第1章 §1.4 数学归纳法（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦数学归纳法这一核心知识点，从不完全归纳法的局限性切入，通过多米诺骨牌游戏类比抽象出数学归纳法“奠基-递推”两步原理，再系统展开等式证明、归纳-猜想-证明等应用，构建从原理理解到实际运用的完整学习支架。 资料以问题情境（如袋子小球、骨牌游戏）引导学生用数学眼光观察归纳逻辑，通过例题中递推步骤的严谨推理培养数学思维，结合“归纳—猜想—证明”案例提升数学语言表达能力。课中助力教师清晰讲授逻辑脉络，课后练习题帮助学生巩固步骤要点，弥补理解盲点。

[学习目标]　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、数学归纳法的理解 问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示　不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确． 问题2　在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示　要确保任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下． 知识梳理　 一般地，在证明一个与正整数n有关的命题时，可按下列步骤进行： (1)证明n＝n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0开始的正整数n，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法． 注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择． 例1　(1)用数学归纳法证明：1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(　　) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 答案　C 解析　当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3. (2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，等式左边应在n＝k的基础上加上____________________________________________________________________． 答案　(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 解析　当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时， 等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，所以在n＝k时的左边应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 反思感悟　数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． 跟踪训练1　对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，左边＝，右边1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1，那么当n＝k＋1时， ＝ ＜ ＝＝(k＋1)＋1， 所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案　D 解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法． 二、利用数学归纳法证明等式 例2　用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N＋)． 证明　(1)当n＝1时，左边＝＝， 右边＝＝， 左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 即＋＋…＋＝， 那么当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，等式对一切n∈N＋都成立． 反思感悟　用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n＝n0时，等式的结构． (2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 跟踪训练2　用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋. 上式表明当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)知，等式对一切n∈N＋均成立． 三、归纳—猜想—证明 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的解析式，并用数学归纳法加以证明． 解　S1＝a1＝－， S2＋＋2＝S2－⇒S2＝－， S3＋＋2＝S3－S2⇒S3＝－， S4＋＋2＝S4－S3⇒S4＝－. 猜想：Sn＝－(n∈N＋)． 下面用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－， 右边＝－＝－. 左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，Sk＝－成立，那么当n＝k＋1时，由Sk＋1＋＋2＝Sk＋1－Sk，得 ＝－Sk－2＝－2＝＝＝－， ∴Sk＋1＝－＝－， ∴当n＝k＋1时，等式也成立． 综合(1)(2)得，Sn＝－对一切n∈N＋都成立． 反思感悟　“归纳—猜想—证明”的解题步骤 跟踪训练3　设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，…. (1)求a2，a3，a4； (2)猜想出{an}的一个通项公式，并用数学归纳法加以证明． 解　(1)由a1＝2得a2＝a－a1＋1＝3， a3＝a－2a2＋1＝4， a4＝a－3a3＋1＝5. (2)由此猜想{an}的一个通项公式为 an＝n＋1(n∈N＋)， 下面用数学归纳法证明， ①当n＝1时，左边＝a1＝2，右边＝1＋1，左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 即ak＝k＋1， 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1 ＝(k＋1)2－k(k＋1)＋1 ＝k＋2＝(k＋1)＋1， 也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1＝(k＋1)＋1也成立， 根据①②知，an＝n＋1对于一切n∈N＋都成立． 1.知识清单： (1)数学归纳法的概念． (2)用数学归纳法证明等式． (3)“归纳—猜想—证明”问题． 2．方法归纳：数学归纳法． 3．常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错． 1．用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，由n＝k到n＝k＋1的凸n边形的内角和增加(　　) A. B．π C. D．2π 答案　B 解析　如图， 由n＝k到n＝k＋1时， 凸n边形的内角和增加∠1＋∠2＋∠3＝π. 2．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于(　　) A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k 答案　C 解析　因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k. 3．以下是一个证明的全部过程：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，则当n＝k＋1时，2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，等式也成立．因此等式对于任何n∈N＋都成立． 则用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)”的过程中的错误为________________． 答案　缺少当n＝1时命题成立的证明 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，等式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，等式为__________________________________________． 答案　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 解析　当n＝k＋1时， 等式左边为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，等式右边为(k＋1)(k＋2)2， 则当n＝k＋1时，等式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2. [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23 答案　D 解析　当n＝1时，2n＋2＝23， 所以左边＝1＋2＋22＋23. 