第3章 培优课 与弦有关的综合问题（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

培优课　与弦有关的综合问题

[学习目标]　1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系.2.会求解与弦长有关的问题．

一、由弦长求参数的值

例1　已知直线l：y＝kx＋1与椭圆C：＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程．

解　由题意可得k≠0，设直线l与椭圆C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.

Δ＝16k2>0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝0.

|MN|＝·＝，

整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1，或k2＝－2(舍去)．经检验k＝±1符合题意，

∴直线l的方程为y＝±x＋1，

即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.

反思感悟　已知弦长求参数值，关键是利用弦长公式，得到关于参数的方程，注意求得结果要验证是否满足判别式大于0，否则需舍去．

跟踪训练1　椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆的方程．

解　∵e＝，∴b2＝a2.

∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2，

与x＋2y＋8＝0联立消去y，

得2x2＋16x＋64－a2＝0，

由Δ>0得a2>32，

由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]．

∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆的方程为＋＝1.

二、与弦长有关的最值问题

例2　在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2,1)在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．

解　(1)由题意得∴

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，

联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0，

∴

∴|AB|＝|x1－x2|＝，

原点到直线的距离d＝.

∴S△OAB＝×·

＝≤·＝.

当且仅当m＝±时，等号成立，

∴△AOB面积的最大值为.

反思感悟　求与椭圆有关的最值、范围问题的方法

(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．

(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．

(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．

跟踪训练2　已知A(－2,0)，B在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，F1，F2分别为C的左、右焦点．

(1)求a，b的值及椭圆C的离心率；

(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形PF1QF2的面积的取值范围．

解　(1)因为A(－2,0)，B在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，所以

解得

所以c＝＝1，椭圆C的离心率为＝.

(2)由(1)得椭圆C：＋＝1，c＝1，

故|F1F2|＝2，

因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，

所以四边形PF1QF2的面积S＝·|F1F2|·(|yP|＋|yQ|)＝|yP|＋|yQ|∈(0,2b]，又b＝，所以S∈(0,2]，

当且仅当P，Q分别为椭圆的上顶点和下顶点时，四边形PF1QF2的面积取得最大值，即四边形PF1QF2的面积的取值范围是(0,2]．

三、中点弦问题

例3　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，则直线AB的方程为____________________．

答案　x＋2y－4＝0

解析　方法一　易知直线AB的斜率k存在，

设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，

由