第二章 2.2.3 直线的一般式方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的一般式方程，包含定义、结构特征、系数条件下的直线性质及平行垂直问题应用。通过“直线y=2x+1是否为二元一次方程”等问题导入，结合提示回顾旧知，搭建从点斜式、两点式到一般式的学习支架，衔接前后知识脉络。 其特色在于以数学眼光引导学生从具体方程抽象出一般式定义，例2用斜率法与待定系数法培养数学思维中的逻辑推理和运算能力，知识梳理用规范数学语言明确性质公式形成系统认知。例3含参问题强化分类讨论，随堂演练提升应用能力，助力学生深化理解，也为教师提供完整教学流程与多样化例题参考。

2.2.3 第二章 <<< 直线的一般式方程 1.掌握直线的一般式方程(重点). 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 学习目标 观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题. 导 语 一、直线的一般式方程 二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题 课时对点练 三、直线的一般式方程的应用 随堂演练 内容索引 直线的一般式方程 一 提示　y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，是二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3的形式，可以表示一条直线. 直线y＝2x＋1是二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 问题 我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的 ，简称一般式. Ax＋By＋C＝0 一般式方程 知识梳理 (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程. ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. ③x的系数一般不为分数和负数. (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； 注 意 点 <<< 8 ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合. 注 意 点 <<< 9 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： 例 1 10 (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； 11 (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； 即x＋3y＋3＝0. 12 (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴. y－2＝0. 13 在求直线方程时，通常不设直线的一般式方程，而是根据给定条件，选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 求直线一般式方程的策略 反 思 感 悟 14 根据下列条件分别写出直线的一般式方程. (1)经过两点A(5,7)，B(1,3)； 跟踪训练 1 (2)经过点(－4,3)，斜率为－3； 由点斜式方程得y－3＝－3(x＋4)， 即3x＋y＋9＝0. 15 (3)经过点(2,1)，平行于y轴； 由题意知x＝2，即x－2＝0. (4)斜率为2，在x轴上的截距为1. 由点斜式得y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0. 16 二 利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0). (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 知识梳理 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； 例 2 19 又∵l′过点(－1,3)， 即3x＋4y－9＝0. 方法二　由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0. 20 (2)过点(－1,3)，且与l垂直. ∵l′与l垂直， 即4x－3y＋13＝0. 方法二　由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 21 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程. (2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法 反 思 感 悟 22 (1)已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，则实数a的值为______. －6 跟踪训练 2 因为直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，所以3×8－(－4)a＝0 ，解得a＝－6. 23 (2)过点P(2,1)且与直线x－2y＋1＝0垂直的直线方程为 A.2x＋y＋5＝0 B.2x＋y－5＝0 C.x＋2y－5＝0 D.x－2y＋5＝0 √ 由题意，所求直线的斜率k＝－2，且过P(2,1)，所以直线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0. 24 直线的一般式方程的应用 三 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； 例 3 26 (2)已知直线l的斜率为1，求m的值. 27 对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值. 延伸探究 ∵直线l与y轴平行， 28 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式. (3)解分式方程要注意验根. 含参直线方程的研究策略 反 思 感 悟 29 1.知识清单： (1)直线的一般式方程. (2)直线五种形式方程的互化. (3)利用直线方程判定直线的平行与垂直. 2.方法归纳：分类讨论法、化归转化. 3.常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.已知直线l过点(0,3)，且与直线x－y－1＝0平行，则l的方程是 A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0 C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0 √ 设直线l的方程为x－y＋c＝0(c≠－1)， 由点(0,3)在直线x－y＋c＝0上得 0－3＋c＝0，解得c＝3， 因此直线l的方程为x－y＋3＝0. 1 2 3 4 4.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是______. 3 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为 A.x－1＝－2(y－2) B.2x＋y－1＝0 C.y－2＝－2(x－1) D.2x＋y－5＝0 √ 根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为 A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a. A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错误； B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知b>0，a>0，两者矛盾，故B错误； C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确； D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为 A.－1或2 B.0或2 C.2 D.－1 √ 由l1∥l2知，a×a＝1×(a＋2)，即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1. 当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去； 当a＝－1时，l1∥l2. ∴a＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是 A.－1 B.1 C.2 D.5 √ 直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为_______. 把(3,0)代入已知方程， 得(a＋2)×3－2a＝0， ∴a＝－6， ∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为_____. 