2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2，k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证(　　) A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 答案　B 解析　因为n为正偶数， 所以当n＝k时，下一个偶数为k＋2. 3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…， 可推测an＝. 4．已知经过同一点的n(n∈N＋，n≥3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f(n)个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n＝k到n＝k＋1时，应证明增加的空间个数为(　　) A．2k B．2k＋2 C. D．k2＋k＋2 答案　A 解析　当n＝3时，这三个平面将空间分成了8部分， 当n＝k时，平面将空间分成f(k)个部分，则当再添加1个面时，与其他k个面共有k条交线，这k条交线过同一个点，将该平面分成2k个部分， 每一部分将所在的空间一分为二，故f(k＋1)＝f(k)＋2k，即增加的空间个数为2k. 5．若等式A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时等式也成立．现知等式对n＝n0(n0∈N＋)成立，则有(　　) A．等式对所有正整数都成立 B．等式对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．等式对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 答案　C 解析　由已知得当n＝n0(n0∈N＋)时等式成立， 则有n＝n0＋1时等式成立． 在n＝n0＋1时等式成立的前提下， 又可推得n＝(n0＋1)＋1时等式也成立，依此类推，可知选C. 6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 答案　D 解析　观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，所以项数为n2－n＋1，f(2)＝＋＋. 7．(5分)用数学归纳法证明＞对任意的n≥k(n，k∈N＋)都成立，则k的最小值为________． 答案　3 解析　依次检验，易得k的最小值为3. 8．(5分)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_________． 答案　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 解析　因为f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2， f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2， 所以f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2， 即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 9．(10分)用数学归纳法证明： …＝(n≥2，n∈N＋)． 证明　(1)当n＝2时，左边＝1－＝， 右边＝＝，左边＝右边． 等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立， 即…＝. 那么当n＝k＋1时，有 … ＝＝· ＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 综合(1)(2)知，等式对任何n≥2，n∈N＋恒成立． 10．(12分)设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋. (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；(6分) (2)用数学归纳法证明你的结论．(6分) 解　(1)因为a1＝1，an＋1＝f(an)， 所以a2＝f(a1)＝f(1)＝， a3＝f(a2)＝f ＝＝， a4＝f(a3)＝f ＝＝， 猜想an＝(n∈N＋)． (2)①易知当n＝1时，等式成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立，即ak＝. 则当n＝k＋1时，ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝， 即当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②知，an＝对一切n∈N＋都成立． 11．(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1,2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是(　　) A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 答案　AD 解析　由题意知p(k)对k＝2,4,6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立． 12．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3…·(2n－1)(n∈N＋)时，将“n＝k→n＝k＋1”两边同乘一个代数式，它是(　　) A．2k＋2 B．(2k＋1)(2k＋2) C. D. 答案　D 解析　当n＝k时，(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)；当n＝k＋1时，(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝2k＋1·1·3·…·[2(k＋1)－1]．通过对比可知，增加了两项(2k＋1)，(2k＋2)，减少了一项(k＋1)． 13．(5分)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝__________. 答案　＋＋…＋ 解析　f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝f(2k)＋＋＋…＋， ∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋. 14．(5分)已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋成立，那么a＝________，b＝________，c＝________. 答案　　　 解析　把n＝1,2,3代入1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c， 可得 整理并解得 15．(5分)用数学归纳法证明：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1(n∈N＋)是31的倍数，当n＝1时，原式为____________________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________________． 答案　1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋…＋25k＋4 解析　当n＝1时，1＋2＋22＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24； 从n＝k到n＝k＋1时，需增添的项为1＋2＋22＋…＋25(k＋1)－1－(1＋2＋22＋…＋25k－1)＝25k＋25k＋1＋…＋25k＋4. 16．(12分)设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy. (1)求f(0)的值；(3分) (2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3分) (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式并用数学归纳法加以证明．(6分) 解　(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0. (2)由f(1)＝1， 得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4； f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9； f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16. (3)由(2)可猜想f(n)＝n2. 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(n)＝n2成立， 即f(k)＝k2， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2， 即当n＝k＋1时f(n)＝n2也成立， 由①②可知，f(n)＝n2对一切n∈N＋都成立． 学科网（北京）股份有限公司 $