第二章 1 简谐运动及其图像(Word教参)-【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（教科版）

本讲义聚焦简谐运动及其图像核心知识点，从机械振动概念切入，通过弹簧振子模型建构，结合x-t图像描述运动特征，进而学习振幅、周期等物理量及位移表达式，形成从定性到定量的完整学习支架。 该资料突出科学思维与科学探究素养，以生活实例引出机械振动，建构弹簧振子理想模型，通过图像斜率分析速度、对比表格明晰振幅与位移差异培养科学推理能力。例题与拓展问题引导深度思考，课中辅助教师互动教学，课后分考点对点练习助力学生查漏补缺。

1　简谐运动及其图像 [学习目标]　1.了解机械振动的概念，理解振动的平衡位置。2.通过对弹簧振子的研究，建立简谐运动的模型，能够用位移—时间图像描述简谐运动(重难点)。3.知道描述简谐运动的物理量，理解全振动(重点)。4.会用简谐运动的位移与时间的表达式描述简谐运动(重难点)。 一、机械振动 在生活中我们会观察到很多类似这样的运动。这些运动的共同点是什么？ 答案　物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧做往复运动。 1．机械振动 定义：物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动，叫作机械振动，通常简称为振动。这个位置为平衡位置。 2．平衡位置：物体原来静止的位置。 (1)弹奏吉他时琴弦的运动是机械振动。(　√　) (2)乒乓球在地面上的上下运动是机械振动。(　×　) 二、简谐运动 1．弹簧振子 (1)如图所示，将弹簧上端固定，下端连接一个小球，小球可在竖直方向上运动。弹簧的质量比小球的质量小得多，可以忽略不计，若不计空气阻力，这样的系统称为弹簧振子；其中小球称为振子。 (2)弹簧振子成立的条件： ①不计阻力 ②弹簧的质量忽略不计 ③小球可看成质点 ④小球的振动范围在弹簧的弹性限度内 (3)弹簧振子的位移：相对于平衡位置，由平衡位置指向小球所在的位置，是矢量。 2. 弹簧振子的振动图像(x－t图像) 用横轴表示小球运动的时间t，纵轴表示小球相对平衡位置的位移x，描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图所示。 3．简谐运动 (1)概念：如果质点的位移与时间的关系严格遵从正弦函数的规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的运动叫作简谐运动。 (2)简谐运动实例 ①弹簧振子的运动 ②弹簧系着的滑块在气垫导轨上往复运动 ③音叉叉股上各质点的振动 (1)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。(　√　) (2)简谐运动就是振子运动轨迹为正弦曲线的运动。(　×　) (3)简谐运动是一种匀变速直线运动。(　×　) 例1　(多选)如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定在天花板上，它们组成一个振动的系统。开始时钢球静止，现用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是(　　) A．钢球的最低处为平衡位置 B．钢球原来静止时的位置为平衡位置 C．钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm D．钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm 答案　BC 解析　钢球的平衡位置为钢球原来静止时的位置，故A错误，B正确；钢球的位移为从平衡位置指向某时刻钢球所在位置的有向线段，竖直向下为正方向，故C正确，D错误。 例2　如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为小球静止的位置，其振动图像如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图像分析以下问题： (1)在t＝0时刻，小球所处的位置为________(选填“A点”“O点”或“B点”)，正在向________(选填“左”或“右”)运动。 (2)A、B两点间的距离为________ cm。 (3)在图乙中，小球在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s时所处的位置依次是__________、__________和________。(选填“A点”“O点”或“B点”) (4)在t＝2 s时，小球速度的方向与t＝0时速度的方向________。(选填“相同”或“相反”) (5)小球在前4 s内的位移等于________ cm，其路程为________ cm。 答案　(1)O点　右　(2)6　(3)B点　O点　A点 (4)相反　(5)0　12 解析　(1)由振动图像知，t＝0时，x＝0表示小球位于平衡位置，即O点。在0～1 s内，振动位移x>0，且逐渐增大，即t＝0时，小球正在向右运动。 (2)由题图乙知，小球离开平衡位置的最大距离为3 cm，则AB＝6 cm。 (3)t＝1 s时，x＝3 cm，小球位于B点；在t＝2 s时，x＝0，小球位于平衡位置O点；t＝3 s时，x＝－3 cm，小球位于A点。 (4)在t＝2 s时，x－t图像的斜率为负，表示向负方向运动，即向左运动。与t＝0时速度的方向相反。 (5)在t＝4 s时，小球又回到了平衡位置，故位移Δx＝0，前4 s内的路程为s＝4×3 cm＝12 cm。 