第2章 平面解析几何初步 章末复习课（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学单元复习讲义以“两直线位置关系-交点与距离-直线与圆-圆与圆”为主线，通过知识框架图系统梳理平行垂直判定、距离公式、位置关系判断等核心内容，用思维导图呈现斜率讨论、几何法代数法等重难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如例1分类讨论斜率求参数，综合题如例3用几何法求最短弦长，培养逻辑推理与数学运算素养。“反思感悟”总结通法技巧，如一般式方程平行垂直条件，助力不同层次学生掌握，支持自主复习与教师精准教学。

一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2. (2)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理能力和素养． 例1　(1)已知A，B，C(2－2a，1)，D(－a，0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________. 答案　3 解析　kAB＝＝－， 当2－2a＝－a，即a＝2时， kAB＝－，CD的斜率不存在．∴AB和CD不平行； 当a≠2时，kCD＝＝. 由kAB＝kCD，得－＝， 即a2－2a－3＝0.∴a＝3或a＝－1. 当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB， ∴AB与CD平行； 当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝， kCD＝＝， ∴AB与CD重合． ∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行． (2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是______． 答案　垂直 解析　将点A(4，－1)代入ax－y＋1＝0， 得a＝－，则＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. 反思感悟　一般式方程下两直线的平行与垂直 已知两直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 跟踪训练1　(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________． 答案　－3 (2)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　C 解析　若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)， 解得m＝1或m＝－3， 而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去， 则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件． 二、两直线的交点与距离问题 1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题的学习，可以培养学生的数学运算的核心素养． 例2　(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　) A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3 答案　C 解析　∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是， ∴＝，即|a－2|＝3， 解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5. (2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 解　设l1与l的交点为A(a，8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 反思感悟　三种距离的计算公式 跟踪训练2　(1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　) A．2 B. C．2 D. 答案　D 解析　根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，ab＝－2， ∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3， 由题意得，两条直线平行， 故两条直线之间的距离d＝＝＝. (2)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　方法一　由得 即直线l过点(1,2)．设点Q(1,2)，因为|PQ|＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条． 方法二　依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，所以直线l有2条． 三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 例3　已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)当m∈R时，证明直线l与圆C总相交； (2)m取何值时，直线l被圆C截得的弦长最短？并求此弦长． (1)证明　直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)， 由点斜式可知，直线恒过点P(4，－3)． 由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交． (2)解　圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25. 如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短． 此时PC⊥l，又kPC＝＝3， 所以直线l的斜率为－， 则2m＝－，所以m＝－. 在Rt△APC中，|PC|＝＝，|AC|＝r＝5. 所以|AB|＝2＝2. 故当m＝－时，直线l被圆C截得的弦长最短，最短弦长为2. 反思感悟　涉及直线与圆的有关题型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得． (2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 跟踪训练3　已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2,2)和原点O. (1)求圆C的方程； (2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1,0)，若l1，l2被圆C所截得的弦长相等，求此时直线l1的方程． 解　(1)由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a，－a－2)． 由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2， 解得a＝－2. 因为圆心C(－2,0)，半径r＝2， 所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4. (2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0， 设l1的斜率为k，则l2的斜率为－， 所以直线l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0， 直线l2：y＝－(x＋1)，即x＋ky＋1＝0. 由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等， 所以＝，解得k＝±1， 所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 四、圆与圆的位置关系 1．圆与圆位置关系的判断方法：一般利用圆心距与两半径和与差的绝对值的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 例4　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0. (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程． 解　(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13. 圆心与半径分别为C1(－2,2)，r1＝； C2(4，－2)，r2＝. 因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2， 所以圆C1与圆C2相切． 由得12x－8y－12＝0， 即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0. 点(2,3)在此圆上，将点的坐标代入方程解得λ＝. 所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0. 反思感悟　两圆的公共弦问题 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 跟踪训练4　(1)已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________． 答案　x＋y－3＝0 解析　AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2.又C1(3,0)，C2(0,3)，所以C1C2所在直线的方程为x＋y－3＝0. (2)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0. ①求证：两圆相交； ②求两圆公共弦所在直线的方程． ①证明　圆C1的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆C2的方程可化为x2＋(y－1)2＝5， ∴C1(2，－1)，C2(0,1)，两圆的半径均为， ∵|C1C2|＝＝2<2， ∴两圆相交． ②解　将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，即x－y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $