第一章 1.1.2 空间向量的数量积运算（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，从平面向量数量积引入，系统梳理空间向量夹角定义、数量积公式及运算律、投影概念，延伸至垂直判定和距离计算的应用，构建完整知识支架。 资料通过正四面体夹角计算、空间四边形数量积应用等例题，培养学生推理能力与模型观念，强调数量积符号与夹角关系等易错点，助力形成严谨思维。课中辅助教师引导教学，课后学生可借助练习题与跟踪训练巩固知识，弥补盲点。

1.1.2　空间向量的数量积运算 [学习目标]　1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点).3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离(难点)． 导语 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义． 一、空间向量的数量积运算 知识梳理 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 注意：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 2．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 3.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉·，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 例1　(1)在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 答案　D 解析　〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. (2)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： ①·；②·；③·；④·. 解　①·＝· ＝||·||·cos〈，〉 ＝×1×1·cos 60°＝. ②·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 0°＝， 所以·＝. ③·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 120°＝－， 所以·＝－. ④·＝(＋)·(＋) ＝[·(－)＋·(－)＋·＋·] ＝[－·－·＋(－)·＋·] ＝×＝－. 反思感悟　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确． 跟踪训练1　(1)已知空间向量|a|＝，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为(　　) A．－b B.b C.b D．－b 答案　D 解析　a在b上的投影向量为 ·＝· ＝－·＝－b. (2)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝________. 答案　－1 解析　由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos ＝， 则·＝2(a－b)·(b－c)＝2(a·b－a·c－b2＋b·c)＝2＝－1. 二、空间向量数量积的应用 问题　类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质． 提示　(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； (4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)． 例2　(1)已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a－b＋2c|等于(　　) A．5 B．6 C. D. 答案　C 解析　由题意，得a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ ＝ ＝＝. (2)如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离． 解　＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2. 所以||＝，即E，F间的距离为. 反思感悟　用数量积求两点间距离的步骤 (1)将两点确定的线段用向量表示； (2)用其他向量表示此向量； (3)用|a|＝求解． 跟踪训练2　已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　) A．6 B. C．3 D. 答案　B 解析　设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 因此a·b＝b·c＝c·a＝. 由＝a＋b＋c， 得||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以||＝. 三、垂直问题 例3　(1)若非零向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(　　) A．m∥n B．m⊥n C．m不平行于n，m也不垂直于n D．以上三种情况都有可能 答案　B 解析　m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n. (2)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB. 证明　设＝p，＝q，＝r. 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a， 且p，q，r三向量两两夹角均为60°. ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)， 所以·＝(q＋r－p)·p ＝(q·p＋r·p－p2) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0， 所以⊥，即MN⊥AB. 反思感悟　对于非零空间向量a，b，通常可利用“a⊥b⇔a·b＝0”这一关系完成向量垂直与数量积的转化． 跟踪训练3　(1)若空间向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为(　　) A．0 B. C. D. 答案　D 解析　∵a·c＝a·＝a·a－a·b＝a·a－a·a＝0，∴a⊥c，向量a与c的夹角为. (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.求证：⊥. 证明　＝＋＝－＋， ＝＋＝－(＋)， 所以·＝－(·＋·－2－·＋·＋)＝－×(0＋0－1＋1)＝0， 所以⊥. 1．知识清单： (1)空间向量的夹角、投影． (2)空间向量数量积的性质及运算律． (3)空间向量的垂直． 2．方法归纳：化归转化． 3．常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定． (2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　AD 2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　) A. B. C．－ D．0 答案　D 解析　·＝·(－) ＝·－· ＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB ＝||||－||||＝0， 所以⊥. 所以cos〈，〉＝0. 3．已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直．若m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n的值为(　　) A．7 B．－20 C．28 D．11 答案　C 解析　因为向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直，所以|i|＝|j|＝|k|＝1且i·j＝j·k＝i·k＝0.因为m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，所以m·n＝(8j＋3k)·(－i＋5j－4k)＝40|j|2－12|k|2＝40－12＝28. 