第一章 1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量共线与共面的充要条件，从平面向量共线复习切入，通过问题“空间内向量共线又是怎么回事呢”自然衔接，搭建平面到空间的知识支架，帮助学生构建向量知识体系。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合长方体等几何模型，通过逻辑推理推导充要条件，体现数学思维与空间观念。课堂小结梳理知识清单与方法，助力学生用数学语言表达规律，既培养学生推理能力，又为教师提供含例题、练习的完整教学方案，提升教学效率。

第2课时 第一章 <<< 共线向量与共面向量 1.理解向量共线、向量共面的定义. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件(重点). 3.会证明空间三点共线、四点共面(难点). 学习目标 我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下. 导 语 一、空间向量共线的充要条件 二、空间向量共面的充要条件 课时对点练 随堂演练 内容索引 空间向量共线的充要条件 一 提示　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量. 两个平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 问题1 1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得 ＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示. 方向向量 a＝λb 知识梳理 (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上. 注 意 点 <<< 8 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 例 1 9 令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1.故α＋β＝1是A，B，C三点共线的充要条件. 10 11 方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， 12 方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， 13 (1)判断两向量a，b(b≠0)是否共线，就是判断是否存在实数λ，使a＝λb成立. (2)证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立. 反 思 感 悟 14 　(1)满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是 跟踪训练 1 √ 15 16 17 ∵E，H分别是AB，AD的中点， 又点F不在直线EH上， ∴四边形EFGH是梯形. 18 二 空间向量共面的充要条件 提示　不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. 空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个 向量是否共面？ 问题2 提示　如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与向量a，b共面时，p＝xa＋yb. 对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb? 问题3 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段 所在的直线OA______ 或 ，那么称向量a平行于平面α. 2.共面向量 平行 定义 平行于同一个 的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 于平面α 在平面α内 唯一 平面 知识梳理 　(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 例 2 23 又∵AN∶NC＝2∶1， 24 又∵三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面. 25 26 ①充分性 ∴点P与A，B，C共面. 27 ②必要性 ∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C， 28 又∵点O在平面ABC外， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n， ∴x＋y＋z＝1. 29 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明. 向量共面的判定及应用 反 思 感 悟 30 A.－1 B.2 C.－2 D .－3 跟踪训练 2 ∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， ∴m＋2＋1＝1，∴m＝－2. √ 31 32 33 1.知识清单： (1)直线的方向向量. (2)空间向量共线的充要条件. (3)空间向量共面的充要条件. (4)三点共线、四点共面的证明方法. 2.方法归纳：转化化归、类比. 3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是 A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 √ 由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量. 1 2 3 4 2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 A选项中，3－1－1＝1，四点共面； ∴点M，A，B，C共面. √ √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 如图，连接A1C1，C1D， 则点E在A1C1上， 点F在C1D上， 易知EF∥A1D， 课时对点练 四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D ∴A，B，D三点共线. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.P∈直线AB B.P∉直线AB C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D.以上都不对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为m＋n＝1，所以m＝1－n， 所以P，A，B三点在同一直线上， 即P∈直线AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 由点M是棱CC1上靠近点C的三等分点， 由N为AM与平面BDA1的交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列命题中为真命题的有 A.若d1，d2都是直线l的方向向量，则必有d1＝d2 √ D.若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3 ＝0，则k1＝k2＝k3＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 向量d1，d2都是直线l的方向向量，可得向量d1，d2是共线向量，即d1∥d2，不一定有d1＝d2，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A，B，D三点共线， ∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2， ∵e1，e2不共线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知a＝3m－2n－4p(a≠0)，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＋y＝________. ∵a∥b且a≠0，∴b＝λa， 即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp， 又m，n，p不共面， －5 则x＝－13，y＝8，x＋y＝－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以E，F，B三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为M，N，P，Q均为所在棱的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为M，N，P，Q均为所在棱的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴2＋μ＝1，∴μ＝－1， 则λ＋m＋n＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 