第三章 3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线与抛物线的位置关系、弦长问题及中点弦问题，通过衔接上节课抛物线几何性质，以类比椭圆双曲线位置关系为导入，搭建前后知识脉络的学习支架。 其亮点在于知识梳理注重逻辑辨析，如强调“一个公共点是相切的必要不充分条件”培养数学思维，例题通过分类讨论斜率存在与否引导学生用数学眼光分析问题，方法归纳（点差法、定义法）助力学生规范数学语言表达。跟踪训练与分层习题设计，既提升学生解题能力，又为教师提供层次化教学资源支持。

第2课时 第三章 <<< 直线与抛物线的位置关系 1.了解抛物线的简单应用. 2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题.(难点) 学习目标 上节课我们研究了抛物线的简单几何性质，这节课我们继续探究直线与抛物线的位置关系及弦长问题. 导 语 一、直线与抛物线的位置关系 二、弦长问题 课时对点练 三、抛物线的中点弦问题 随堂演练 内容索引 直线与抛物线的位置关系 一 提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：相交、相切、相离. 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系. 问题1 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当 时，直线与抛物线相离，没有公共点. (2)若k＝0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一个 知识梳理 (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况. 注 意 点 <<< 8 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点. 例 1 9 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 此时直线l平行于x轴. 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k). 10 ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点. 11 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点. 反 思 感 悟 12 过点(2，－1)且与抛物线y＝x2只有一个公共点的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 跟踪训练 1 √ 13 即过点(2，－1)的切线有2条， 综上可得，过点(2，－1)且与抛物线y＝x2有且只有一个公共点的直线共有3条. (1)当过点(2，－1)的直线斜率不存在时，显然直线x＝2与抛物线y＝x2有且只有一个公共点； (2)当直线过点(2，－1)且斜率存在，且与抛物线相切时， 直线与抛物线只有一个公共点， 设直线方程为y＋1＝k(x－2)，代入到抛物线方程 y＝x2， 消去y得x2－kx＋2k＋1＝0， 14 二 弦长问题 提示　1.利用弦长公式. 2.根据抛物线的定义|AB|＝x1＋x2＋p. 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？ 问题2 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝ ，求AB所在的直线方程. 例 2 17 所以弦所在的直线的斜率存在且不为0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 18 所以k＝±2， 所以所求直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 19 所以直线AB的斜率存在，设为k， 消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0. 20 解得k＝±2. 所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0 或2x＋y－p＝0. 21 延伸探究 若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离. 22 (2)焦点弦长：在抛物线y2＝2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 求抛物线弦长的方法 反 思 感 悟 23 (1)若抛物线y2＝12x与直线2x＋y－4＝0交于A，B两点，则|AB|等于 跟踪训练 2 √ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝7，x1x2＝4， 24 (2)若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，|AB|＝8，则k＝______. 2 25 若k＝0，此时y＝kx－2与抛物线y2＝8x只有1个交点，不符合题意，故k≠0， 由Δ＝(4k＋8)2－16k2＝64k＋64>0，解得k>－1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为|AB|＝x1＋x2＋4＝8， 26 抛物线的中点弦问题 三 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程. ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2). 又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)， 例 3 ∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0. 28 方法二　(一般法)由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1. 此方程的两根就是线段端点A，B的纵坐标. 又y1＋y2＝2，∴k＝4， ∴AB所在直线的方程为y＝4(x－4)＋1，即4x－y－15＝0. 29 解决中点弦问题常用方法 反 思 感 悟 30 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若弦AB的中点为(2,2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为__________. y2＝4x 跟踪训练 3 x－y＝0 31 由题意知抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0. 32 1.知识清单： (1)直线和抛物线的位置关系. (2)抛物线中的弦长问题. (3)中点弦问题. 2.方法归纳：直接法、定义法、代数法. 3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 √ 当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，此时直线l与抛物线相交；当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点时，直线l与抛物线相切. 1 2 3 4 2.过原点且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 √ 1 2 3 4 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，直线与抛物线只有一个公共点，满足题意. 当k＝0时，直线的方程为y＝0，直线与抛物线只有一个公共点，满足题意； 当k≠0时，Δ＝1>0，此时直线与抛物线有两个公共点，不满足题意.故过原点且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有2条. 1 2 3 4 3.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_______. 