第一章 空间向量与立体几何 章末检测试卷(一)（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本高中数学单元复习课件系统梳理了空间向量与立体几何的核心知识，包括向量共线共面、空间角与距离计算、线面及面面位置关系证明等，通过建立空间直角坐标系将几何问题转化为向量运算，串联起基础概念与综合应用，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“基础题型-综合应用-复杂情境”的分层设计，如通过直三棱柱、四棱锥等模型培养空间观念和几何直观，利用向量运算发展推理能力与运算能力，解析过程规范引导数学表达。这有助于学生巩固知识，教师精准开展分层复习教学。

第一章 <<< 章末检测试卷(一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R， 即(1,3，λ)＝(2x，－x,3x)＋(－y,4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若向量a＝(x,4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为 ，则x等于 A.3 B.－3 C.－11 D.3或－11 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得x＝3或x＝－11(舍去). 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为CC1，BC的中点，则点B1到平面AEF的距离为 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知AB，AC，AA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B1(2,0,2)，E(0,2,1)，F(1,1,0)， 17 18 19 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 取y＝－1，则x＝1，z＝2，即n＝(1，－1,2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在 直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB＝BC＝2，AD＝3，PA＝2， 则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)， 17 18 19 设平面PCD的法向量为n＝(a，b，c)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨取c＝3，则a＝1，b＝2， 所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,2,3)， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，其中AA1⊥底面ABCD，底面扇环所对的圆心角为 ，扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2，AB＝1，AA1＝1，E是 的中点，则异面直线BE与C1D所成角的余弦 值为 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，O1B1，O1C1，OB，OC，在下底面内作OF⊥OD交 于点F， 以O为原点，分别以OD，OF，OO1所在直线 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图 所示. 因为扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2，AB＝1， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，点E是线段PD上的动点(不含端点)，若线段AB上存在点F(不含端点)，使得异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长度的取值范围是 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，取AD的中点G，建立如图所示的空间直角坐标系， 则G(0,0,0)，A(1,0,0)，D(－1，0,0)，B(1,2,0)，P(0,0,1)，设F(1，y,0)，0<y<2， 17 18 19 异面直线PA与EF成30°的角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 9.如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则下列计算结果正确的是 17 18 19 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.(4，－2,2) B.(－2,2,4) C.(－4,2，－2) D.(2，－2,4) 17 18 19 √ √ 故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，AS＝AB，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是 A.OM⊥PA B.存在点M，使得OM∥平面SBC C.存在点M，使得直线OM与AB所成的角为30° D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值 √ 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意可知AB，AD，AS两两垂直，以A为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝AD＝AS＝2， 17 18 19 所以OM⊥PA，A选项正确； 点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为2－t＋t＝2，为定值，D选项正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)， 17 18 19 又OM⊄平面SBC，要使OM∥平面SBC， 解得t＝1，所以存在点M，使得OM∥平面SBC，B选项正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若直线OM与AB所成的角为30°， 17 18 19 整理得3t2－9t＋7＝0，Δ＝81－4×3×7＝－3<0，无解，C选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵MG＝2GN， 17 18 19 又M，N分别是棱OA，BC的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60° 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线AD与BC所成的角为θ， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以直线AD与BC所成的角为60°. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a< )， 则线段MN最短为______. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，F(1,1,0)， C(0,0,1). 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题 15.已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求： (1)a，b，c； 17 18 19 解得x＝2，y＝－4， 则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1). 又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0， 解得z＝2，于是c＝(3，－2,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)a＋c与b＋c夹角的余弦值. 17 18 19 由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)， 设a＋c与b＋c的夹角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面 互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2， CD＝4，M为CE的中点. (1)求证：BM∥平面ADEF； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD. 17 18 19 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵M为EC的中点， ∴M(0,2,1)， 17 18 19 又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证：BC⊥平面BDE. 17 18 19 ∴BC⊥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接OO1， 根据题意，OO1⊥底面ABC，则以O为原点， 分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y， z轴建立空间直角坐标系. ∵AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1， OC1∩OB＝O， ∴平面AB1O1∥平面BC1O. ∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设n＝(x，y，z)为平面BC1O的法向量， ∴可取n＝(0,2，－1).