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________. 答案　60°　1 解析　方法一　连接A1D，PD(图略)， 则∠PA1D就是与所成的角， 在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝， 即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°， 即与所成角的大小为60°， 因此·＝××cos 60°＝1. 方法二　根据向量的线性运算可得 ·＝(＋)·＝2＝1. 由题意可得PA1＝B1C＝， 则××cos〈，〉＝1， 从而〈，〉＝60°. [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1．在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　由题意，可得＝， 所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　) A．12 B．8＋ C．4 D．13 答案　D 解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×＝13. 3．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　B 解析　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 4．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于(　　) A.－1 B.－1 C. D.－ 答案　C 解析　如图，因为＝－＋， 所以||2＝|－＋|2＝||2＋||2＋||2 －·－2·＋2· ＝1＋1＋1－2×1×1×cos 45°－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°＝3－， 所以||＝. 5．(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· 答案　BC 解析　对于A,2·＝2a2cos 120°＝－a2，A错误； 对于B,2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，B正确； 对于C,2·＝·＝a2，C正确； 对于D,2·＝·＝－·＝－a2，D错误． 6．在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则在上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在空间四边形ABCD中，因为∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD， 所以·＝·＝0， 又＝＋＋， 则·＝(＋＋)·＝||2， 所以在上的投影向量为 ·＝·＝. 7．(5分)已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________. 答案　22 解析　|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242， ∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22. 8．(5分)已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________. 答案　60° 解析　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 所以〈a，b〉＝60°. 9．(10分)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算： (1)·；(3分) (2)·；(3分) (3)·.(4分) 解　如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋) ＝· ＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋) ＝·(＋) ＝·(a＋c) ＝|c|2－|a|2 ＝22－22＝0. (3)·＝(＋)·(＋) ＝· ＝· ＝(－a＋b＋c)· ＝－|a|2＋|b|2＝2. 10．(12分)如图，正四棱锥P－ABCD的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD⊥PC；(6分) (2)求|＋|的值．(6分) (1)证明　∵＝＋， ∴·＝(B＋)· ＝·＋· ＝||||cos 60°＋||||cos 120° ＝a2－a2＝0. ∴⊥，∴BD⊥PC. (2)解　∵＋＝＋＋， ∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|＋|＝a. 11．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 答案　D 解析　设a与b的夹角为θ， 由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c， 两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝c2， 因为|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4， 所以4＋2×2×3cos θ＋9＝16，解得cos θ＝， 即A，B，C选项均不符合cos θ＝. 12．(5分)如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝________. 答案　7 解析　||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49， 所以||＝7. 13．(5分)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________. 答案　 解析　∵OA，OB，OC两两垂直， ∴·＝·＝·＝0， 且＝， 故·(＋＋) ＝(＋＋)2 ＝(||2＋||2＋||2)＝×(1＋4＋9)＝. 14．(5分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动(含端点)，则·的取值范围是______． 答案　[0,1] 解析　依题意，设＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝1＋λ×1××＝1－λ∈[0,1]．因此·的取值范围是[0,1]． 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 答案　D 解析　·＝·(＋) ＝＋·， ∵AB⊥平面BP2P8P6， ∴⊥， ∴·＝0， ∴·＝||2＝1， 则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为1. 16．(12分)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD且为锐角． (1)求证：CC1⊥BD；(5分) (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．(7分) (1)证明　设＝a，＝b，＝c. 依题意有|a|＝|b|， ＝－＝a－b. 设，，两两夹角均为θ， 于是·＝c·(a－b)＝c·a－c·b ＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0， ∴CC1⊥BD. (2)解　若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥DC1，A1C⊥BD. 由·＝(＋)·(－) ＝(a＋b＋c)·(a－c) ＝|a|2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－|c|2 ＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ ＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0， 得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1. 同理可证，当|a|＝|b|时，A1C⊥BD. ∴当＝1时，A1C⊥平面C1BD. 学科网（北京）股份有限公司 $