得x2－8x＋4＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4， 故线段AB的中点坐标为(4,2). (4,2) 1 2 3 4 4.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝______. 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点， 当k≠0时，联立方程消去y， 得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0， 由题意得Δ＝16(k－2)2－16k2＝0， ∴k＝1. 综上，k＝0或k＝1. 0或1 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|等于 A.16 B.12 C.10 D.8 √ 由题意得p＝6， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋6＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若直线x＝4与C交于A，B两点，且|AB|＝8，则|AF|等于 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 令x＝4，则y2＝8p， 所以p＝2，故准线方程为x＝－1， 则|AF|＝4－(－1)＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C: y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为 A.y2＝8x B.y2＝2x C.y2＝ D.y2＝x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线C：y2＝2px(p>0)，令x＝2得y2＝4p， 因为OD⊥OE， 解得p＝1，故C的标准方程为y2＝2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设与抛物线相切的直线， 且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0. 与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0， 由题意知，Δ＝16＋12m＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且|OE|＝ ，则p等于 A.2 B.3 C.6 D.12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为E为线段AB的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则 A.焦点F的坐标为(1,0) B.过点A(－1,0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点 C.直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得弦长为8 D.若抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则|MN|＝4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题可知抛物线C的方程为y2＝4x.对于A，焦点F的坐标为(1,0)，故A正确； 对于B，过点A(－1,0)可作抛物线的2条切线，且直线y＝0与抛物线C有且只有一个公共点，故过点A(－1,0)共有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设弦的两个端点分别为D(x1，y1)，E(x2，y2)， 则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得x＝1或x＝－5(舍去)， 将x＝1代入y2＝4x，得y＝±2， 故交点为(1，±2)， 所以|MN|＝4，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知抛物线C：x2＝4y，F为其焦点，若直线l：y＝ ＋1与抛物线C在第一象限交于点M，则|MF|等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得F(0,1)，p＝2，准线方程为y＝－1， 即直线l过点F(0,1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为 A.2 B.4 C. D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点. (1)若|AB|＝10，求实数m的值； 由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若OA⊥OB，求实数m的值. 因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0， 解得m＝－8或m＝0(舍去). 所以m＝－8，经检验符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F. (1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程； 由题意知，中点弦所在的直线斜率存在. 设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ∴所求直线方程为2x－y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 同理可得|CD|＝4k2＋4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解， ∴直线3x＋4y＋12＝0与抛物线相离. 又d1＋d2＝d1＋1＋d2－1，而d1＋1为P到准线x＝－1的距离， 故d1＋1为P到焦点F(1,0)的距离， 从而d1＋1＋d2的最小值为点F到直线3x＋4y＋12＝0的距离， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. ∵点M在x轴的上方， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵MN⊥l， |MF|＝|MN|＝3＋1＝4. ∴△MNF是边长为4的等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.M是抛物线y2＝x上一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆心(－1,4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C(x，y)， 曲线C为(x－3)2＋y2＝1，设M(a2，a)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6，则|AB|＝_____. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)， 易知当直线l的斜率不存在时不满足题意， 故设直线AB的方程为y＝k(x－1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线y2＝2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向 抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于x轴的方向 射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物 线的方程为________. y2＝3x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|＝2p； 当直线PQ的斜率存在时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 整理得4k2x2－(4k2p＋8p)x＋k2p2＝0， 综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p＝3， 所以抛物线的方程为y2＝3x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线C的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 代入y2＝2px(p>0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则有x1＋x2＝3p. