第3章 3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质核心知识点，通过类比椭圆性质引入，系统探究范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质，结合表格梳理焦点在x轴与y轴的差异，辅以例题与跟踪训练，构建“类比-探究-梳理-应用”的完整学习支架。 资料以问题驱动探究，通过类比椭圆性质培养数学思维，用表格对比不同焦点位置性质发展数学语言表达，例题涵盖方程与性质互化、离心率计算等，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升推理能力与应用意识。

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 [学习目标]　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 导语 在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质． 一、双曲线的几何性质 问题　类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a>0，b>0)的几何性质． 提示　1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2．对称性 －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的顶点． 顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个． (2)如图，线段A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长为2a，a叫作双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫作双曲线的虚半轴长． (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线． 方程为x2－y2＝m(m≠0)． 4．渐近线 双曲线在第一象限内的部分的方程为y＝·， 它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方． 它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近． (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图． 5．离心率 (1)定义：e＝. (2)e的范围：e>1. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 知识梳理 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 注意点： (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“开口”大小，e越大，开口越大． (2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (4)焦点到渐近线的距离为b. (5)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线．为了便于研究，方程一般写为x2－y2＝m(m≠0)． 例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1， 即－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而得出双曲线的几何性质． 跟踪训练1　求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解　把方程25y2－16x2＝400化为标准方程为 －＝1. 由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5； c＝＝＝， 焦点坐标是(0，－)，(0，)； 离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x. 二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． 解　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． ∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝， ∴＝. 由题意得解得 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)方法一　当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由双曲线的渐近线方程为y＝±x， 得＝.① ∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.② ①②联立，无解． 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由双曲线的渐近线方程为y＝±x， 得＝.③ ∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 反思感悟　由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ②渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程可设为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)过点(2,0)，与双曲线－＝1的离心率相等． 解　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由题意知2b＝8，e＝＝， 从而b＝4，c＝a， 代入c2＝a2＋b2，得a2＝9， 故双曲线的标准方程为－＝1. (2)当所求双曲线的焦点在x轴上时， 可设其方程为－＝λ(λ>0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝， 故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 可设其方程为－＝λ(λ>0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 三、求双曲线的离心率 例3　已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0， 可得圆心为C(0,5)，半径r＝2， 则圆心到渐近线的距离为d＝＝＝2，可得e＝＝. 反思感悟　求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝求解． (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 跟踪训练3　已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 解　设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°， 知|PF1|＝|F1F2|，所以＝2c，所以b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0， 解得e＝1＋或e＝1－(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋. 1．知识清单： (1)双曲线的几何性质． (2)利用双曲线的几何性质求标准方程． (3)求双曲线的离心率． 2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程(组)法． 3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错． 1．双曲线－＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 2．双曲线－＝1的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由双曲线的方程，知a＝4，b＝3， ∴c＝＝5，e＝＝. 3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4 答案　A 解析　令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，即等轴双曲线的方程是x2－y2＝8. 4．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________． 答案　y＝±x 解析　∵＝，∴＝＝， ∴＝，∴＝，∴＝. 