第一章 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，从平面向量概念类比推广，系统梳理空间向量的定义、特殊向量（零向量、单位向量等）及线性运算（加减、数乘）的法则与运算律，构建从已知到未知的学习支架。 以滑翔伞运动实例引入，引导学生用数学眼光观察空间向量的现实背景，通过问题链驱动数学思维，结合长方体、平行六面体等几何模型，运用符号语言表达向量关系。课中例题解析与反思感悟助力教师教学，课后练习题与知识清单帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

1.1.1　空间向量及其线性运算 第1课时　空间向量及其线性运算 [学习目标]　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算(重点)． 导语 你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内．联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？ 一、空间向量的有关概念 问题1　平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示　平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致． 知识梳理 1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)已知非零向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c. 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足||>||，则> D．相等向量其方向必相同 答案　D 解析　A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小． (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c 答案　BC 解析　A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行． 反思感悟　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 跟踪训练1　(多选)下列说法错误的是(　　) A．任意两个空间向量的模能比较大小 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案　BCD 解析　对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小； 对于选项B，其终点构成一个球面； 对于选项C，用有向线段可以表示空间向量，但不是空间向量； 对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等． 二、空间向量的加减运算 问题2　空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 提示　共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致． 知识梳理 空间向量的加法、减法运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 几何意义 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点． (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋An－1An＝. (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋＋＋…＋＝0. (4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量． 例2　(1)(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ 答案　AB 解析　A中，－－＝－ ＝； B中，＋－＝＋＝； C中，－－＝－＝－＝≠； D中，－＋＝＋＋＝＋≠. (2)对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是(　　) A.＋＝ B.－＝ C．||＋||＝|| D．||－||＝|| 答案　B 解析　根据空间向量的加减法运算，对于A，＋＝恒成立； 对于C，当，方向相同时， 有||＋||＝||； 对于D，当，方向相同且||≥||时， 有||－||＝||； 对于B，由向量减法可知－＝，又为非零向量，所以B一定不成立． 反思感悟　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 跟踪训练2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果． (1)＋－； (2)－－. 解　(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量. (2)如图，连接GF，因为E，F，G分别是BC，CD，DB的中点， 所以＝，＝， 所以－－＝＋＋＝＋＋＝，如图中向量. 三、空间向量的数乘运算 知识梳理 空间向量的数乘运算及运算律 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． 例3　(1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 答案　AB 解析　m(a－b)＝ma－mb，A对；(m－n)a＝ma－na，B对；若m＝0，则a，b不一定相等，C错；若a＝0，则m，n不一定相等，D错． (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①；②；③. 解　①∵P是C1D1的中点， ∴＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋b＋c. ②∵N是BC的中点， ∴＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. ③∵M是AA1的中点， ∴＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. 延伸探究 1．本例(2)的条件不变，试用a，b，c表示向量. 解　因为P，N分别是C1D1，BC的中点， 所以＝＋＋＝＋(－)＋＝－a＋b－c. 2．若把本例(2)中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？ 解　＝＋＝＋＋＝ a＋c＋b. 反思感悟 　利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 跟踪训练3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是棱BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1)＋； (2)＋＋； (3)－－－. 解　(1)＋＝. (2)∵M是BB1的中点， ∴＝，又＝， ∴＋＋＝＋＝. (3)－－－ ＝(＋)－(＋)＝ －＝. 1．知识清单： (1)向量的相关概念． (2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量的线性运算的运算律． 2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数． 1．(多选)下列命题中，真命题是(　　) A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 答案　ABC 解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．