拓展　0～1 s内、1～2 s内、2～3 s内小球的位移和速度各怎样变化？ 答案　0～1 s内，小球的位移沿正方向，逐渐增大，速度沿正方向，逐渐减小； 1～2 s内，小球的位移沿正方向，逐渐减小，速度沿负方向，逐渐增大； 2～3 s内，小球的位移沿负方向，逐渐增大，速度沿负方向，逐渐减小。 由简谐运动的图像获取的信息 1. 某一时刻质点的位移大小和方向 如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。 2．某一时刻质点速度的大小和方向 (1)根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则位移越来越大，速度越来越小；若靠近平衡位置，则位移越来越小，速度越来越大。 如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置方向运动，速度减小。 (2)根据斜率判断速度的大小和方向。斜率绝对值越大，则速度越大，斜率绝对值越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿正方向，斜率为负，则速度沿负方向。 三、描述简谐运动的物理量 1．振幅 (1)概念：振子离开平衡位置的最大距离。 (2)意义：表示振动强弱的物理量。 2．全振动：如图振子由B→O→B′→O→B的振动过程，我们就说振子完成了一次全振动。 3．周期：振子每完成一次全振动所用的时间是相同的，这个时间叫作振动的周期。用T表示，在国际单位制中单位是秒(s)。 4．频率：振子完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。 5．周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 6．相位：描述做周期性运动的物体在各个时刻所处状态的物理量，表示振动步调。 (1)振幅是振动物体的最大位移，它是标量。(　√　) (2)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。(　×　) 例3　如图所示，一水平放置的弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离是20 cm，B→O运动时间是1 s，则(　　) A．振动周期是2 s，振幅是10 cm B．从B→O→C振子做了一次全振动 C．经过三次全振动，通过的路程是80 cm D．从B开始计时，3 s时振子通过的路程是30 cm 答案　D 解析　振子从B→O是次全振动，周期T＝4×1 s＝4 s，振幅A＝OB＝＝10 cm，故A错误；从B→O→C→O→B是一次全振动，故B错误；经过一次全振动，振子通过的路程是4A，三次全振动通过的路程是120 cm，故C错误；从B开始3 s时间内振子做次全振动，3 s时振子位于O点，振子通过的路程是s＝3A＝30 cm，故D正确。 例4　(2023·雅安市高二月考)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　) A．t＝3 s时，质点的振幅为零 B．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm C．质点经过1 s通过的路程总是2 cm D．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm 答案　B 解析　振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故A错误；0～3 s为T，质点通过的路程为s＝3A＝6 cm，故B正确；质点在1 s即内通过的路程不一定等于一个振幅，故C错误；由题图可知振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为f＝＝0.25 Hz，故D错误。 拓展　(1)质点在一个T内通过的路程一定是4A吗？ (2)质点在T内通过的路程一定是2A吗？ (3)质点在T内通过的路程一定是A吗？ 答案　(1)一个T内质点完成一次全振动，通过的路程一定是4A。 (2)质点在内通过的路程一定是2A。 (3)质点在T内通过的路程不一定是A。 1．对全振动的理解 把握全振动的四个特征。 (1)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。 (2)时间特征：历时一个周期。 (3)路程特征：振幅的4倍。 (4)相位特征：增加2π。 2．振幅、位移和路程的关系 振幅 位移 路程 定义 振子离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 运动轨迹的长度 矢、标性 标量 矢量 标量 变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间做周期性变化 随时间增加 联系 ①振幅等于最大位移的大小 ②振子在一个周期内的位移等于零，在一个周期内的路程等于4倍振幅，在半个周期内的路程等于2倍振幅 四、简谐运动的表达式 1．表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(t＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。 ωt＋φ0表示相位的大小，其中φ0是t＝0时的相位，叫初相位，简称初相。 2．相位差：两个相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。 