第3章 再练一课(范围：§3.1)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

再练一课(范围：§3.1) [分值：100分] 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1或＋x2＝1 答案　D 解析　由题可知b2＝a2－c2＝1，当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋x2＝1. 2．已知椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C的上顶点，若∠F1PF2＝，则b等于(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　C 解析　根据椭圆的图象性质可得，因为∠F1PF2＝，所以＝cos＝， 所以b2＝9，又b>0，所以b＝3. 3．直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断 答案　B 解析　由题知，直线恒过定点，将点代入＋可得＋<1，故在椭圆内，直线与椭圆相交． 4．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，当△F1PF2的面积为1时，·等于(　　) A．0 B．1 C．2 D. 答案　A 解析　设P(x0，y0)， 则依题意有＝·|F1F2|·|y0|＝1， 而F1(－，0)，F2(，0)，|F1F2|＝2， 所以y0＝±， 故得x0＝±， 由椭圆的对称性，取P，可得·＝0. 5．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意得＝，所以c＝2b， 所以a＝＝b， 所以e＝＝＝. 6．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a，0)，B(0，b)，且左焦点为F，△ABF是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可知△ABF为直角三角形，其中|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由勾股定理，得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2，即(a＋c)2＝a2＋b2＋a2＝2a2＋a2－c2，整理得c2＋ac－a2＝0，两边同除以a2得e2＋e－1＝0， ∴e＝. ∵e∈(0,1)，∴e＝. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值可能为(　　) A．－21 B．21 C．－ D. 答案　BC 解析　当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝9， b2＝4＋k，得c2＝5－k. 由＝＝，得k＝－； 当焦点在y轴上时，a2＝4＋k，b2＝9， 得c2＝k－5. 由＝＝，得k＝21. 8．已知椭圆C：＋＝1(3>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|＝|OA|，△OF1A的面积为2，则|AF1|的值可以为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　BD 解析　设AF1的中点为N，连接ON，如图，因为|OF1|＝|OA|， 所以ON⊥AF1，记|AF1|＝m，|AF2|＝n， 因为O点为F1F2的中点，所以ON为△F1AF2的中位线， 所以|ON|＝|AF2|＝n， 又因为|AF1|＋|AF2|＝2a＝6， 则有得 解得或所以|AF1|＝2或4. 9．设椭圆的方程为＋＝1，其中椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，与x轴相交的左、右顶点分别为A，B，P为椭圆上(除点A，B外)的任意一点，下列结论正确的是(　　) A．存在点P，使得∠F1PF2＝90° B．线段PF1长度的取值范围为(2,8) C．|PF1|·|PF2|的最大值为25 D．直线PA与直线PB的斜率之积恒为 答案　BC 解析　由＋＝1， 得A(－5,0)，B(5,0)，F1(－3,0)，F2(3,0)， 设P(x0，y0)，有y＝16， 对于A，假设存在点P，使得∠F1PF2＝90°， 即·＝0， 于是(x0＋3)(x0－3)＋y＝x－9＋16－x＝x＋7＝0，显然无解，A错误； 对于B，|PF1|＝ ＝＝5＋x0， 而－5<x0<5，因此2<|PF1|<8，B正确； 对于C，|PF1|＋|PF2|＝10， |PF1|·|PF2|≤2＝52＝25， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时取等号， 因此|PF1|·|PF2|的最大值为25，C正确； 对于D，直线PA，PB的斜率之积为 kPA·kPB＝·＝ ＝＝－，D错误． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P在C上，则△PF1F2的周长为________． 答案　10 解析　由椭圆C的方程知a＝3，c＝＝2，P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝2×3＋2×2＝10. 11．若直线y＝x＋1和椭圆＋＝1交于A，B两点，则线段AB的长为________． 答案　 解析　由消y得3x2＋4x－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2＝－，x1＋x2＝－， 所以|AB|＝·＝. 12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆内部，则椭圆C的离心率的取值范围是________． 答案　 解析　由题意可知，a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1，因为点P(，1)在椭圆内部，所以＋<1，可得b2>2，又b2<a2＝4，所以2<b2<4，所以e2＝1－＝1－∈，又0<e<1，所以椭圆C的离心率的取值范围是. 四、解答题(共37分) 13．(12分)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过P(－3,0)，Q(0，－2)两点；(6分) (2)长轴长等于20，离心率等于.(6分) 解　(1)设椭圆的方程为＋＝1，因为椭圆经过点P，Q(0，－2)， 所以 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)依题意得所以 由b2＝a2－c2＝64，得b＝8， 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 14．(12分)已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程；(6分) (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．(6分) 解　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)， 设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，设P(x0，y0)， 则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1， 解得y0＝±. 又＋y＝1，所以x＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. 15．(13分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的顶点到直线l1：y＝x的距离分别为和. (1)求椭圆C的标准方程；(5分) (2)设平行于l1的直线l交C于A，B两点，且|＋|＝||，求直线l的方程．(8分) 解　(1)由直线l1：y＝x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为，短轴端点到直线l1的距离为，所以＝，＝，解得a＝2，b＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)设直线l：y＝x＋t(t≠0)， 联立整理得5x2＋8tx＋4t2－4＝0， 则由Δ＝64t2－16×5(t2－1)>0， 得－<t<且t≠0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 故y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝(x1＋x2)t＋x1x2＋t2＝，因为|＋|＝||，所以OA⊥OB， 即·＝x1x2＋y1y2＝＋＝0， 解得t＝±，满足－<t<且t≠0， 所以直线l的方程为y＝x＋或 y＝x－. 学科网（北京）股份有限公司 $