第2章 2.2.3 直线的一般式方程 2.2.4 直线的方向向量与法向量（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“直线的一般式方程”及“方向向量与法向量”核心知识点，前承点斜式、斜截式等四种特殊直线方程，通过论证“平面直角坐标系中直线与二元一次方程的双向对应关系”，构建从特殊到一般的知识支架，进而延伸至方向向量、法向量的概念及应用。 资料以问题链驱动探究，如通过“直线是否都能用二元一次方程表示”等问题培养抽象能力，结合例题（如不同条件下直线方程的转化）与跟踪训练发展推理意识，应用案例（如三角形面积计算）强化数学表达。课中助力教师引导学生主动建构知识，课后学生可借助例题解析与分层习题回顾强化，有效查漏补缺。

2.2.3　直线的一般式方程 2.2.4　直线的方向向量与法向量 [学习目标]　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 导语 前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，可以发现它们都是二元一次方程．现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？ 一、直线的一般式方程 问题1　平面直角坐标系中的任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程吗？ 提示　当直线与x轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线的方程为y－y1＝k(x－x1)，即kx－y＋y1－kx1＝0，此方程是关于x，y的二元一次方程． 当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点P1(x1，y1)的直线的方程为x＝x1，即x＋0·y－x1＝0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程． 因此，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示． 问题2　每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 提示　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成 y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线． 当B＝0时，由于A，B不同时为0，方程Ax＋By＋C＝0可以写成x＝－，它表示一条与y轴平行或重合的直线． 因此，在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线． 知识梳理 1．二元一次方程与直线的关系 平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示；反之，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． 2．方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)称为直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程； ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列； ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 解　(1)由点斜式，得直线的方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线的方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程，得直线的方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 反思感悟　求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 跟踪训练1　根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点A(5,7)，B(1,3)； (2)经过点(－4,3)，斜率为－3； (3)经过点(2,1)，平行于y轴； (4)斜率为2，在x轴上的截距为1. 解　(1)由两点式，得直线的方程为＝，即x－y＋2＝0. (2)由点斜式，得直线的方程为y－3＝－3(x＋4)， 即3x＋y＋9＝0. (3)由题意知，直线的方程为x＝2，即x－2＝0. (4)由点斜式，得直线的方程为y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0. 二、直线一般式方程的应用 例2　在△ABC中，A(4,2)，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线AB在y轴上的截距为1，直线AC的倾斜角为45°.求： (1)直线AB，AC的方程； (2)△ABC的面积S. 解　(1)因为直线AB在y轴上的截距为1，所以其过点D(0,1)， 所以直线AB的方程为＝， 化简得y＝x＋1，故直线AB的方程为x－4y＋4＝0. 由题意知直线AC的斜率为k＝tan 45°＝1， 所以直线AC的方程为y－2＝x－4， 化简得x－y－2＝0. (2)由(1)知，直线AB的方程为x－4y＋4＝0， 令y＝0，得x＝－4，故B(－4,0)， 直线AC的方程为x－y－2＝0， 令x＝0，得y＝－2，故C(0，－2)． 所以S＝S△ACD＋S△BCD＝|CD|×4＋|CD|×4＝4|CD|＝12. 反思感悟　含参数的直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得直线在y轴上的截距．令y＝0可得直线在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 跟踪训练2　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距为－3； (2)直线l的斜率为1. 解　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝， ∴＝－3，解得m＝－. (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 将直线l的方程化为斜截式方程， 得y＝x＋， 则＝1， 解得m＝－2. 三、直线的方向向量与法向量 问题3　什么叫作直线PQ的方向？ 提示　直线上两个不同点P，Q之间的有向线段的方向就是直线的方向，可以用非零向量来表示． 问题4　直线QP与PQ表示同一条直线，那么两个相反向量，的方向都代表直线PQ的方向吗？ 提示　向量，的方向都代表直线PQ的方向． 知识梳理 1．方向向量：把与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量，直线l的方向向量v并不唯一，v的所有非零实数倍λv都是方向向量． 2．斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍． 3．直线的法向量：与直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的非零向量n＝(A，B)称为直线l的一个法向量． 例3　(1)求直线4x－y＋5＝0的全体方向向量． 解　将直线4x－y＋5＝0化为斜截式为y＝4x＋5， 其斜率k＝4， 因此，该直线的全体方向向量为λ(1,4)，其中λ为任意非零实数． (2)求下列直线的方程： ①经过点(2,1)，且垂直于n＝(2，－3)； ②经过点(2，－3)，且平行于v＝(2,4)． 解　①由题意知， 直线的一个法向量为n＝(2，－3)， ∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0， 代入点(2,1)得4－3＋C＝0， 解得C＝－1， ∴直线的方程为2x－3y－1＝0. ②方法一　由题意知，直线的一个方向向量为v＝(2,4)，∴k＝＝2， 故所求直线的方程为y＋3＝2(x－2)， 即2x－y－7＝0. 方法二　由题意知， 直线的一个方向向量为v＝(2,4)， ∴直线的一个法向量为n＝(4，－2)， 故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0，代入点(2，－3)，得8＋6＋C＝0， 解得C＝－14， ∴所求直线的方程为4x－2y－14＝0， 即2x－y－7＝0. 反思感悟　已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思想 (1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx＋ny＋C＝0，然后代点求C. (2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量． 跟踪训练3　(1)若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个法向量是(　　) A．(1，－1) B．(1,1) C．(－1,1) D．(2，－) 答案　B 解析　∵直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率k＝－1，∴直线l的一个方向向量为(1，－1)，则直线l的一个法向量为(1,1)． (2)写出满足下列条件的直线的方程． ①经过点A(1,1)和B(3,2)； ②平行于向量(2,5)，并且经过点A(1,2)． 解　①由已知条件可知直线的一个方向向量＝(2,1)， ∴直线的一个法向量n＝(1，－2)． 