6 2.3.2 两条直线的交点坐标-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

　 第2章　 2.3　两条直线的位置关系 2.3.2　两条直线的交点坐标 学习目标 1. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2. 会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　求相交直线的交点坐标 1 任务二　判断两直线位置关系 2 任务三　直线系过定点问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时测评 5 任务一　求相交直线的交点坐标 返回 问题.已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系. 提示：直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上， 也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足 直线l2的方程x－y－3＝0. 即交点坐标是方程组的解. 问题导思 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，______的坐标一定是这两个方程的______解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有______解，那么以这个解为坐标的____必是直线l1和直线l2的交点. 新知构建 交点 公共 唯一 点 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程. 解：法一：由方程组 解得 即l1与l2的交点坐标为(－2，2). 因为直线过坐标原点， 所以其斜率k＝＝－1. 故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0. 典例1 法二：因为l2不过原点， 所以可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)， 即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1， 所以直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0. 规律方法 求与已知两直线的交点有关问题的解法 1.先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解. 2.运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解. 对点练1.求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程. 解：法一：由方程组 得即P(0，2). 因为l⊥l3，l3的斜率为， 所以kl＝－， 所以直线l的方程为y－2＝－x， 即4x＋3y－6＝0. 法二：因为直线l过直线l1和l2的交点， 所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. 因为l与l3垂直， 所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11， 所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 返回 任务二　判断两直线位置关系 返回 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(＋≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(＋≠0)： 新知构建 方程组的解 一组 无数组 ______ 直线l1与l2的公共点的个数 一个 ________ 零个 直线l1与l2的位置关系 ______ 重合 ______ 无解 无数个 相交 平行 (1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况. 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线 相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. 微提醒 典例2 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标. (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； 解：方程组 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； 解：解方程组 ①×2得4x－12y＋8＝0. ①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合. (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解：方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 规律方法 　　判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况. 对点练2.已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是____________. 返回 由 由所以－＜a2. 任务三　直线系过定点问题 返回 典例3 (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标是__________. (－2，1) 直线l：mx＋y－1＋2m＝0可化为m(x＋2)＋(y－1)＝0. 由题意，可得 所以x＝－2，y＝1， 所以直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点(－2，1). (2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程. 法一：由方程组解得 因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行. 所以直线l的斜率k＝－3. 所以根据点斜式有y－ ＝－3. 即所求直线l的方程为15x＋5y＋16＝0. 法二：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0，因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以2＋λ－3(λ－3)＝0，解得λ＝.所以直线l的方程为x＋y＋2×－3＝0.化简得15x＋5y＋16＝0. 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法 (1)方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程. (2)直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 如：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 规律方法 2.含有参数的直线恒过定点问题的解法 (1)直接法 将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点. (2)特殊值法 取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点. (3)方程法 将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点. 对点练3.不论m为何实数，直线l：mx－y－2m－1＝0恒过定点 A.(－3，－1) B.(2，－1) C.(－3，1) D.(－2，1) √ 根据题意，将直线方程变形为m(x－2)－y－1＝0. 因为m为任意实数，所以联立 所以直线l过定点(2，－1).故选B. 对点练4.求过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程. 解：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，解得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0. 返回 随堂评价 返回 1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为 A.(3，2) B.(2，3) C.(－2，－3) D.(－3，－2) √ 解方程组 2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点 A.(－3，－1) B.(－2，－1) C.(－3，1) D.(－2，1) √ 根据题意，将直线方程变形为(x＋2y＋1)m－x－3y＝0. 因为m为任意实数，所以联立 所以直线l过定点(－3，1).故选C. 3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________________. 设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， 所以k＝＝－2，解得λ＝5. 所以所求直线方程为2x＋y－4＝0. 2x＋y－4＝0 4.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝______. 解方程组 又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， 所以－1－2k＝0，所以k＝－. － 返回 课时测评 返回 1.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为 A.(－4，－3) B.(4，3) C.(－4，3) D.(3，4) 由方程组 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为 A.12 B.10 C.－8 D.－6 √ 因为直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1). 所以将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， 所以m＋n＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.过两直线l1：2x－y＋7＝0和l2：y＝1－x的交点和原点的直线方程为 A.3x＋2y＝0 B.3x－2y＝0 C.2x＋3y＝0 D.2x－3y＝0 √ 由题意得： 解得 即直线l1：2x－y＋7＝0和l2：y＝1－x的交点坐标是(－2，3). 又因为该直线过原点，则该直线方程为：＝， 即3x＋2y＝0. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是 A.－24 B.6 C.±6 D.24 因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)， 所以消去b，可得k＝±6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点 A. B. C. D. √ 由a＋2b＝1，得a＝1－2b， 则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0， 整理得x＋3y－b(2x－1)＝0， 所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是 A.{θ｜0°＜θ＜60°} B.{θ｜30°＜θ＜60°} C.{θ｜30°＜θ＜90°} D.{θ｜60°＜θ＜90°} √ 由题可知k≠－1， 联立解得x＝，y＝， 所以两直线的交点坐标为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为两直线的交点在第一象限，所以 解得k＞. 又直线l的倾斜角为θ，则tan θ ＞，所以30°＜θ＜90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为___________. 由 得 则所求直线的方程为y＋3＝－3(x－1)， 即3x＋y＝0. 3x＋y＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝____. 由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5. 又点(1，m)在直线上， 所以a＋2m－1＝0， 所以m＝－2. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(13分)求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程. 解：由方程组 所以交点坐标为. 又因为直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y＋＝， 即27x＋54y＋37＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(15分)若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围. 解：联立两直线的方程 因为该交点落在平面直角坐标系的第四象限， 所以 即－＜k＜－. 则k的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________. 由直线ax＋y＋a＋2＝0， 得a(x＋1)＋(y＋2)＝0， 令解得x＝－1，y＝－2， 所以直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过定点(－1，－2)， 所以过这一定点和原点的直线方程是＝，即y＝2x. y＝2x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______________________. 设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0. 令x＝0，得y＝， 令y＝0，得x＝. 由＝，得λ＝或λ＝. 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若集合{(x，y)｜x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}⫋{(x，y)｜y＝3x＋b}，则b＝_____. 解方程组 代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知A(－2，4)，B(4，2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________________. (－∞，－3]∪[1，＋∞) 如图所示， 直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率， 设线段AB与y轴交于点C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率， 即a≥＝1，即a≥1. 当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段 AC上时，a小于或等于DA的斜率， 即a≤＝－3，即a≤－3. 综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)已知A(3，1)，B(－1，2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为 A.y＝2x＋4 B.y＝x－3 C.x－2y－1＝0 D.3x＋y＋1＝0 √ 设B关于直线y＝x＋1的对称点B'(x，y)， 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得即B'(1，0). 又B'在直线AC上， 则直线AC的方程为＝，即x－2y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程. 解：设B(x0，y0)， 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得即B(6，4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 同理可求得C点的坐标为(5，0). 故所求直线BC的方程为＝， 即4x－y－20＝0. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 2.3　两条直线的位置关系 返回 $