第2章 平面解析几何初步 章末复习课（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

一、两直线的平行与垂直

1．判断两直线平行、垂直的方法

(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2.

(2)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2.

(讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)

2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理能力和素养．

例1　(1)已知A，B，C(2－2a，1)，D(－a，0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________.

答案　3

解析　kAB＝＝－，

当2－2a＝－a，即a＝2时，

kAB＝－，CD的斜率不存在．∴AB和CD不平行；

当a≠2时，kCD＝＝.

由kAB＝kCD，得－＝，

即a2－2a－3＝0.∴a＝3或a＝－1.

当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，

∴AB与CD平行；

当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，

kCD＝＝，

∴AB与CD重合．

∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行．

(2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是______．

答案　垂直

解析　将点A(4，－1)代入ax－y＋1＝0，

得a＝－，则＝－×2＝－1，∴l1⊥l2.

反思感悟　一般式方程下两直线的平行与垂直

已知两直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

跟踪训练1　(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值

为________．

答案　－3

(2)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　C

解析　若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，

解得m＝1或m＝－3，

而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，

则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件．

二、两直线的交点与距离问题

1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．

2．两直线的交点与距离问题的学习，可以培养学生的数学运算的核心素养．

例2　(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　)

A．－1   B．5

C．－1或5   D．－3或3

答案　C

解析　∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，

∴＝，即|a－2|＝3，

解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5.

(2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

解　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，

则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，

代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，

解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，

所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.