第一章 1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦共线向量与共面向量的充要条件，系统梳理从平面向量共线到空间向量共线的推广，以及空间向量共面的判定，通过问题引导、知识梳理、例题解析与跟踪训练构建学习支架，助力掌握三点共线、四点共面的证明方法。 以问题链激发探究（数学眼光），通过严密推理证明充要条件（数学思维），用向量语言精准描述空间关系（数学语言）。课中例题与反思助教师高效引导，课后分层习题供学生巩固，有效查漏补缺，提升空间向量应用能力。

第2课时　共线向量与共面向量 [学习目标]　1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件(重点).3.会证明空间三点共线、四点共面(难点)． 导语 我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下． 一、空间向量共线的充要条件 问题1　两个平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量． 知识梳理 1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上． 例1　(1)若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　充分性：若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然，A，B，C三点共线；必要性：若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1.故α＋β＝1是A，B，C三点共线的充要条件． (2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 解　方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝＋＋ ＝＋＋.① 又∵＝＋＋＋ ＝－＋－－，② ①＋②得2＝， ∴∥，即与共线． 方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝－ ＝(＋)－(＋) ＝(－)＝(－)＝. ∴∥，即与共线． 反思感悟　(1)判断两向量a，b(b≠0)是否共线，就是判断是否存在实数λ，使a＝λb成立． (2)证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立． 跟踪训练1　(1)满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　) A.＋＝ B.－＝ C.＝ D．||＝|| 答案　C 解析　对于空间中的任意向量，根据加法法则，都有＋＝，选项A错误；若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，这与已知条件矛盾，选项B错误；若＝，则A，B，C三点共线，选项C正确；若||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误． (2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形． 证明　∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴＝，＝， 则＝－＝－＝ ＝(－)＝ ＝(－)＝， ∴∥且||＝||≠||. 又点F不在直线EH上， ∴四边形EFGH是梯形． 二、空间向量共面的充要条件 问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ 提示　不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面． 问题3　对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb? 提示　如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b共面．反过来，向量p与向量a，b共面时，p＝xa＋yb. 知识梳理 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 例2　(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 证明　设＝a，＝b，＝c， 则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， 又∵AN∶NC＝2∶1， ∴＝＝(b＋c)， ∴＝－＝(b＋c)－a ＝(b－a)＋＝＋， ∴，，为共面向量． 又∵三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面． (2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1. 证明　①充分性 ∵＝x＋y＋z 可变形为＝(1－y－z)＋y＋z， ∴－＝y(－)＋z(－)， ∴＝y＋z， ∴点P与A，B，C共面． ②必要性 ∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C， ∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n， －＝m(－)＋n(－)， ∴＝(1－m－n)＋m＋n， ∵＝x＋y＋z， 又∵点O在平面ABC外， ∴，，不共面， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n， ∴x＋y＋z＝1. 反思感悟　向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 跟踪训练2　(1)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m＋＋，则m的值为(　　) A．－1 B．2 C．－2 D．－3 答案　C 解析　由＝－＝m＋＋， 得＝m＋2＋， ∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， ∴m＋2＋1＝1，∴m＝－2. (2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面． 证明　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面． 1．知识清单： (1)直线的方向向量． (2)空间向量共线的充要条件． (3)空间向量共面的充要条件． (4)三点共线、四点共面的证明方法． 2．方法归纳：转化化归、类比． 3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线． 1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 答案　A 解析　由向量共面定理可知，三个向量a，b,2a－b为共面向量． 2．(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A.＝3－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 答案　AC 解析　A选项中，3－1－1＝1，四点共面； C选项中，＝－－， ∴点M，A，B，C共面． 3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为(　　) A．1 B．0 C．3 D. 答案　D 解析　∵＝x＋＋， 且M，A，B，C四点共面， ∴x＋＋＝1，∴x＝. 