求FH的长； (2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值． 解　(1)如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点， 则有F，H， ∴＝， ∴||＝＝. ∴FH的长为. (2)由(1)知E，F， ∴＝，∴||＝. 又C1(0,1,1)，G， ∴＝，∴||＝. ∴·＝×0＋×＋×(－1)＝， ∴|cos〈，〉|＝＝. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. 1．知识清单： (1)空间直角坐标系及空间点的坐标． (2)空间向量的坐标表示及坐标运算． (3)空间向量的坐标表示及应用． 2．方法归纳：数形结合、类比联想． 3．常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念；求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况． 1．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,3)，B(－3,0,1)，则线段AB的中点坐标是(　　) A．(－1，－1,2) B．(1,1，－2) C．(2,2，－4) D．(－2，－2,4) 答案　A 解析　设线段AB的中点坐标为(x，y，z)， 所以x＝＝－1，y＝＝－1，z＝＝2，故线段AB的中点坐标是(－1，－1,2)． 2．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　) A．(－1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) 答案　B 解析　＝＝－，＝＋＝(9,1,1)． 3．已知点P(2,3，－1)关于Oxy平面的对称点为P1，点P1关于Oyz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________． 答案　(2，－3,1) 解析　点P(2,3，－1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于Oyz平面的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2，－3,1)． 4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________． 答案　 解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)， ∴||＝3，||＝， ·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos〈，〉＝＝， 又∵〈，〉∈[0，π]， ∴〈，〉＝. [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1．(多选)下列命题中正确的是 (　　) A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B．在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D．在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a,0，c) 答案　BCD 解析　空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)，故A错误，B，C，D正确． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为(　　) A．(－1，－2，－4) B．(－1，－2,4) C．(1,2，－4) D．(1,2,4) 答案　A 解析　关于y 轴对称，则y的值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4)． 3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　＝＋＝k－ j＝. 4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0， 所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0， 而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1， 所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝. 5．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　) A．3 B．2 C. D．5 答案　A 解析　∵a－b＋2c＝(9,3,0)， ∴|a－b＋2c|＝＝3. 6．(多选)已知空间向量m＝(－1,2,5)，n＝(2，－4，x)，则下列选项中正确的是(　　) A．当m⊥n时，x＝2 B．当m∥n时，x＝－10 C．当|m＋n|＝时，x＝－4 D．当x＝时，cos〈m，n〉＝ 答案　ABD 解析　因为m⊥n，m＝(－1,2,5)，n＝(2，－4，x)，所以m·n＝(－1)×2＋2×(－4)＋5x＝－10＋5x＝0，解得x＝2，故A正确；因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m＝λn，则(－1,2,5)＝λ(2，－4，x)＝(2λ，－4λ，λx)，即解得故B正确；因为m＋n＝(－1＋2,2－4,5＋x)＝(1，－2,5＋x)， 所以|m＋n|＝＝＝，解得x＝－5，故C错误；因为x＝，则m＝(－1,2,5)，n＝(2，－4，)，所以cos〈m，n〉＝＝＝，故D正确． 7．(5分)如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________． 答案　 解析　由题意知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)． 由重心坐标公式得点G的坐标为. 8．(5分)已知向量a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为________． 答案　－ 解析　由题意知，cos 120°＝＝＝－，即＝，k2＝39，显然k<0，所以k＝－. 9．(10分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 解　建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，＝j，＝k，则＝0i＋j＋0k＝(0,1,0)，＝－＝k＋－＝i－j＋k＝(1，－1,1)． ＝－＝＋－＝i－j＋2k＝(1，－1,2)． 10．(10分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分别是B1C1，A1A的中点． (1)求M，N的距离；(5分) (2)求cos〈，〉的值．(5分) 解　(1)如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz， 依题意得N(1,0,1)，M， ∴＝， ∴||＝＝. ∴M，N的距离为. (2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， ∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， ·＝3，||＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝. 11．在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为(　　) A. B．3 C. D. 答案　A 解析　空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为＝. 12．(多选)已知空间直角坐标系中，点A的坐标为(－3，－1,4)，坐标原点为O，且与＝(x，y，z)方向相反，则(　　) A．x＋y＋z＝0 B．x＝3y C．x＋z＝0 D．4y＋z＝0 答案　ABD 解析　由题意，＝λ＝(－3λ，－λ，4λ)，λ<0，则x＝－3λ，y＝－λ，z＝4λ，则x＋y＋z＝0，即选项A正确；x＝3y，即选项B正确；x＋z＝λ<0，即选项C错误；4y＋z＝－4λ＋4λ＝0，即选项D正确． 13．已知点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，所以＝(1＋t,2t－1,0)， 所以||2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋0＝5t2－2t＋2， 易知当t＝时，||2取得最小值 ， 即A，B两点的距离的最小值为 . 14．(5分)已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为__________________． 答案　∪ 解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－， 因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0， 即3t－<0， 所以t<. 若a与b的夹角为180°， 则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)， 即(5,3,1)＝λ， 所以所以t＝－， 故t的取值范围是∪. 15．(5分)已知向量a＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为____________． 答案　 解析　设＝λ，因为A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)，所以＝(1，－1，－2)，＝(λ，－λ，－2λ)，＝(3,1，－4)，＝－＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)， 因为⊥a， 所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0， 解得λ＝，又A(－3，－1,4)， ＝， 所以点E的坐标为. 16．(12分)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 解　以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知A(0,0,0)，B1(，1,2)，C(0,2,0)，B(，1,0)，M. 又点N在棱CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)， 则＝(，1,2)，＝， 所以||＝2，||＝， ·＝2m－1. 若异面直线AB1和MN所成的角等于45°， 则cos 45°＝|cos 〈，〉| ＝＝. 即＝， 解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾． 所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 学科网（北京）股份有限公司 $