例5　 A、B两个做简谐运动的物体的位移—时间图像如图所示。 请根据图像写出： (1)A的振幅是________ cm，周期是______ s；B的振幅是________ cm，周期是________ s。 (2)两个简谐运动的位移随时间变化的关系式分别为xA＝________，xB＝________。 答案　(1)0.5　0.4　0.2　0.8 (2)0.5sin (5πt＋π) cm　0.2sin (2.5πt＋) cm 解析　(1)由题图知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。 (2)由题图知，t＝0时刻A从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s。则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π) cm。t＝0时刻B从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得ωB＝＝2.5π rad/s，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sin (2.5πt＋) cm。 拓展　若物体A的周期也是0.8 s，则物体A做简谐运动的位移随时间变化的关系式为________________ cm，物体A的相位始终超前物体B的相位________。 答案　xA＝0.5sin(2.5πt＋π)　 课时对点练　[分值：60分] 1～7题每题4分，共28分 考点一　简谐运动 1．关于简谐运动，下列说法正确的是(　　) A．简谐运动一定是水平方向的运动 B．所有的振动都可以看作简谐运动 C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的运动轨迹 D．只要振动图像是正弦曲线，物体一定做简谐运动 答案　D 解析　简谐运动并不一定在水平方向上，各个方向都可以，故选项A错误；振动图像是一条正弦曲线的振动才是简谐运动，故选项B错误；简谐运动的振动图像是正弦曲线，但简谐运动的轨迹并不是正弦曲线，故选项C错误；物体的振动图像是正弦曲线，该振动一定是简谐运动，故选项D正确。 2．(2023·泸州市高二月考)下列关于简谐运动的说法正确的是(　　) A．位移的方向总是指向平衡位置 B．位移总是由平衡位置指向物体所在位置 C．位移的方向总是跟速度的方向相反 D．速度的方向总是跟位移的方向相同 答案　B 解析　位移由平衡位置指向物体所在位置，故A错误，B正确；物体的位移方向总是离开平衡位置，而速度方向有时离开平衡位置，有时靠近平衡位置，所以速度的方向有时跟位移的方向相同，有时跟位移方向相反，故C、D错误。 3．(2023·成都市高一月考)如图甲所示，水平放置的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O是平衡位置。以水平向右为正方向，弹簧振子振动图像如图乙所示，则(　　) A．0.1 s末，振子运动到O点 B．0.2 s末，振子有正方向的最大速度 C．0.2～0.3 s时间内，振子从O向A做减速运动 D．振子在A点和B点相对平衡位置的位移相同 答案　C 解析　0.1 s末，弹簧振子位移最大，振子运动到B点，故A错误；0.2 s末，振子有负方向的最大速度，故B错误；0.2～0.3 s时间内，振子从O向A运动，弹簧振子的位移沿负方向，并且增大，振子做减速运动，故C正确；振子在A点和B点相对平衡位置的位移大小相同，位移方向不同，故D错误。 考点二　描述简谐运动的物理量 4. 如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则(　　) A．从O→B→O振子做了一次全振动 B．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm C．振动周期为2 s，振幅是10 cm D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置 答案　B 解析　从O→B→O振子完成了半个全振动，故A错误；A到B运动时间是2 s，周期T＝4 s，因为t＝6 s＝1.5T，振幅A＝10 cm，根据振子完成一次全振动通过的路程是4A，故从B开始经过6 s，振子通过的路程是s＝1.5×4A＝6A＝6×10 cm＝60 cm，故B正确，C错误；从O开始经过3 s，即T，振子处在位移最大的位置，故D错误。 5．一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，振幅为A，下列说法正确的是(　　) A．在T时间内，振子发生的位移一定为零，路程一定是4A B．在时间内，振子发生的位移一定是零，路程可以大于A C．在时间内，振子发生的位移一定是2A，路程一定是2A D．在时间内，振子发生的位移一定是A，路程也是A 答案　A 解析　在T时间内，振子完成一次全振动，振子发生的位移为零，路程为4A，故A正确；若从平衡位置计时，经过周期，振子发生的位移是A，路程为A；若不是从平衡位置出发，则路程可能大于A，可能小于A，振子发生的位移可能是零，故B、D错误；若振子从平衡位置开始计时，经过周期，振子发生的位移为0，故C错误。 6．(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　) A．物体的振动周期是2×10－2 s B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm C．物体的振动频率为25 Hz D．