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________. 答案　－ 解析　如图，连接A1C1，C1D， 则点E在A1C1上， 点F在C1D上， 易知EF∥A1D， 且EF＝A1D， ∴＝， 即－＝0， ∴λ＝－. [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 答案　A 解析　∵＝＋＝2a＋4b＝2， ∴A，B，D三点共线． 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 答案　C 解析　由正方体的性质可得，＝，由图形(图略)易知，，共面． 3．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D．以上都不对 答案　A 解析　因为m＋n＝1， 所以m＝1－n， 所以＝(1－n)＋n， 即－＝n(－)， 即＝n， 所以与共线． 又，有公共起点A， 所以P，A，B三点在同一直线上， 即P∈直线AB. 4．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－. 又∵P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面， ∴－x－＝1，解得x＝. 5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，点N满足＝t，若N为AM与平面BDA1的交点，则t等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 由点M是棱CC1上靠近点C的三等分点， 得＝＋＋＝＋＋， 即＝t＝t＋t＋， 由N为AM与平面BDA1的交点， 则N，B，D，A1四点共面，则t＋t＋＝1， 所以t＝. 6．(多选)下列命题中为真命题的有(　　) A．若d1，d2都是直线l的方向向量，则必有d1＝d2 B．若∥，则A，B，C三点共线 C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b D．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0 答案　BCD 解析　向量d1，d2都是直线l的方向向量，可得向量d1，d2是共线向量，即d1∥d2，不一定有d1＝d2，故A错误；因为∥，且，有公共点A，所以A，B，C三点共线，故B正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故C正确；易知D正确． 7．(5分)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________. 答案　－8 解析　由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵A，B，D三点共线， ∴与共线，即存在λ∈R，使得＝λ. ∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2， ∵e1，e2不共线， ∴∴k＝－8. 8．(5分)已知a＝3m－2n－4p(a≠0)，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＋y＝________. 答案　－5 解析　∵a∥b且a≠0，∴b＝λa， 即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp， 又m，n，p不共面， ∴＝＝， 则x＝－13，y＝8，x＋y＝－5. 9．(10分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线． 证明　设＝a，＝b，＝c. 因为＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝(－)＝(＋－)＝ a＋b－c， 所以＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a ＝a－b－c， 所以＝，所以∥. 又与有公共点E， 所以E，F，B三点共线． 10．(12分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面． 证明　令＝a，＝b，＝c. 因为M，N，P，Q均为所在棱的中点， 所以＝－＝b－a， ＝＋＝a＋c， ＝＋＋＝－a＋b＋c. 设＝λ＋μ， 则－a＋b＋c＝λ＋μ＝(μ－λ)a＋λb＋μc， 所以解得 所以＝2＋， 所以向量，，共面． 又向量，，过同一点M， 所以M，N，P，Q四点共面． 11．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①＝2＋μ；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么使①②成立的μ与λ＋m＋n的值分别为(　　) A．1，－1 B．－1,0 C．0,1 D．0,0 答案　B 解析　∵A，B，C三点共线，＝2＋μ， ∴2＋μ＝1，∴μ＝－1， 又由λ＋m＋n＝0， 得＝－－， 由A，B，C三点共线知，－－＝1， 则λ＋m＋n＝0. 12．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中任意三点不共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由点A，B，C，D四点共面得x＋y＝，① 又由点B，C，D，E四点共面得2x＋y＝，② 联立①②，解得x＝，y＝， 所以x＋3y＝. 13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么点M必(　　) A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内 C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内 答案　C 解析　＝＋7＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋6(－)－4(－) ＝11－6－4，又11－6－4＝1， 于是M，B，A1，D1四点共面，所以点M必在平面BA1D1内． 14．(5分)已知A，B，C，D四点在平面α内，且任意三点都不共线，点P为平面α外的一点，满足＋－4＋λ＝0，则λ＝________. 答案　2 解析　因为A，B，C，D四点在平面α内， 且点P为平面α外的一点， 则＋－4＋λ＝0， 即＝－＋4－λ， 所以－1＋4－λ＝1，解得λ＝2. 15．(5分)已知三棱锥P－ABC的体积为15，M是空间中一点，＝－＋＋，则三棱锥A－MBC的体积是________． 答案　9 解析　因为＝－＋＋， 则15＝－＋3＋4， 即15＝－－＋3＋3＋4＋4， 即9＝－＋3＋4， 所以＝－＋＋， 因为－＋＋＝1， 则在平面ABC内存在一点D， 使得＝－＋＋成立， 即＝，所以＝， 即＝，则＝， 又三棱锥P－ABC的体积为15， 则VA－MBC＝VP－ABC＝×15＝9. 16．(12分)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值． 解　如图，连接BG. 因为＝－，＝， 所以＝－. 因为＝＋， 所以＝＋－ ＝－＋＋. 因为＝，所以＝， 所以＝(－＋＋) ＝－＋＋. 又因为＝－， 所以＝－＋＋. 因为＝m， 所以＝m＝－＋＋. 因为＝－＋＝－＋， 所以＝＋＋. 又因为G，B，P，D四点共面， 所以1－＝0，m＝，即m的值是. 学科网（北京）股份有限公司 $