第3章 圆锥曲线与方程 章末检测试卷(三)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

章末检测试卷(三)

[时间：120分钟　满分：150分]

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋y2＝1

C.＋＝1   D．x2＋＝1

答案　A

解析　依题意，得a＝2，a＋c＝3，

故c＝1，b＝＝，

故所求椭圆的标准方程是＋＝1.

2．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是(　　)

A．y＝±x   B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

答案　D

解析　∵y2＝8x的焦点是(2,0)，

∴双曲线 －y2＝1的半焦距c＝2，

又虚半轴长b＝1且a>0，

∴a＝＝，

∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.

3．(2023·新高考全国Ⅰ)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　由e2＝e1，得e＝3e，

因此＝3×，而a>1，

所以a＝.

4.如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值为(　　)

A.  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　∵△POF2是面积为的正三角形，

∴c2＝，解得c＝2.

∴P(1，)，代入椭圆方程可得＋＝1，与a2＝b2＋4联立解得b2＝2.

5．从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　　)

A.  B.  C.  D．2

答案　C

解析　设P(x0，y0)，

依题意可知抛物线准线为x＝－1，

所以x0＝4－1＝3，所以y0＝2，

所以P(3,2)，F(1,0)，

所以直线PF的斜率k＝＝.

6．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)   B．(0,1)∪(1，＋∞)

C．[1,5)∪(5，＋∞)   D．(0,1)∪(1,5)

答案　C

解析　直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意得，该点落在椭圆内或椭圆上，

∴＋≤1，

解得m≥1，又m≠5，

∴m的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．

7.如图，已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　因为PF⊥x轴，所以P，

又OP∥AB，所以＝，即b＝c，

于是b2＝c2，即a2＝2c2，所以e＝＝.

8.如图所示，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为(　　)

A．2  B.  C.  D.

答案　C

解析　∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，

不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，

∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，

又由双曲线的定义得|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，