直线l的方程为3x＋4y－12＝0， 令x＝0得y＝3， 令y＝0得x＝4， 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0， ∴a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0； ∴直线l的方程为x＋y＋2＝0. 综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， ∵l不经过第二象限， 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y－1＝0上， ∴设B点坐标为(x,1). 又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点， 又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴B点坐标为(5,1). 同理可求出C点的坐标是(－3，－1). 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.将直线l上一点A(－1,2) 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点B仍在直线l上，则直线l的方程是 A.2x－y＋4＝0 B.2x＋y＝0 C.2x－y＋5＝0 D.x＋2y－3＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将A(－1,2) 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得B(0,4)， 因为A，B都在直线l上， 所以直线l的方程为y－4＝2x，即2x－y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如果直线ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同时平行于直线x－2y＋3＝0，那么a，b的值分别为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同时平行于直线x－2y＋3＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为 A.－2 B.－4 C.10 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点A在直线mx＋ny＋1＝0上， 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线l经过点(1，－2)， 对于A，设直线l的倾斜角为θ， 因为0°≤θ<180°，所以θ＝120°，所以A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 且在y轴上的截距为－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知t∈R，且t∈(0,10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10－t,0). (1)直线PQ是否经过点M(6,1)？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，当直线PQ的斜率不存在时， t＝10－t，故t＝5，此时P(5,5)，Q(5,0)， 直线PQ不经过点M(6,1)； 当直线PQ的斜率存在时，t≠5， 直线PQ的方程为(2t－10)y＝t(x＋t－10). 假设直线PQ过点M(6,1)， 则2t－10＝t(6＋t－10)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即t2－6t＋10＝0， Δ＝－4<0，方程无实根， 故直线PQ不经过点M(6,1). 综上，直线PQ不经过点M(6,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上. 由题意设点A(a,0)，B(2a,0)，C(2a，a)，D(a，a)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②求图中阴影部分面积的最大值，并求此时顶点A，B，C，D的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线PQ的方程为(2t－10)y＝t(x＋t－10)， 因为P(t，t)，Q(0,10－t)， 设阴影部分的面积为S， 因为点C(2a，a)在直线PQ上， 则(2t－10)a＝t(2a＋t－10)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)斜率是，且经过点A(5,3)； 由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. 由两点式，得直线方程为＝，即2x＋y－3＝0. 由截距式，得直线方程为＋＝1， 由两点式方程得＝，即x－y＋2＝0， ∴由点斜式知l′的方程为y－3＝－(x＋1)， 方法一　l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－. ∵l′与l平行，∴l′的斜率为－. ∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)， ∴由点斜式可得l′的方程为y－3＝(x＋1)， 由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝， ∴＝－3，解得m＝－. 由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程得y＝x＋， 则＝1，解得m＝－2. ∴∴m＝. 1.直线＋＝1化成一般式方程为 A.y＝－x＋4 B.y＝－(x－3) C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12 2.在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是 A.30° B.60° C.150° D.120° 直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 由已知得∴m＝3. 过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y－3＝(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0. 5.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线 x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为 A.－，－1 B.，－1 C.－，1 D.，1 原方程化为＋＝1， ∴＝－1，∴b＝－1. 又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a， 且x－y－＝0的倾斜角为60°， ∴k＝tan 120°＝－，∴a＝－. － 令x＝0，得y＝－. 故令A(4,0)，B(0,3)，则S△AOB＝×4×3＝6. 当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a－2， ∴＝a－2，解得a＝0或a＝2(舍去)， ∴解得a≤－1. ∴由中点坐标公式得D点坐标为. ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， 则kl＝＝2， A.－，0 B.2,0 C.，0 D.－，2 ∴解得 由已知得解得n＝－2. 14.若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________. 则2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋4＝8， 当且仅当n＝2m，即n＝，m＝时，等号成立， 即＋的最小值为8. 15.(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝(1，－)，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是 A.l的倾斜角等于150° B.l在x轴上的截距等于 C.l与直线x－3y＋2＝0垂直 D.l与直线x＋y＋2＝0平行 因为直线l的一个方向向量为u＝(1，－)， 所以直线l的斜率k＝－， 所以直线l的方程为y＋2＝－(x－1)， 即x＋y＋2－＝0. 则tan θ＝－， 对于B，当y＝0时，2＝－(x－1)， 得x＝1－， 所以直线l在x轴上的截距等于1－，所以B错误； 对于C，因为直线x－3y＋2＝0的斜率为， 且×(－)＝－1， 所以直线l与直线x－3y＋2＝0垂直，所以C正确； 对于D，因为直线x＋y＋2＝0的斜率为－， 而直线l的斜率为－， 且在y轴上的截距为－2， 所以直线l与直线x＋y＋2＝0平行，所以D正确.  kPQ＝， ①求证：顶点C一定在直线y＝x上； 点C(2a，a)满足y＝x， 故顶点C一定在直线y＝x上. 则S＝S△OPQ－S正方形ABCD＝t(10－t)－a2(0<t<10). 所以a＝t(10－t). 所以S＝5a－a2＝－2＋. 图中阴影部分的面积取得最大值，Smax＝， 此时点A，B(5,0)，C，D. 所以当a＝，即t＝5时， $