因此可设直线的一般式方程为x－2y＋C＝0， 代入A(1,1)，得C＝1， ∴所求直线的方程为x－2y＋1＝0. ②∵所求直线平行于向量(2,5)， ∴所求直线的斜率为. 又直线经过点A(1,2)， ∴所求直线的方程为y－2＝(x－1)， 整理得5x－2y－1＝0. 1．知识清单： (1)直线的一般式方程． (2)直线的方向向量和法向量． (3)直线一般式方程的应用． 2．方法归纳：分类讨论法、化归转化． 3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况． 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 答案　D 2．若直线l的一个方向向量为a＝(－2,6)，则直线l的斜率是(　　) A. B．－ C．3 D．－3 答案　D 解析　因为a＝(－2,6)，所以kl＝＝－3. 3．(多选)过点(2,1)，且斜率k＝－2的直线方程为(　　) A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0 C．y－1＝－2(x－2) D．2x＋y－5＝0 答案　CD 解析　由题意知直线方程为y－1＝－2(x－2)，化为一般式为2x＋y－5＝0. 4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________． 答案　3 解析　由已知得∴m＝3.　 　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1．过点(－3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为(　　) A．4x＋3y＋12＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y＋12＝0 D．4x－3y－12＝0 答案　C 解析　由截距式方程得直线的方程为＋＝1，整理得4x－3y＋12＝0. 2．在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 答案　C 解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 3．直线3x＋4y－1＝0的一个方向向量是(　　) A．(3,4) B．(4,3) C. D. 答案　C 解析　由题意，得直线3x＋4y－1＝0的斜率为k＝－，可得直线的一个方向向量为(1，k)＝. 4．(多选)已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则(　　) A．若c>0，则a>0，b>0 B．若c>0，则a<0，b<0 C．若c<0，则a>0，b<0 D．若c<0，则a>0，b>0 答案　BD 解析　由直线ax＋by＋c＝0，可得y＝－x－，根据图象可得－<0，－>0，∴若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0. 5．直线的一个方向向量为v＝(1，－3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为(　　) A．3x－y＋2＝0 B．3x＋y－2＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x－y－2＝0 答案　B 解析　方法一　∵直线的一个方向向量为v＝(1，－3)，∴k＝－3， ∴直线的方程为y＝－3x＋2， 即3x＋y－2＝0. 方法二　由题意知直线的一个法向量为n＝(3,1)，∴直线的方程可设为3x＋y＋C＝0，将点(0,2)代入得C＝－2，故所求直线的方程为3x＋y－2＝0. 6．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A．－，－1 B.，－1 C．－，1 D.，1 答案　A 解析　原方程化为＋＝1， ∴＝－1，∴b＝－1. 又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a， 且x－y－＝0的倾斜角为60°， ∴k＝tan 120°＝－，∴a＝－. 7．(5分)已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________． 答案　－ 解析　把(3,0)代入已知方程， 得(a＋2)×3－2a＝0， ∴a＝－6， ∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0， 令x＝0，得y＝－. 8．(5分)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为________________________________________________________________________． 答案　6 解析　直线l的方程为3x＋4y－12＝0， 令x＝0，得y＝3， 令y＝0，得x＝4， 不妨令A(4,0)，B(0,3)，则S△AOB＝×4×3＝6. 9．(9分)若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)求实数m需满足的条件；(4分) (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．(5分) 解　(1)由解得m＝2. 又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0， 故m≠2. (2)由题意知，m≠2， 由－＝1，解得m＝0. 10．(12分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y－1＝0上， ∴设点B的坐标为(x，1)． 又∵点A的坐标为(1,3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得点D的坐标为. 又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， ∴点B的坐标为(5,1)． 同理可求出点C的坐标是(－3，－1)． 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0，x－y＋2＝0. 11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. 答案　D 解析　∵k＝－，∴－1≤k<0. ∴倾斜角的取值范围是. 12．(多选)已知直线l：x＋y＋3＝0，则下列结论正确的是(　　) A．直线l的倾斜角为 B．直线l的一个法向量为(，－1) C．直线l的一个方向向量为(1，－) D．直线l的斜率为－ 答案　CD 解析　由题意可得直线l的斜率k＝－，故D正确；所以直线l的倾斜角为，故A错误；直线l的一个方向向量为(1，－)，故C正确；直线l的一个法向量为(，1)，又(，－1)与(，1)不平行，故B错误． 13．(5分)已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________． 答案　2x＋3y＋4＝0 解析　∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)， ∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0， 因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0. 14．(5分)若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________． 答案　8 解析　因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，即＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋4＝8， 当且仅当n＝2m，即n＝，m＝时，等号成立， 故＋的最小值为8. 15．(5分)直线l过原点，且垂直于向量(1，－3)．若角α的终边落在直线l上，则＝________. 答案　－ 解析　因为直线l过原点，且垂直于向量(1，－3)， 所以直线l的方程为x－3y＝0， 当x>0时，取终边上的点(3,1)，可得tan α＝， 当x<0时，取终边上的点(－3，－1)，可得tan α＝＝， 所以若角α的终边落在直线l上，则tan α＝， ＝＝＝－. 16．(12分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点；(3分) (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(4分) (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．(5分) (1)证明　直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2,1)． (2)解　由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线l不经过第四象限，则必须有 解得k>0； 当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞)． (3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程， 得A，B(0,1＋2k)． 依题意得 解得k>0. ∵S＝|OA|·|OB| ＝·|1＋2k| ＝· ＝≥×(2×2＋4)＝4， 当且仅当k>0且4k＝， 即k＝时，等号成立， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为 x－2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $