第1章 再练一课(范围：§1.1～§1.2)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

再练一课(范围：§1.1～§1.2) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．数列{an}的前4项为，，，，则它的一个通项公式是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　将，，，可以写成，，，，所以{an}的通项公式为. 2．已知{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和．若S3＝3a1＋3，则d等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　C 解析　因为{an}是公差为d的等差数列，且S3＝3a1＋3，所以3a1＋3d＝3a1＋3，解得d＝1. 3．已知等差数列{an}满足a1＝－2，a6＋a8＝20，则{an}的公差为(　　) A．－2 B．2 C．4 D．6 答案　B 解析　设公差为d，因为a8＋a6＝2a7＝20，所以a7＝10，所以a7－a1＝6d＝12，所以d＝2. 4．已知a1＝2，an＋1＝an，则a2 024等于(　　) A．506 B．1 012 C．2 024 D．4 048 答案　D 解析　由a1＝2，an＋1＝an可得＝， 则a2 024＝··…··a1＝××…××2＝4 048. 5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4＝14，S6＝S2＋22，则S6等于(　　) A．26 B．27 C．28 D．29 答案　B 解析　由题意得S2，S4－S2，S6－S4成等差数列， ∴2(S4－S2)＝S2＋S6－S4， 又S4＝14，S6＝S2＋22， ∴2[14－(S6－22)]＝S6－22＋S6－14， 解得S6＝27. 6．若公差为d的等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则下列结论错误的为(　　) A．数列{an＋1＋an}也是等差数列 B．d＝2 C．a1＝－ D．13是数列{an}中的项 答案　D 解析　由an＋1＋an＝4n－3易知{an＋1＋an}是等差数列，A正确；由an＋1＋an＝4n－3得an＋2＋an＋1＝4n＋1，所以an＋2－an＝4，因为{an}是等差数列，所以d＝2，B正确；由a1＋a2＝1，则a1＋a1＋d＝1，所以a1＝－，即an＝2n－，令an＝2n－＝13，解得n不是整数，所以C正确，D错误． 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．已知在等差数列{an}中，a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝8，则(　　) A．a10＝4 B．a11＝4 C．a9－a3＝3 D．a10－a3＝3 答案　BC 解析　设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝2a1＋20d＝2(a1＋10d)＝8，即a11＝a1＋10d＝4，所以a9－a3＝a1＋8d－(a1＋2d)＝(a1＋10d)＝3. 8．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，则下列结论正确的是(　　) A．{an}是等差数列 B．{an}是递增数列 C.是等差数列 D.是递增数列 答案　CD 解析　由an＋1＝(n∈N＋)可得＝＋1(n∈N＋)，所以是以1为公差的等差数列，故CD正确，＝1＋(n－1)×1＝n⇒an＝，故{an}不是等差数列，而且{an}为递减数列，故AB错误． 9．设等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差为d，已知a3＝12，S12>0，a7<0，则(　　) A．S5＝60 B．－4<d<－3 C．a6>0 D．当Sn<0时，n的最小值为13 答案　ACD 解析　∵数列{an}是等差数列，∴S5＝5a3＝60，故选项A正确； ∵S12>0，∴a6＋a7>0，又∵a7<0， ∴a3＋3d＋a3＋4d>0且a3＋4d<0， 解得－<d<－3，故选项B错误； ∵a6＋a7>0，a7<0，∴a6>0，故选项C正确； ∵S12>0，S13＝13a7<0， ∴当Sn<0时，n的最小值为13，故选项D正确． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．写出一个公差不为零，且满足a1＋a2－a3＝1的等差数列{an}的通项公式an＝________. 答案　n＋1(答案不唯一) 解析　设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a2－a3＝a1＋a1＋d－a1－2d＝a1－d＝1， 不妨令d＝1，则a1＝2，此时等差数列{an}的通项公式an＝n＋1. 11．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1 260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为________． 答案　120 解析　每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为{an}，其公差为d，前n项和为Sn.根据题意可知，S9＝1 260，a1＋a4＋a7＝390， 方法一　S9＝＝9a5＝1 260，∴a5＝140， ∵a1＋a4＋a7＝3a4＝390，∴a4＝130， ∴d＝a5－a4＝10，∴a3＝a4－d＝120. 方法二　 即解得 ∴a3＝a1＋2d＝120. 12．已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，满足2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1，则的最小值是______． 答案　 解析　∵2S2＝2(a1＋a2)＝a2(a2＋1)，且a1＝1，各项均为正数， ∴a－a2－2＝0，解得a2＝2或－1(舍)， 则d＝1，∴Sn＝， ∴＝＝n＋＋1， 而n＋≥2，当且仅当n＝时等号成立， 又n∈N＋，则当n＝3时，＝； 当n＝4时，＝， ∴当n＝4时取最小值为. 四、解答题(共37分) 13．(12分)已知数列{an}中，a1＝，an－an＋1＝2anan＋1. (1)证明：数列是等差数列；(6分) (2)求数列{an}的通项公式．(6分) (1)证明　由an－an＋1＝2anan＋1得，－＝2， 所以数列是以＝2为首项，2为公差的等差数列． (2)解　由(1)知，＝2＋2(n－1)＝2n，所以an＝. 14．(12分)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a4＝－3，再从条件①：S4＝－24；条件②：a1＝2a3。这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)数列{an}的通项公式；(6分) (2)Sn的最小值，并求当Sn取得最小值时n的值．(6分) 解　(1)若选择条件①： 设等差数列{an}的公差为d，由a4＝－3可得a1＋3d＝－3； 又S4＝－24，得4a1＋d＝－24， 即2a1＋3d＝－12，解得a1＝－9，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－9＋2(n－1)＝2n－11； 即数列{an}的通项公式为an＝2n－11，n∈N＋. 若选择条件②： 设等差数列{an}的公差为d，由a4＝－3可得a1＋3d＝－3； 又a1＝2a3，即a1＝2(a1＋2d)，得a1＋4d＝0； 解得a1＝－12，d＝3， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－12＋3(n－1)＝3n－15， 即数列{an}的通项公式为an＝3n－15，n∈N＋. (2)若选择条件①： 由an＝2n－11，n∈N＋可得，Sn＝－9n＋×2＝n2－10n＝(n－5)2－25， 根据二次函数的性质可得当n＝5时，Sn＝－25为最小值， 即当n＝5时，Sn取得最小值，且最小值为S5＝－25. 若选择条件②： 由an＝3n－15，n∈N＋可得，Sn＝－12n＋×3＝(n2－9n)＝2－， 根据二次函数的性质可得当n＝4或n＝5时，Sn＝－30为最小值， 即当n＝4或n＝5时，Sn取得最小值，且最小值为S4＝S5＝－30. 15．(13分)已知在等差数列{an}中，公差d≠0，其前n项和为Sn，S2＝16，且a3a4＝a7a8. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)求数列{}的前n项和Tn.(7分) 解　(1)由S2＝16，a3a4＝a7a8， 得 解得 所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N＋)． (2)当n≤5时， Tn＝＋＋…＋＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n. 当n≥6时， Tn＝＋＋…＋＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an ＝2S5－Sn＝n2－10n＋50. 故Tn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $