第二章 2.2.2 直线的两点式方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的两点式方程和截距式方程，以斜拉桥斜拉索为情境导入，通过“两点确定直线”问题衔接点斜式知识，推导两点式方程并特殊化得到截距式，构建连贯的知识支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过分类讨论（如截距是否为0）培养数学思维，结合三角形面积、行李票计费等实例强化应用意识。学生能提升逻辑推理与数学表达能力，教师可借助清晰的例题、变式训练及课堂小结高效开展教学。

2.2.2 第二章 <<< 直线的两点式方程 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程(重点). 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 学习目标 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？本节课我们就来学习一下. 导 语 一、直线的两点式方程 二、直线的截距式方程 课时对点练 三、截距式方程的应用 随堂演练 内容索引 直线的两点式方程 一 我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 问题1 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ______________，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 . 两点式 知识梳理 (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 注 意 点 <<< 8 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中： (1)求BC边所在的直线方程； BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 例 1 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. 9 (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 设BC的中点为M(a，b)， 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 10 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件； 若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 利用两点式求直线的方程 反 思 感 悟 11 已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程. 跟踪训练 1 12 由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. (1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； 即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 13 二 直线的截距式方程 若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 问题2 我们把方程__________叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线 ，此时直线在y轴上的截距是 . 在x轴上的截距 b 知识梳理 16 (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. 注 意 点 <<< 17 求过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 例 2 18 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 19 若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ (1)当截距不为0时， 延伸探究 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. 20 (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 21 反 思 感 悟 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 应用截距式方程的注意事项 截距式方程的应用 三 过点P(3,2)的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A，B两点. (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； 例 3 设A(a,0)，B(0，b)， ∵P(3,2)为AB的中点，∴A(6,0)，B(0,4)， 24 (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程. 即直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 25 反 思 感 悟 直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝ 已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8). (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； 跟踪训练 2 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8. 27 (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积. 如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB， 且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8， 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 28 1.知识清单： (1)直线的两点式方程. (2)直线的截距式方程. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.过点(1,2)，(5,3)的直线方程是 √ ∵所求直线过点(1,2)，(5,3)， 1 2 3 4 2.在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是 √ 当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时，得直线方程为2x－y＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 3.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为______________ _____________. 1 2 3 4 2x－y＝0或 x－y＋1＝0 将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1， 得直线方程为x－y＋1＝0. ∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 4.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为______________. 2x－y＋1＝0 线段AB的中点坐标为(1,3)， 即2x－y＋1＝0. 1 2 3 4 课时对点练 五 1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为 A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1 C.y＝x＋2 D.y＝－x－2 √ 整理得y＝x＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.已知直线过点(2, 1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为 A.2x＋y－5＝0 B.x＋2y－4＝0 C.x－2y＝0或x＋2y－4＝0 D.x－2y＝0或2x＋y－5＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当截距为0时，设直线的方程为y＝kx， 因为直线过点(2, 1)，所以1＝2k， 综上，直线的方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. 3.若直线 ＝1过第一、二、三象限，则 A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. 4.经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为 A.2 B.－3 C.－27 D.27 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为 A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0 C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0 √ 由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)， 即2x＋y－8＝0. √ 6.(多选)若直线过点(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则该直线的方程为 A.2x＋3y－6＝0 B.2x－3y＋6＝0 C.x＋2y－2＝0 D.x＋2y＋2＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知点P(x,2)在过M(－2,1)和N(3，－4)两点的直线上，则x的值是_____. －3 又P(x,2)在此直线上， 所以当y＝2时，x＝－3. 8.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的方程为____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x＋3y＋2＝0 9.如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费 用y(元)与行李质量x(千克)的关系可用直线AB的 方程表示. (1)求直线AB的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图知点A(60,6)，B(80,10)， 即x－5y－30＝0. (2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，令y＝0，解得x＝30， 即旅客最多可免费携带30千克的行李. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由截距式，得边AC所在直线的方程为 由两点式，得边AB所在直线的方程为 10.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0). (1)求边AC和AB所在直线的方程； 即x＋y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得点D的坐标为(－4,2)， 由两点式，得边BD所在直线的方程为 即2x－y＋10＝0. (2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)过点(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 A.x＋y＝5 B.x－y＝5 C.x－4y＝0 D.x＋4y＝0 √ √ 综合运用 即x－4y＝0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把点(4,1)代入，解得a＝5， 所以直线方程为x＋y＝5. 综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0. 12.已知直线l过原点，且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点分别为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由于直线l平分平行四边形ABCD的面积， 因此其必过平行四边形对角线的交点， 而B(1,4)，D(5,0)，所以对角线的交点为(3,2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.直线 ＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 √ 14.已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为 ，则直线AB的方程为_______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3x－4y＋20＝0 依题意知，a＝2，P(0,5). 设A(x0,2x0)，B(－2y0，y0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以A(4,8)，B(－4,2)， 15.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)， ∴a＝±6， ∴直线l的方程为x＋y±6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)， ∴a＝±6， ∴直线的方程为x－y±6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0. 提示　由点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)， 即＝(x1≠x2，y1≠y2). ＝ 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， (2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝， 提示　由两点式方程，得＝，即＋＝1. ＋＝1 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. 又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 设直线l的方程为＋＝1， 又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7， 又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. ∴由截距式得直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0. 当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，等号成立， ∴△AOB的面积S＝ab≥12， ∴△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为＋＝1， 由题意，设直线的截距式方程为＋＝1(a，b>0)， ∵直线过P(3,2)，∴＋＝1， ∴1＝＋≥2，∴ab≥24， |a|·|b|. 因为直线l的两点式方程为＝， 所以＝，即＝x－1. 所以＋＝1.故所求截距式方程为＋＝1. 故S△AOB＝|OA|·|OB|＝×4×8＝16. A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ∴所求直线方程是＝. A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 可设直线方程为－＝1， 由直线的两点式方程可得＝， 代入两点式得直线方程为＝， 即k＝，则直线的方程为y＝x，即x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线的方程为＋＝1， 因为直线过点(2,1)，所以＋＝1，则a＝2， 所以直线的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.  ＋ 由两点式得直线方程为＝，令y＝0，得x＝27. 再由两点式可得直线MN的方程为＝， 设直线的截距式方程为＋＝1.又直线过点(6，－2)， 则＋＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是＋＝1或＋＝1， 过M，N两点的直线的方程为＝， 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有 解得a＝－5，b＝－3， 即P(－5,1)，Q(7，－3). 由两点式可得＝，化简得直线l的方程为x＋3y＋2＝0. 则直线AB的方程为＝， ＋＝1，即x－2y＋8＝0.  ＝，  ＝， ∴＋＝1. ∴直线BD与坐标轴围成的三角形的面积S＝×5×10＝25. 当直线过点(0,0)时，直线方程为y＝x， 当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为＋＝1. A.y＝x B.y＝2x＋3 C.y＝－x＋5 D.y＝x 又直线l过原点，所以其方程为y＝x. －＝1与－ 易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足题意.  P 则由中点坐标公式，得 由直线的两点式方程，得直线AB的方程是＝，即3x－4y＋20＝0. 解得 ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3. 则x＝3－y， 即当点P的坐标为时，xy取得最大值3. 直线AB的方程为＋＝1， 则直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0. ∵|a|·|a|＝18，即a2＝36， 故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0. ∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36， $