点O1到平面BC1O的距离记为d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为CB＝BD,2∠BCD＝90°，故∠CBD＝90°，所以BC⊥BD. 又SD⊥BC，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD， 所以BC⊥平面SBD. 因为BC⊂平面SBC，所以平面SBD⊥平面SBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由(1)可得，平面ABCD⊥平面SBD， 所以SE⊥BD，故SE⊥平面ABCD. 如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)， B(0,2,0)，C(2,4,0)，S(1,1,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设n＝(x，y，z)为平面ABP的法向量， 不妨取n＝(2λ，0，λ－2). 因为平面SBD与平面ABP的夹角为60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BD＝ ，∠ABD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，折后的点A变为A1，且A1C＝2. (1)求证：平面A1BD⊥平面BCD； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形ABCD是平行四边形， 17 18 19 ∴A1B2＋BC2＝A1C2，∴A1B⊥BC， 又A1B⊥BD，BC∩BD＝B， 且BC，BD⊂平面BCD， ∴A1B⊥平面BCD，又A1B⊂平面A1BD， ∴平面A1BD⊥平面BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求异面直线BC与A1D所成角的余弦值； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过点B作BD的垂线为x轴，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 取平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)， 设DE与平面BCD所成的角为θ，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 或λ＝－1(舍去)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于 A. B. C. D. ＋＋－＝＋＝. 则有解得 因为a·b＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为， 所以＝，且x>－2， 4.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为 A. B.3 C. D. 由题意知||＝1，||＝1，||＝. 〈，〉＝45°，〈，〉＝45°，〈，〉 ＝60°， 所以||2＝2＝2＋2＋2－·＋·－·＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝. A. B.2 C. D.2 ＝(2,0,2)，＝(0,2,1)，＝(1,1,0)， 则 所以点B1到平面AEF的距离d＝＝＝. A. B. C. D. 从而＝(2,0，－2)，＝(2,2，－2)，＝(0,3，－2)， 则即 |cos〈，n〉|＝＝. A. B. C. D. 所以＝，得OB＝1，OA＝2， 则B， 即B，E， 即E(1，，1)，C1(1,0,1)，D(2,0,0)， 则＝，＝(1,0，－1)，||＝2，||＝， ·＝×1＋×0＋1×(－1)＝. 所以|cos〈，〉|＝＝＝， 故异面直线BE与C1D所成角的余弦值为. A. B. C. D. 设＝x＝x(1,0,1)＝(x,0，x)，0<x<1，故E(x－1,0，x)， ＝(2－x，y，－x)，＝(x－1,0，x－1). 又＝(1,0，－1)， 故|·|＝||·||cos 30°， 即2＝××， 即(x－1)2＝－y2,0＜y＜2， ∴(x－1)2∈， ∴||2＝2(x－1)2∈， ∴||∈. A.·＝ B.·＝ C.·＝－ D.·＝ 因为E，F分别是AB，AD的中点，所以·＝·＝||||cos〈，〉＝×cos 60°＝，A正确； ·＝·＝||2＝，B正确； ·＝·＝||||·cos〈·〉＝ ×cos 120°＝－，C正确； ·＝·(－)＝·－· ＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0，D错误. 10.已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3).若∥，且||＝，则点P的坐标为 设＝λ＝(3λ，－2λ，－λ). 又||＝， ∴＝，解得λ＝±1， ∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1). 设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)， ∴或解得或 则A(0,0,0)，S(0,0,2)，C(2,2,0)，P(1,1,1)，O(1,1,0)， ＝(1,1,1)， 设M(0，t,2－t)，0≤t≤2，则＝(－1，t－1,2－t)， 所以·＝－1＋t－1＋2－t＝0， B(2,0,0)，＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)， 则故可取n＝(1,0,1)， 则·n＝(－1，t－1,2－t)·(1,0,1)＝1－t＝0， 则cos 30°＝＝ ＝＝， 又＝(2,0,0)， 12.已知三棱锥O－ABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，点G在线段MN 上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，则＝___________.(用基底{a，b，c}表示) a＋b＋c ∴＝， ＝a，＝b，＝c， ∴＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋＝×＋×(＋) ＝＋＋＝a＋b＋c. 13.如图，圆锥的底面直径AB＝2，高OC＝，D为底面圆周上的一点，∠AOD＝120°，则直线AD与BC所成角的大小为________. 取的中点E，连接OE，以O为原点，，， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直 角坐标系，如图， 依题意，A(0，－1,0)，B(0,1,0)，C(0,0，)，D， 则＝，＝(0，－1，)， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，所以θ＝60°， 因为CM＝BN＝a(0<a<)，且四边形ABCD，  ABEF为正方形， 所以M，N， 所以＝. 所以||＝＝， 即MN的长为. 当a＝时，||min＝，即M，N分别为AC， BF的中点时，MN的长最小，最小值为. 因为a∥b，所以＝＝， 因为cos θ＝＝－. 所以a＋c与b＋c夹角的余弦值为－. 以D为原点，，，分别为x轴、y轴、 z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则＝(－2,0,1)，＝(－2,0,0)， ＝(0,0,2)， ∴＝＋，故，，共面. ＝(－2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2)， ∵·＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB. 又·＝0，∴BC⊥DE. 又DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BDE， ∵O(0,0,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)， ∴＝(，0,0)，＝(0,1,2)，＝(0,0,2)， 则即 则d＝＝＝. ∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为. 18.如图，在四棱锥S－ABCD中，∠DAB＝∠ADC＝2∠ABD＝2∠BCD＝90°，CB＝BD＝2，SB＝SD＝， SD⊥BC. (1)求证：平面SBD⊥平面SBC； (2)若点P在线段SC上，且＝λ，平面ABP与平面SBD的夹角为60°，求λ的值. 设E为BD的中点，连接SE，因为SB＝SD＝， 因为＝λ，所以P(2－λ，4－3λ，2λ)， 易得平面SBD的一个法向量为＝(2,2,0).  ＝(0,2,0)，＝(2－λ，4－3λ，2λ)， 由得 所以|cos〈，n〉|＝＝，且λ>0， 解得λ＝或λ＝－2(舍去). 故λ的值为. 在Rt△ABD中，AD＝＝. ∴BC＝AD＝，CD＝AB＝1，又A1C＝2， 则A1(0,0,1)，D(0，，0)，C(1，，0)，从而＝(1，，0)，＝(0，－，1)， |cos〈，〉|＝＝＝， ∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为. (3)若E为线段A1C上的一个动点，当线段EC的长为多少时，DE与 平面BCD所成角的正弦值为？ 解得λ＝， sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝， ＝(1,0,0)，＝(－1，－，1). 设＝λ，0≤λ≤1，则＝＋＝(1－λ，－λ，λ)， ∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值 为. ∴当线段EC的长为时，DE与平面BCD所成角的正弦值为. 解得λ＝， ∴＝，即CE＝. $