化简－＋所得的结果是(　　) A. B. C．0 D. 答案　C 解析　－＋＝＋＝－＝0. 3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 答案　A 解析　∵＋＝＋， ∴＝. ∴∥且||＝||. ∴四边形ABCD为平行四边形． 4．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若＝＋x＋y，则x＝________，y＝________. 答案　－　－ 解析　由图可知，因为＝－ ＝－(＋) ＝－－， 所以x＝y＝－. [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A．a＝b B．a＋b为实数0 C．a与b方向相同 D．|a|＝3 答案　D 解析　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反． 2．下列说法中正确的是(　　) A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ 答案　C 解析　对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B，＝的充要条件是||＝||，且，同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 对于D，满足＋＝的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误． 3．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　) A. B．3 C．3 D．2 答案　B 解析　－＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3. 4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b－c B．a－b＋c C．b－a－c D．b－a＋c 答案　C 解析　 ＝－＝－－， ∵＝＝c， ∴＝b－a－c. 5.在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且＝，记＝x＋y＋z，则(x，y，z)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　连接OE，OF(图略)，因为＝，E，F分别是AB，BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×(＋)＋×(＋)＝＋＋，故(x，y，z)＝. 6．(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列选项中正确的有(　　) A.－＝ B.＝＋＋ C.＝ D.＋＋＋＝ 答案　ABC 解析　作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′的图象如图，可得－＝＋＝，故A正确；＋＋＝＋＋＝，故B正确；C显然正确；＋＋＋＝＋＝，故D不正确． 7．(5分)如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，与是________向量，与是________向量．(用“相等”或“相反”填空) 答案　相等　相反 解析　由相等向量与相反向量的定义知，与是相等向量，与是相反向量． 8．(5分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________. 答案　－a－b＋c 解析　 ∵＝＋＋＝ －－＋， 又∵M是AA1的中点， ∴＝， ∴＝－－＋， ∵＝a，＝b，＝c， ∴＝－a－b＋c. 9．(10分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中． (1)单位向量共有多少个？(3分) (2)写出模为的所有向量；(3分) (3)试写出的所有相反向量．(4分) 解　(1)由题意知，AA1＝1，所以向量，，，，，，，，共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个． (2)易知A1D＝＝，所以模为的向量有，，，，，，，. (3)根据相反向量的定义，可得向量的所有相反向量为，，，. 10．(10分)如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值． 解　∵＝＋＋ ＝－＋－－ ＝－＋＝－＋(＋) ＝－＋(＋) ＝－＋＋(－) ＝＋－， 又＝＋x＋y， ∴x＝，y＝－. 11．(多选)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的有(　　) A.＋与＋是一对相等向量 B.－与－是一对相等向量 C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 D.－与－是一对相反向量 答案　BCD 解析　如图所示，＝－，＝－， 所以＋＝－(＋)，是一对相反向量，A错误； －＝，－＝，而＝，故是一对相等向量，B正确； 又＝－，＝－，所以＋＋＋＝－(＋＋＋)，是一对相反向量，C正确； －＝，－＝＝－，所以是一对相反向量，D正确． 12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则等于(　　) A．－＋＋ B．－＋＋ C.＋＋ D.－＋ 答案　C 解析　 因为BM＝2MC′， 所以＝， 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中， ＝＋＝＋＝＋(＋)＝(－)＋(＋) ＝＋＋. 13．(5分)如图，在三棱锥S－ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足＝，若＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示) 答案　a－b＋c 解析　＝＋＝＋ ＝(－)＋(－) ＝(－)＋× ＝－＋ ＝a－b＋c. 14．(5分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且(＋＋)＝λ，则λ＝________. 答案　 解析　如图，因为O为AC1与A1C的交点， 所以O为AC1的中点， 所以＝2， 则(＋＋)＝＝， 故λ＝. 15.(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，设＝a，＝b，＝c，则下列选项正确的为(　　) A.＝(a＋b＋c) B.＝(a＋2b＋c) C.＝a＋b＋c D.＝a＋b＋c 答案　AD 解析　因为P是CA1的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)，故A正确，B错误；因为点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c，故C错误，D正确． 16．(12分)在平面四边形ABCD中，E，F分，所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋. (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明；(6分) (2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用(1)的结论表示.(6分) 解　(1)在空间四边形ABCD中，E，F分，所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋.证明如下： ＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋＋＋＋ ＝＋. (2)由(1)的结论可得＝＋＝＋. 学科网（北京）股份有限公司 $