物体的振幅是10 cm 答案　BCD 解析　由题图可知，物体完成一次全振动需要的时间为4×10－2 s，故周期为T＝4×10－2 s，A错误；在第2个10－2 s内，即在1×10－2 s到2×10－2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝＝ Hz＝25 Hz，C正确；由题图可知，物体的最大位移为10 cm，则振幅为10 cm，故D正确。 考点三　简谐运动的表达式 7．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin(t＋) cm，则(　　) A．质点的振幅为3 m B．质点的振动周期为 s C．t＝0.75 s时，质点到达距平衡位置最远处 D．质点前2 s内的位移为－4.5 cm 答案　D 解析　从关系式可知A＝3 cm，ω＝ rad/s，故周期为T＝＝3 s，A、B错误；t＝0.75 s时，质点的位移为x＝3sin(×＋) cm＝0，质点在平衡位置处，C错误；在t＝0时刻质点的位移x＝3 cm,2 s时质点的位移x′＝3sin(×2＋) cm＝－1.5 cm，故前2 s内质点的位移为－4.5 cm，D正确。 8～10题每题5分，11题10分，共25分 8．(多选)如图所示，A、B为两简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　) A．A、B之间的相位差是 B．A、B之间的相位差是π C．B比A超前 D．A比B超前 答案　AD 解析　由题图可知A比B超前，相位差为Δφ＝，选项A、D正确。 9．(2023·雅安市高二期末)如图所示，一弹簧振子可沿竖直方向做简谐运动，振子静止时位于O点。现将振子从O点向下拉一段距离ΔL＝20 cm后由静止释放，振子在M、N间振动。振子由M第一次运动到N的时间为0.2 s。则(　　) A．振子振动的振幅为40 cm B．振子振动的周期为0.2 s C．从释放振子开始计时，振子在10 s内通过的路程为10 m D．从释放振子开始计时，振子在10 s末偏离平衡位置的位移大小为20 cm 答案　D 解析　由题意可知，振子振动的振幅为A＝20 cm，故A错误；由于t＝0.2 s＝，所以T＝0.4 s，故B错误；弹簧振子的振幅A＝20 cm，振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝10 s(25T)内通过的路程为s＝80×25 cm＝2 000 cm＝20 m，故C错误；10 s内振子振动了25个周期，10 s末振子仍处在M点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为20 cm，故D正确。 10．(多选)如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，由图像可知下列说法正确的是(　　) A．小球偏离平衡位置的最大距离为10 cm B．1 s末到5 s末小球的路程为40 cm C．2.5 s末和4.5 s末小球的位移相等，运动方向也相同 D．小球2 s完成一次往复运动 答案　AB 解析　由题图乙可知小球偏离平衡位置的最大距离为10 cm，4 s内完成一次往复运动，故A正确，D错误；1 s末到5 s末小球通过的路程是40 cm，故B正确；2.5 s末和4.5 s末小球位移大小相等、方向相反，位移不相同，2.5 s末小球向x轴负方向运动，4.5 s末小球向x轴正方向运动，运动方向相反，故C错误。 11．(10分)(2023·宜宾市高二月考)如图所示是某弹簧振子的振动图像。 (1)(3分)求振子振动的振幅、周期、频率和初相； (2)(3分)当t＝1.4 s时，振子相对平衡位置的位移是多少？它在一次全振动中所通过的路程是多少？ (3)(4分)如果从点O开始计时，写出振子做简谐运动的位移与时间关系的表达式。如果从点C开始计时，表达式又是怎样的？ 答案　(1)2 cm　0.8 s　1.25 Hz　0　(2)－2 cm　8 cm　(3)见解析 解析　(1)振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由题图可知，最大距离为2 cm，即振幅A＝2 cm，周期是完成一次全振动所需要的时间。图中OD之间表示一次全振动，所对应的时间是0.8 s，所以T＝0.8 s，可得f＝＝1.25 Hz，初相是t＝0时的相位，可知φ＝0。 (2)由题图可知，当t＝1.4 s时，振子相对平衡位置的位移是－2 cm。它在一次全振动中所通过的路程就是振幅的4倍，即2×4 cm＝8 cm。 (3)由(1)知ω＝2πf＝2.5π rad/s，如果从O点开始计时，振子做简谐运动的位移与时间关系的表达式为x＝0.02sin 2.5πt m。如果从C点开始计时，振子做简谐运动的位移与时间关系的表达式为x＝0.02sin(2.5πt－) m。 (7分) 12．(2023·成都市高二期中)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　) A．x＝Rsin(ωt－) B．x＝Rsin(ωt＋) C．x＝2Rsin(ωt－) D．x＝2Rsin(ωt＋) 答案　B 解析　由题图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以竖直向上为正方向，设P的振动方程为x＝Rsin(ωt＋φ)，当t＝0时，P的位移为R，代入振动方程解得φ＝，则P做简谐运动的表达式为x＝Rsin(ωt＋)，故B正确，A、C、D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $