第一章 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量概念及线性运算，通过滑翔伞受力情境导入，引导学生从平面向量类比推广，以问题链衔接知识，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点是结合长方体等几何体实例，用表格梳理特殊向量、图形辅助运算理解，培养数学眼光（空间观念）和思维（推理）。课堂小结系统归纳方法，助力学生掌握抽象概念，教师可高效开展教学。

第1课时 第一章 <<< 空间向量及其线性运算 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算(重点). 学习目标 你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？ 导 语 一、空间向量的有关概念 二、空间向量的加减运算 课时对点练 三、空间向量的数乘运算 随堂演练 内容索引 空间向量的有关概念 一 提示　平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致. 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 问题1 1.在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 或 . 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的 表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作 ，其模记为|a|或| |. 大小 方向 长度 模 长度 知识梳理 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做 ，记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a 零向量 模为1 相等 相反 知识梳理 名称 定义及表示 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线__________ ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有0 a 相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量.在空间，_____ 且 的有向线段表示同一向量或相等向量 互相平行 或重合 平行 ∥ 相同 相等 同向 等长 知识梳理 (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3)空间向量不能比较大小. (4)已知非零向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c. 注 意 点 <<< 10 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.单位向量都相等 B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反   D.相等向量其方向必相同 A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小. 例 1 √ 11 (2)(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c √ √ 12 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行. 13 空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 反 思 感 悟 14 　(多选)下列说法错误的是 A.任意两个空间向量的模能比较大小 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 跟踪训练 1 √ √ √ 15 对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小； 对于选项B，其终点构成一个球面； 对于选项C，用有向线段可以表示空间向量，但不是空间向量； 对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等. 16 二 空间向量的加减运算 提示　共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致. 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 问题2 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接， 为和 图形叙述   平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，_______ 为和 图形叙述   空间向量的加法、减法运算 首指向尾 共起点 对角线 知识梳理 19 减法运算 几何意义 语言叙述 共起点，连终点，方向指向 向量 图形叙述   加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝__________ 被减 a＋(b＋c) 知识梳理 20 (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 注 意 点 <<< (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 21 (4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 注 意 点 <<< 22 例 2 √ √ 23 24 √ 25 26 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 反 思 感 悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧 27 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. 跟踪训练 2 28 如图，连接GF，因为E，F，G分别是BC，CD，DB的 中点， 29 空间向量的数乘运算 三 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向_____ λa的长度是a的长度的 倍 λ<0 λa与向量a的方向_____ λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝_______ 分配律 (λ＋μ)a＝________，λ(a＋b)＝_______ 空间向量的数乘运算及运算律 相同 |λ| 相反 (λμ)a λa＋μa λa＋λb 知识梳理 31 (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 注 意 点 <<< 32 　(1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是 A.m(a－b)＝ma－mb B.(m－n)a＝ma－na C.若ma＝mb，则a＝b D.若ma＝na，则m＝n 例 3 √ √ m(a－b)＝ma－mb，A对； (m－n)a＝ma－na，B对； 若m＝0，则a，b不一定相等，C错； 若a＝0，则m，n不一定相等，D错. 33 ∵P是C1D1的中点， 34 ∵N是BC的中点， 35 ∵M是AA1的中点， 36 延伸探究 因为P，N分别是C1D1，BC的中点， 反 思 感 悟 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 利用数乘运算进行向量表示的技巧 　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中， M是棱BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出 化简得到的向量. 跟踪训练 3 40 ∵M是BB1的中点， 41 42 1.知识清单： (1)向量的相关概念. (2)向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)向量的线性运算的运算律. 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想. 3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列命题中，真命题是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 √ √ √ 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. 1 2 3 4 √ A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 1 2 3 4 √ ∴四边形ABCD为平行四边形. 1 2 3 4 课时对点练 五 1.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是 A.a＝b B.a＋b为实数0 C.a与b方向相同 D.|a|＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反. 2.下列说法中正确的是 A.空间中共线的向量必在同一条直线上 C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.a＋b－c B.a－b＋c C.b－a－c D.b－a＋c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列选项中正确的有 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C显然正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 相等 相反 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵M是AA1的中点， 9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4， AD＝2，AA1＝1.则在以八个顶点中的两点分别 为起点和终点的向量中. (1)单位向量共有多少个？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的有 综合运用 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为BM＝2MC′， 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，因为O为AC1与A1C的交点， 所以O为AC1的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C.若向量，满足||>||，则>  ＝ B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝； 即＋＋＋…＋An－1An＝. 即＋＋＋…＋＝0. 　(1)(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是 A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ D中，－＋＝＋＋＝＋≠. A中，－－＝－＝； B中，＋－＝＋＝； C中，－－＝－＝－＝≠； (2)对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是 A.＋＝ B.－＝ C.||＋||＝|| D.||－||＝|| 根据空间向量的加减法运算，对于A，＋＝恒成立； 对于C，当，方向相同时， 有||＋||＝||； 对于D，当，方向相同且||≥||时， 有||－||＝||； 对于B，由向量减法可知－＝，又为非零向量，所以B一定不成立. (1)＋－； ＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量. (2)－－. 所以＝，＝， 所以－－＝＋＋＝＋＋＝， 如图中向量. ∴＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋b＋c. (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①； ∴＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. ②； ∴＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. ③. 1.本例(2)的条件不变，试用a，b，c表示向量. 所以＝＋＋＝＋(－)＋＝－a＋b－c. 2.若把本例(2)中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？  ＝＋＝＋＋＝a＋c＋b. (1)＋； ＋＝. ∴＋＋＝＋＝. (2)＋＋； ∴＝，又＝， (3)－－－. －－－＝(＋)－(＋)＝－＝. 2.化简－＋所得的结果是 A. B. C.0 D. －＋＝＋＝－＝0. 3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是 ∵＋＝＋， ∴＝. ∴∥且||＝||. 由图可知，因为＝－ ＝－(＋) ＝－－， 所以x＝y＝－. － － 4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若＝＋x＋y，则x＝______，y＝______. B.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 D.在四边形ABCD中，一定有＋＝ 对于B，＝的充要条件是||＝||，且，同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误； 对于D，满足＋＝的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误. 3.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于 A. B.3 C.3 D.2 －＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3. 4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a， ＝b，＝c，则等于 ＝－＝－－， ∵＝＝c， ∴＝b－a－c. 5.在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且＝，记＝x＋y＋z，则 (x，y，z)等于 A. B. C. D. 连接OE，OF(图略)，因为＝，E，F分别是 AB，BC的中点，所以＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋＝×(＋) ＋×(＋)＝＋＋，故(x，y，z)＝. A.－＝ B.＝＋＋ C.＝ D.＋＋＋＝ 作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′的图象如图，可得－＝＋＝，故A正确； ＋＋＝＋＋＝，故B正确； ＋＋＋＝＋＝，故D不正确. 7.如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，与是________向量，与是________向量.(用“相等”或“相反”填空) 由相等向量与相反向量的定义知，与是相等向量，与是相反向量. 8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝____________. －a－b＋c ∵＝＋＋＝－－＋， ∴＝， ∴＝－－＋， ∵＝a，＝b，＝c， ∴＝－a－b＋c. 由题意知，AA1＝1，所以向量，，，，，，，，共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. 易知A1D＝＝，所以模为的向量有，，，，，，，. (2)写出模为的所有向量； 根据相反向量的定义，可得向量的所有相反向量为，，，. (3)试写出的所有相反向量. 10.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值. ∵＝＋＋＝－＋－－ ＝－＋＝－＋(＋) ＝－＋(＋)＝－＋＋(－) ＝＋－， 又＝＋x＋y， ∴x＝，y＝－. A.＋与＋是一对相等向量 B.－与－是一对相等向量 C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 D.－与－是一对相反向量 如图所示，＝－，＝－，所以＋ ＝－(＋)，是一对相反向量，A错误； －＝，－＝，而＝，故是一对相等向量，B正确； 又＝－，＝－，所以＋＋＋＝－(＋＋＋)，是一对相反向量，C正确； －＝，－＝＝－，所以是一对相反向量，D正确. 12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则等于 A.－＋＋ B.－＋＋ C.＋＋ D.－＋ 所以＝， ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝(－)＋(＋)＝＋＋. 13.如图，在三棱锥S－ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足＝，若＝a，＝b，＝c，则＝____________.(用a，b，c表示) a－b＋c ＝＋＝＋ ＝(－)＋(－) ＝(－)＋× ＝－＋ ＝a－b＋c. 所以＝2， 14.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且(＋＋)＝λ，则λ＝______. 则(＋＋)＝＝， 故λ＝. 15.(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，设＝a，＝b，＝c，则下列选项正确的为 A.＝(a＋b＋c) B.＝(a＋2b＋c) C.＝a＋b＋c D.＝a＋b＋c 因为P是CA1的中点，所以＝(＋) ＝(＋＋)＝(a＋b＋c)，故A正确， B错误； 因为点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c，故C错误，D正确. 16.在平面四边形ABCD中，E，F分，所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋. 在空间四边形ABCD中，E， F分，所成的比为λ， 即＝＝λ，则有＝ ＋.证明如下： ＝＋＋＝＋＋ ＝(＋)＋＋(＋) ＝＋＋＋＋ ＝＋. (2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用(1)的结论表示. 由(1)的结论可得＝＋＝＋. $