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x， 得x2＋(2b－4)x＋b2＝0. ∵直线l为抛物线C的切线， ∴Δ＝0，解得b＝1. ∴直线l的方程为y＝x＋1. 由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1. 设P(m，m＋1)， ∵x1＋x2＝6，x1x2＝1， ∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 联立消去y， 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝， 此时直线l与C只有一个公共点， 则Δ＝k2－4(2k＋1)＝0，解得k＝4±2， p 消去y可得k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0， 方法一　因为过焦点的弦长为|AB|＝p， 设直线方程为y＝k， 联立 若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意. 则x1＋x2＝， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝， 方法二　由题意知焦点F， 则直线AB的方程为y＝k，k≠0. 由 由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2. 所以|AB|＝＝· ＝2p＝p， 则梯形ABDC的中位线|ME|＝p， 所以点M到y轴的距离为p－＝p. 如图，过A，B，M分别作准线x＝－的垂线交准线于点C，D，E. 由定义知|AC|＋|BD|＝p， (1)统一弦长公式：|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|. A.2 B.12 C. D.13 由得x2－7x＋4＝0， ∴|AB|＝|x1－x2|＝×＝. 联立整理得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0， 则x1＋x2＝， 故＝4，解得k＝－1(舍去)或k＝2，所以k＝2. 方法一　(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，  y2)，则有y＝8x1，y＝8x2， 即＝4，∴kAB＝4， 联立消去x得ky2－8y－32k＋8＝0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝， 则有且x1≠x2， 两式相减得y－y＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2,2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx，由得k2x2－x＝0. 由 故y＝±2， 所以|AB|＝4＝8， x 解得y＝±2， 不妨设D(2,2)，E(2，－2)， 所以·＝2×2－4p＝0， A. B. C. D.3 ∴m＝－. ∴最小值为两平行线之间的距离d＝＝. 该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值. 由题意可知F， 则直线AB为y＝x－， 由题意得相减得，  y－y＝2p(x1－x2)⇒y1＋y2＝2p， 所以E，即E， 因为E在直线AB：y＝x－上，所以E， 又因为|OE|＝，所以p＝2. 对于C，由得y2＋4y－4＝0， 所以弦长|DE|＝|y1－y2|＝· ＝×＝8，故C正确； 对于D，由得x2＋4x－5＝0， x 对于直线l：y＝x＋1，当x＝0时，y＝1， 联立得3y2－10y＋3＝0， 解得y＝3或y＝， 由于M在第一象限，且l：y＝x＋1的斜率大于0， 故M的纵坐标为3，则|MF|＝yM＋＝3＋1＝4. 2 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F， 准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴直线AB的方程为y＝x－， 代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0， ∴x1＋x2＝3p，x1x2＝， 由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋， |BF|＝x2＋， ∴|AF|·|BF|＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋ ＝＋p2＋＝2p2＝16， 解得p＝2. 由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0. 因为|AB|＝＝·＝10， 所以m＝，经检验符合题意. 则y＝4x1，y＝4x2，kPQ＝＝＝2， 依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得 设其两根为x3，x4，则x3＋x4＝＋2. 由抛物线的定义可知，|AB|＝2＋x3＋x4＝＋4， ∴四边形ACBD的面积S＝(4k2＋4)·＝8≥32，当且仅当k＝±1时等号成立，此时所求四边形ACBD面积的最小值为32. A.2 B. C. D.3 由 即＝3，故d1＋d2的最小值为2. 12.过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为 A. B.2 C.2 D.3 由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1). 联立方程组 解得或 ∴M(3,2). ∴N(－1,2). ∴|NF|＝＝4， ∴点M到直线NF的距离为2. A.2 B.－1 C. D.－1 则解得 故|MC|＝＝＝，当a2＝时，|MC|有最小值，故|MN|的最小值为－1. 则即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 故x1＋x2＝， 故AB中点的横坐标为＝＝1＋， |AB|＝x1＋x2＋p＝＋2. 故2＝32＋2， 解得k2＝， 故|AB|＝＋2＝10. 由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点F. 设PQ的方程为y＝k，  P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立 得k2＝2px， 所以x1＋x2＝p＋，x1x2＝. 所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝2p>2p. 由题意可知F， 则该直线方程为y＝x－， 得x2－3px＋＝0. (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值. 则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))， ∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2 －7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2,3)时，·取得最小 值，最小值为－14. ∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2. ∵y－y＝4(x1－x2)， ∴y1＋y2＝4×＝4， $