于是M，B，A1，D1四点共面，所以点M必在平面BA1D1内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A，B，C，D四点在平面α内， 且点P为平面α外的一点， 2 所以－1＋4－λ＝1，解得λ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则在平面ABC内存在一点D， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又三棱锥P－ABC的体积为15， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接BG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为G，B，P，D四点共面， 　(1)若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的 充分性：若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然，A，B，C三点共线； 必要性：若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ， (2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 又∵＝＋＋＋ ＝－＋－－， ② ①＋②得2＝， ∴∥，即与共线. ∴＝＋＋ ＝＋＋. ① ＝(－)＝(－)＝. ∴∥，即与共线. ∴＝－ ＝(＋)－(＋) A.＋＝ B.－＝ C.＝ D.||＝|| 若||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误. 对于空间中的任意向量，根据加法法则，都有＋＝，选项A错误； 若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，这与已知条件矛盾，选项B错误； 若＝，则A，B，C三点共线，选项C正确； (2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形. ＝(－)＝， ∴∥且||＝||≠||. ∴＝，＝， 则＝－＝－＝＝(－)＝ ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， ∴＝＝(b＋c)， ∴＝－＝(b＋c)－a ＝(b－a)＋＝＋， 设＝a，＝b，＝c， 则＝b－a， ∴，，为共面向量. (2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1. ∴－＝y(－)＋z(－)， ∴＝y＋z， ∵＝x＋y＋z 可变形为＝(1－y－z)＋y＋z， ∴＝(1－m－n)＋m＋n， ∵＝x＋y＋z， ∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n， －＝m(－)＋n(－)， ∴，，不共面， ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1). (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x ＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量， 用待定系数法求出参数. (1)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m＋＋，则m的值为 由＝－＝m＋＋， 得＝m＋2＋， (2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面. ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面. 因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ A.＝3－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 C选项中，＝－－， 3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为 A.1 B.0 C.3 D. ∵＝x＋＋， 且M，A，B，C四点共面， ∴x＋＋＝1，∴x＝. 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝_______. － ∴＝， 即－＝0，∴λ＝－. 且EF＝A1D， 1.已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是 ∵＝＋＝2a＋4b＝2， A.，， B.，， C.，， D.，， 由正方体的性质可得，＝，由图形(图略)易知，，共面. 3.若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则 所以＝(1－n)＋n， 即－＝n(－)， 即＝n， 所以与共线. 又，有公共起点A， 4.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为 A. B.－ C. D.－  ＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－. ∴－x－＝1，解得x＝. 5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，点N满足＝t，若N为AM与平面BDA1 的交点，则t等于 A. B. C. D. 所以t＝. 得＝＋＋＝＋＋， 即＝t＝t＋t＋， 则N，B，D，A1四点共面，则t＋t＋＝1， B.若∥，则A，B，C三点共线 C.若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b 因为∥，且，有公共点A，所以A，B，C三点共线，故B正确； 由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故C正确；易知D正确. 7.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________. 由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∴与共线，即存在λ∈R，使得＝λ. ∴∴k＝－8. ∴＝＝， 9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线. 设＝a，＝b，＝c. 因为＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c， 所以＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a ＝a－b－c， 所以＝，所以∥. 又与有公共点E， 令＝a，＝b，＝c. 所以＝－＝b－a， ＝＋＝a＋c， ＝＋＋＝－a＋b＋c. 设＝λ＋μ， 则－a＋b＋c＝λ＋μ＝(μ－λ)a＋λb＋μc， 所以解得 所以＝2＋， 所以向量，，共面. 又向量，，过同一点M， 所以M，N，P，Q四点共面. 11.已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①＝2＋μ；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么使①②成立的μ与λ＋m＋n的值分别为 A.1，－1 B.－1,0 C.0,1 D.0,0 ∵A，B，C三点共线，＝2＋μ， 又由λ＋m＋n＝0， 得＝－－， 由A，B，C三点共线知，－－＝1， 12.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中任意三点不共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于 A. B. C. D. 由点A，B，C，D四点共面得x＋y＝， ① 又由点B，C，D，E四点共面得2x＋y＝， ② 联立①②，解得x＝，y＝， 所以x＋3y＝. 13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么点M必 ＝＋7＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋6(－)－4(－) ＝11－6－4，又11－6－4＝1， 14.已知A，B，C，D四点在平面α内，且任意三点都不共线，点P为平面α外的一点，满足＋－4＋λ＝0，则λ＝________. 则＋－4＋λ＝0， 即＝－＋4－λ， 15.已知三棱锥P－ABC的体积为15，M是空间中一点，＝－＋ ＋，则三棱锥A－MBC的体积是______. 因为＝－＋＋， 则15＝－＋3＋4， 即15＝－－＋3＋3＋4＋4， 即9＝－＋3＋4， 所以＝－＋＋， 因为－＋＋＝1， 使得＝－＋＋成立， 即＝，所以＝， 即＝，则＝， 则VA－MBC＝VP－ABC＝×15＝9. 16.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值. 因为＝－，＝， 所以＝－. 因为＝＋， 所以＝＋－＝－＋＋. 因为＝，所以＝， 所以＝(－＋＋)＝－＋＋. 又因为＝－， 所以＝－＋＋. 因为＝m， 所以＝m＝－＋＋. 因为＝－＋＝－＋， 所以＝＋＋. 所以1－＝0，m＝，即m的值是. $