第二章 2.2.1 直线的点斜式方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过射击手托枪位置与瞄准方向的实例导入，引导学生从斜率公式推导点斜式，再延伸至斜截式，构建从定义、注意点到应用的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动推导过程，通过实例抽象直线要素培养数学眼光，结合斜率存在性讨论与平行垂直判断训练数学思维，规范方程表达强化数学语言。例题典型且分层，小结明晰方法与误区，助力学生掌握知识，方便教师高效教学。

2.2.1 第二章 <<< 直线的点斜式方程 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程(重点). 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题(难点). 学习目标 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求， 则托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄 准的方向即为直线的倾斜方向. 导 语 一、求直线的点斜式方程 二、直线的斜截式方程 课时对点练 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 随堂演练 内容索引 求直线的点斜式方程 一 给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 问题1 我们把方程 称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的 ，简称点斜式. y－y0＝k(x－x0) 点斜式方程 知识梳理 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 注 意 点 <<< 8 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－4,3)，斜率k＝3； 例 1 由点斜式方程可知， 所求直线的点斜式方程为y－3＝3(x＋4). 9 (2)过点B(－1,4)，倾斜角为135°； 由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1， 故所求直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1). 10 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外. 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 反 思 感 悟 11 求满足下列条件的直线方程： 跟踪训练 1 12 (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； 与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. 13 (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点. 过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 ∵直线过点P(－2,3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 14 二 直线的斜截式方程 提示　由点斜式方程得y－b＝k(x－0)， 即y＝kx＋b. 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 问题2 1.直线l与y轴的交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距. 2.把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 纵坐标b 知识梳理 17 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 注 意 点 <<< 18 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程. 例 2 由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 19 1.本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程. 延伸探究 20 ∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3， ∵l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2：y＝4x－2， ∴l在y轴上的截距为2. 2.若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝－1. 22 反 思 感 悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 求直线的斜截式方程的策略 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 三 例 3 25 当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m＝0时，l1与l2垂直. 反 思 感 悟 若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ 由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2， ∵l1∥l2， 跟踪训练 2 解得a＝－1， 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行. 28 (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4， ∵l1⊥l2， 29 1.知识清单： (1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为 ∵直线l的倾斜角为60°， √ 1 2 3 4 √ ∴l在y轴上的截距为－9. 1 2 3 4 3.若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有 A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 √ ∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0. 1 2 3 4 4.已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝_____. 由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1. －1 课时对点练 五 1.已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为 A.x＝3 B.x＝－2 C.y＝3 D.y＝－2 √ ∵直线与x轴平行， ∴其斜率为0， ∴直线的方程为y＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.已知直线l过点(－3,4)且方向向量为(1，－2)，则l在x轴上的截距为 A.－1 B.1 C.－5 D.5 因为直线l的方向向量为(1，－2)， 所以直线l的斜率k＝－2， 又直线l过点(－3,4)， 所以直线方程为y－4＝－2(x＋3), 令y＝0，得x＝－1，所以l在x轴上的截距为－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 所求直线与已知直线垂直， 因此所求直线的斜率为－2， 故方程为y－3＝－2(x＋1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.以A(2，－5)，B(4，－1)为端点的线段的垂直平分线的方程是 A.y－(－3)＝2(x－3) B.y－3＝2(x－3) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由A(2，－5)，B(4，－1)，知线段AB的中点坐标为(3，－3)， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为 所以线段AB的垂直平分线的方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知斜率为 的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的 方程为________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴b2＝16，∴b＝±4. 8.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是__________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 又因为在y轴上的截距为－6， 9.求满足下列条件的m的值. (1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵l1∥l2， ∴两直线的斜率相等. ∴m2－2＝－1且2m≠1， ∴m＝±1. (2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意. 12.已知直线l：y＝xsin θ＋cos θ的图象如图所示，则角θ是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 结合图象易知，sin θ<0，cos θ>0， 则角θ是第四象限角. 13.直线l的斜率k为方程x2－2x＋1＝0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝x＋5 由题意，方程x2－2x＋1＝0的根为1， 所以k＝1，又在y轴上的截距为5， 则直线l的方程为y＝x＋5. 又l过点(2，－1)， 14.已知直线 的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β＝2α，且过点(2，－1)，则直线l的方程为_________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(－1,0)，C(0,3)，AB＝AC，则△ABC 的欧拉线的斜截式方程为_____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AB＝AC，所以△ABC外心，重心，垂心都位于线段BC的垂直平分线上， 设线段BC的垂直平分线的斜率为k， 则k·kBC＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； 由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(－2,1). (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若要使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　根据过两点的直线的斜率公式得＝k，即y－y0＝k(x－x0). ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； ∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. kPQ＝＝＝－1. ∴l的斜率为. ∴直线l的方程为y＝x＋2. 所以所求三角形的面积为S＝×|－2|×|－1|＝1. 已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 所以当m＝－时，l1与l2平行； 又－·＝－1无解. 故当m＝－时，l1与l2平行； 当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋. 由－＝－，得m＝±； 由≠，得m≠且m≠， ∴ ∴4(2a－1)＝－1，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直. ∴直线l的方程为y＝x－2. A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝－x－2 D.y＝x－2 ∴k＝tan 60°＝， 2.已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为 A.9 B.－9 C. D.－ 由y＋＝(x－1)，得y＝x－9， ∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－. 3.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为 A.60°，2 B.120°，2－ C.60°，2－ D.120°，2 该直线的斜率为－， 当x＝0时，y＝2－， 4.过点(－1,3)且垂直于直线y＝x＋的直线方程为 A.y－3＝－2(x＋1) B.y－3＝－2(x－1) C.y－3＝－(x＋1) D.y－3＝(x＋1) C.y－3＝－(x－3) D.y－(－3)＝－(x－3) 又由斜率公式可得kAB＝＝2，  k＝－＝－，  y－(－3)＝－(x－3). 6.(多选)已知直线l：y＝x－1，则 A.直线l过点(，－2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为60° D.直线l在y轴上的截距为1 对于A，将(，－2)代入y＝x－1，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由y＝x－1，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，可得α＝60°，故C 正确； 对于D，由y＝x－1，令x＝0，可得直线l在y轴上的截距为－1，故D不正确. 设l：y＝－x＋b， － 由题意，得·|b|·＝6， 故直线l的方程为y＝－x±4. 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝b.  y＝－x＋4或y＝－x－4 y＝x－6或y＝－x－6 所以直线的斜率为或－， 所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6. ∵l1⊥l2，∴2m－1＝， ∴m＝. 令y＝0，得x＝， 由三角形的面积为2，得××2＝2. 解得k＝. 可得直线l的方程为y－2＝(x－2). 综上可知，直线l的方程为x＝2或y＝x＋1. 因为已知直线的斜率为， y＝x－1 即tan α＝，所以α＝30°， 所以直线l的斜率k＝tan β＝tan 2α＝tan 60°＝， 所以l的方程为y－(－1)＝(x－2)， 即y＝x－2－1. y＝x－2－1 y＝－x＋ 又因为BC的中点坐标为， 所以△ABC的欧拉线方程为y－＝－，化成斜截式为y＝－x＋. 因为kBC＝＝3，所以k＝－， 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 需满足即 $