又∵双曲线的焦点在y轴上， ∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.　　 　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知a2＋5＝9， 解得a＝2，e＝＝. 2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(0,2)，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－x2＝1 D．y2－＝1 答案　C 解析　因为双曲线一个焦点的坐标为F(0,2)，所以c＝2. 由一条渐近线的斜率为，得＝， 而c2＝a2＋b2， 因此有解得 故该双曲线的方程为－x2＝1. 3．若双曲线mx2－y2＝1的一条渐近线为x－3y＝0，则实数m的值为(　　) A．3 B. C．9 D. 答案　D 解析　双曲线mx2－y2＝1的渐近线为y＝±x， 又双曲线mx2－y2＝1的一条渐近线为x－3y＝0，所以＝，解得m＝. 4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　) A. B．2 C. D．2 答案　D 解析　方法一　由离心率e＝＝，得c＝a， 又b2＝c2－a2，得b＝a， 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2. 方法二　离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x， 由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2. 5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为(　　) A．2 B. C. D．5 答案　B 解析　e＝＝＝. 6．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　) A．C的方程为－＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 答案　AD 解析　 由双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确； |PF|的最小值为c－a＝2，D正确． 7．(5分)已知双曲线C：－＝1(m>0)的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是__________________． 答案　(4，＋∞) 解析　∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔， ∴双曲线C：－＝1的离心率e>，则e2>2， 即>2，∴m>4. 8．(5分)若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________________． 答案　－＝1 解析　椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1， a2＝64，c2＝64－16＝48， 则焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝， 从而a′＝6，b′2＝12， 故所求双曲线的方程为－＝1. 9．(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(5分) (2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.(5分) 解　(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6， 于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ>0时，＝9，λ＝36， 则双曲线的标准方程为－＝1； 当λ<0时，＝9，λ＝－81， 则双曲线的标准方程为－＝1. 故所求双曲线的标准方程为 －＝1或－＝1. 10．(12分)已知双曲线E：－＝1. (1)若m＝5，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(6分) (2)若双曲线E的离心率e∈(，3)，求实数m的取值范围．(6分) 解　(1)由已知可得，双曲线E的方程为－＝1，所以双曲线的焦点在x轴上，且a2＝4，b2＝5，c2＝a2＋b2＝9，所以a＝2，b＝，c＝3， 所以双曲线E的焦点坐标为(－3,0)，(3,0)， 顶点坐标为(－2,0)，(2,0)， 渐近线方程为y＝±x＝±x. (2)由已知可得a2＝4，b2＝m>0，c2＝a2＋b2＝m＋4，所以a＝2，b＝，c＝， e＝＝， 因为e∈(，3)， 所以<<3，即2<<6， 整理可得，24<m＋4<36，解得20<m<32. 11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点P(1,2)，F1，F2是C的左、右焦点，且F1到一条渐近线的距离为2，若双曲线上一点M满足|MF1|＝5，则|MF2|等于(　　) A．7 B．3或7 C．5 D．3 答案　A 解析　F1(－c，0)，取一条渐近线bx－ay＝0， 所以F1到这条渐近线的距离d＝＝b，所以b＝2， 又因为渐近线过点P(1,2)，所以＝2， 所以a＝1，所以c＝＝5， 若M在左支上，|MF1|＝5>c－a＝4，符合要求，所以|MF2|＝2a＋|MF1|＝7， 若M在右支上，|MF1|＝5<c＋a＝6，不符合要求． 12．已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为(　　) A．4 B．5 C. D．与点P的位置有关 答案　C 解析　设点P(x0，y0)，则有－x＝1， 所以y－4x＝4. 易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0， 所以|PA|·|PB|＝·＝＝. 13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，如图， 则PF1⊥TF2，|TF2|＝c， 在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60°， 则|PF1|＝2c， 则由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝2c－2a，所以2c＝2c－2a，解得e＝＝. 14．(5分)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为______. 答案　32 解析　根据题意，双曲线C：－＝1的左焦点F(－，0)， 所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点．虚轴长为6，所以|PQ|＝12.双曲线图象如图． |PF|－|AP|＝2a＝4，① |QF|－|QA|＝2a＝4，② ①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8， 所以△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32. 15．(5分)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0)．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________． 答案　－1　2 解析　椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况． 记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，如图． 由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为， 所以椭圆半焦距为2,2a＝|PQ|＋|PF|＝2＋2，a＝＋1，椭圆M的离心率为＝－1. 双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan 60°＝， e2＝＝1＋＝4， 所以双曲线N的离心率为2. 16．(12分)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围． 解　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|， 所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|， 即|PF2|＝2a时取等号， 所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a， 因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c，|PF1|＋|PF2|＝6a≥2c，则e＝≤3，所以e∈(1,3]． 学科网（北京）股份有限公司 $