第2章 2.3.2 两条直线的交点坐标（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦两条直线的交点坐标这一核心知识点，衔接平面几何对直线的定性研究，通过解方程组求交点坐标，依据解的个数判定相交、平行或重合的位置关系，还涵盖直线系过定点问题，构建完整知识支架。 以问题导入引导学生用数学眼光观察交点与方程解的联系，通过例题推理培养数学思维，规范解题步骤训练数学语言。课中例题解析助教师高效授课，课后练习题和知识清单帮学生回顾强化，弥补知识盲点，提升应用能力。

2.3.2　两条直线的交点坐标 [学习目标]　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 导语 在平面几何中，我们对直线作了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一个点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等． 一、判断两直线位置关系的方法 问题1　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示　直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上．满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0. 即交点坐标是方程组的解． 知识梳理 1．两直线的交点 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和直线l2的交点． 2．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解的情况 一组解 无解 无数组解 直线l1，l2的公共点个数 一个 零个 无数个 直线l1，l2的位置关系 相交 平行 重合 例1　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解　(1)解方程组得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)解方程组 ①×2得4x－12y＋8＝0. ①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，此时方程组有无数组解，l1与l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 反思感悟　(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． 跟踪训练1　分别判断下列直线l1与l2是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0. 解　(1)解方程组 得 所以l1与l2相交，交点坐标是. (2)解方程组 ①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解， 所以l1与l2无公共点，l1∥l2. (3)解方程组 ①×2得6x＋8y－10＝0. ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，此时方程组有无数组解，l1与l2重合． 二、两直线的交点问题 例2　求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 解　由方程组解得 即l1与l2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1. 故直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0. 反思感悟　求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解． 跟踪训练2　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 解　由方程组 解得即P(0,2)． ∵l⊥l3，l3的斜率为，∴kl＝－， ∴直线l的方程为y－2＝－x， 即4x＋3y－6＝0. 三、直线系过定点问题 问题2　观察图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过点M的直线方程？ 提示　当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4. 例3　无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标． 解　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0， ∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0， ∴∴∴点P的坐标为(7,3)． 反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得． 跟踪训练3　已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限． 证明　将直线方程整理为 a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0. 因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为， 即直线系恒过第一象限内的定点， 所以无论a为何值，直线总经过第一象限． 1．知识清单： (1)两条直线的交点． (2)判断两直线位置关系的方法． (3)直线系过定点问题． 2．方法归纳：消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊． 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3,2) B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 答案　B 解析　解方程组得 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3,1) D．(－2,1) 答案　C 解析　直线l的方程可化为 m(x＋2y＋1)－x－3y＝0， 解方程组得 则直线l恒过定点(－3,1)． 3．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________． 答案　2x＋y－4＝0 解析　设所求直线方程为 3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴k＝＝－2，解得λ＝5. ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 4．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝______. 答案　－2 解析　由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5. 又点(1，m)在直线上， 所以5＋2m－1＝0，所以m＝－2.　　 　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．直线3x＋2y－18＝0和－2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　) A．(－4，－3) B．(4,3) C．(－4,3) D．(3,4) 答案　B 解析　解方程组得 2．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为(　　) A．(1,3) B．(－1,3) C．(3,1) D．(3，－1) 答案　D 解析　直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，则此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由解得 因此所求定点为(3，－1)． 3．已知直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A．12 B．10 C．－8 D．－6 答案　B 解析　∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)． ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 4．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为(　　) A．－3，－4 B．3,4 C．4,3 D．－4，－3 答案　B 解析　由解得 由题意得解得 5．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A．－24 B．6 C．±6 D．24 答案　C 解析　因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)， 所以消去b，可得k＝±6. 6．已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由a＋2b＝1，得a＝1－2b， 则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0， 整理得x＋3y－b(2x－1)＝0， 所以解得 故直线过定点. 7．(5分)已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为________． 答案　(3,3) 解析　∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2， ∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1， 联立方程解得 ∴点P的坐标为(3,3)． 8．(5分)经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________________． 答案　x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 解析　由解得 ①若所求直线在两坐标轴上的截距都为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－4,3)，得k＝－， ∴直线方程为3x＋4y＝0； ②若所求直线在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为＋＝1. 代入点(－4,3)，得a＝－1. ∴直线方程为x＋y＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 9．(9分)判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(4分) (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.(5分) 解　(1)解方程组 得所以直线l1与l2相交， 交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组 ①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解． 所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 10．(12分)已知直线l：6x－y＋1＝0. (1)若平行于l的直线m经过点A(－1，－4)，求m的方程；(6分) (2)若l与直线y＝4x＋b的交点在第二象限，求b的取值范围．(6分) 解　(1)因为直线m平行于l， 可设直线m的方程为6x－y＋c＝0， 又因为直线m经过点A(－1，－4)， 所以－6＋4＋c＝0， 解得c＝2，可知直线m的方程为6x－y＋2＝0. (2)解方程组得 因为它们的交点在第二象限， 所以解得<b<1， 故b的取值范围为. 11．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　) A．{θ|0°<θ<60°} B．{θ|30°<θ<60°} C．{θ|30°<θ<90°} D．{θ|60°<θ<90°} 答案　C 解析　由题可知k≠－1， 联立解得 ∴两直线的交点坐标为. ∵两直线的交点在第一象限， ∴解得k>. 又直线l的倾斜角为θ，则tan θ>， ∴30°<θ<90°. 12．(多选)对于直线l：x＝my＋1，下列说法错误的是(　　) A．直线l恒过定点(1,0) B．直线l的斜率必定存在 C．当m＝时，直线l的倾斜角为60° D．当m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为 答案　BC 解析　对于A，由直线方程知 直线l恒过定点(1,0)，故A正确； 对于B，当m＝0时，直线斜率不存在，故B错误； 对于C，当m＝时，直线方程为y＝(x－1)，即tan θ＝，则倾斜角θ＝30°，故C错误； 对于D，当m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则与x轴、y轴的交点分别为(1,0)，，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为，故D正确． 13．(5分)已知A(－2,4)，B(4,2)，若直线l：ax－y－2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围为________． 答案　(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析　如图所示， 直线l：ax－y－2＝0过定点D(0，－2)， a表示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C， 由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时， a大于或等于DB的斜率，即a≥＝1，即a≥1. 当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，即a≤＝－3，即a≤－3. 综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 14．(5分)已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝________；若曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是________． 答案　1　(－1,1) 解析　因为l1∥l2，所以k2－1＝0，解得k＝±1， 当k＝－1时，l1与l2重合，所以k＝1. 易得y＝|x|＝ 直线l1化为y＝－kx＋1，恒过定点(0,1)， 画出函数图象，如图所示， 因为曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点， 所以－k＝0或0<－k<1或－1<－k<0，即－1<k<1. 15．(多选)平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是(　　) A．0 B．2 C．－1 D．－2 答案　ACD 解析　因为平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0将平面分为六部分， 又直线x－2y＋1＝0和直线x－1＝0的交点是(1,1)， 所以①直线x＋ky＝0过另两条直线的交点(1,1)， 解得k＝－1，经检验，符合题意； ②直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或与直线x－2y＋1＝0平行，解得k＝0或－2，经检验，符合题意． 所以实数k的取值集合是{0，－1，－2}． 16．(12分)如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 解　设B(x0，y0)， 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得解得 即B(6,4)． 同理可求得C点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC的方程为＝， 即4x－y－20＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $