第1章 1.3.3 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦等比数列前n项和的性质及应用，系统梳理前n项和公式的函数特征（q≠1时为指数型函数，q=1时为正比例函数）、“片段和”性质（Sn，S2n-Sn，S3n-S2n等成等比数列）及“奇偶项”性质（项数为2n时S偶=qS奇，项数为2n+1时S奇=a1+qS偶），构建从公式到性质的学习支架。 资料通过类比等差数列性质引导学生用数学眼光发现问题，结合逻辑证明（如片段和性质推导）发展数学思维，设计分层例题（如例2多法求S3n）与跟踪训练提升数学语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后练习题帮助学生巩固性质应用，查漏补缺。

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学习目标]　1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题． 导语 同学们，前面我们用等差数列的性质，类比出了等比数列的性质，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质． 一、等比数列前n项和公式的函数特征 问题1　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)的函数特征吗？ 提示　Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A. 知识梳理 1．当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝Aqn－A.即Sn是n的指数型函数． 2．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 注意点：等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 例1　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． 解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． ∴an＝ 方法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 方法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝Aqn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2,2≠1，故{an}不是等比数列． 反思感悟　(1)已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.当n＝1时需验证是否满足此式． (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． 跟踪训练1　已知等比数列{an}的前n项和Sn＝(1－2λ)＋λ·2n，则λ等于(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，a1＝S1＝(1－2λ)＋2λ＝1，则Sn＝n，显然与题设不符，∴q≠1，即等比数列不是常数列，∴λ＝－(1－2λ)，解得λ＝1. 二、等比数列前n项和的“片段和”性质 问题2　类似于等差数列中的“片段和”的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝， S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－＝， 而2＝2， Sn(S3n－S2n)＝×， 故有2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 问题3　你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n? 提示　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm. 知识梳理　 (1)数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍构成等比数列(公比为－1且n为偶数除外)． (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)． 注意点：等比数列前n项和的“片段和”性质成立是有条件的，即Sn≠0. 例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 解　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1＋qn＝， 即qn＝，　　　　　　　　　　　　　　③ 将③代入①得＝64， ∴S3n＝＝64×＝63. 方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， ∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， ∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63. 方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn， 得qn＝， ∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63. 反思感悟　等比数列的片段和性质的应用 对于等比数列片段和问题，可以利用基本量计算求解，但运算量一般很大，恰当运用片段和性质，可以提升解题速度和准确度，运用此性质时应注意公比是否为－1. 跟踪训练2　记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S12等于(　　) A．12 B．18 C．21 D．27 答案　C 解析　方法一　因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4＝3，S8＝9，易知等比数列{an}的公比q≠－1，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，所以62＝3(S12－9)，解得S12＝21. 方法二　由方法一知，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即3,6,12成等比数列，所以S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝3＋6＋12＝21. 三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质 问题4　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示　若等比数列{an}的项数为2n，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1， 容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 若等比数列{an}的项数为2n＋1， 则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1， 从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶． 知识梳理　 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． 例3　若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________． 答案　2　9 解析　由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，设这个数列共有2n＋1项，则S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9. 反思感悟　若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． 跟踪训练3　已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________. 答案　120 解析　因为在等比数列中，若项数为2n，则＝q， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a99) ＝90＋×90＝120. 1.知识清单： (1)等比数列前n项和的函数特征． (2)等比数列前n项和的“片段和”性质． (3)等比数列前n项和的“奇偶项”性质． 2．方法归纳：公式法、分类讨论法． 3．常见误区：应用“片段和”性质时易忽略其成立的条件． 1．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是(　　) A．1 B．0 C．2 D．－1 答案　D 解析　当q≠1时， Sn＝＝－qn， ∴r＝－1. 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　) A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 答案　A 解析　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等比数列， 因为S10∶S5＝1∶2， 所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4. 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 答案　C 解析　由S4，S8－S4，S12－S8成等比数列， 即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列． 得a9＋a10＋a11＋a12＝4. 4．若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为________． 答案　300 解析　由＝2，S偶－S奇＝100可知S偶＝200， S奇＝100，故S2n＝300.　　　 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为(　　 ) A．8 B．－2 C．4 D．2 答案　D 解析　由＝q，可知q＝2. 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝. 方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2， ∵{an}是等比数列， ∴当n＝1时也应适合an＝2x·3n－2， 即2x·3－1＝x－，解得x＝. 3．等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是(　　) A．28 B．48 C．36 D．52 答案　A 解析　设等比数列的前n项和为Sn， 则依题意有Sm＝4，S2m＝12，则Sn≠0，且S2m－Sm≠0， 根据等比数列前n项和的性质有，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列， 所以(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)， 即(12－4)2＝4(S3m－12)， 解得S3m＝28. 4．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案　B 解析　设等比数列的项数为2n，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q＝＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝2n－1， 中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8. 5．已知等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1为(　　) A. B. C．20 D．110 答案　B 解析　由题意得＝ ＝a1qn＝an＋1＝＝. 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若数列{an}是等差数列，且am＋an＝as＋at(m，n，s，t∈N＋)，则m＋n＝s＋t B．若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列 C．若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 D．若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn＋B(其中A，B是非零常数，n∈N＋)，则A＋B＝0 答案　BD 解析　若数列{an}是常数列，对任意的正整数m，n，s，t都有am＋an＝as＋at，A错误； 设等差数列{an}的公差为d，首项为a1， Sn＝a1＋a2＋…＋an， S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n ＝(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd) ＝Sn＋n2d， 同理S3n－S2n＝(S2n－Sn)＋n2d ＝Sn＋2n2d， 因此2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，B正确； 若等比数列{an}的公比q＝－1，a1＝2， 则S2＝0，S4－S2＝0，S6－S4＝0，不可能成等比数列，C错误； 等比数列的前n项和为Sn＝Aqn＋B，则q≠1， 否则Sn＝na1， 所以Sn＝＝－·qn＋， 即A＝－，B＝，A＋B＝0，D正确． 7．(5分)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________. 答案　2 解析　由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80， ∴S奇＝－80，S偶＝－160， ∴q＝＝2. 8．(5分)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N＋)，则d＋q的值是________． 答案　4 解析　设数列{an}，{bn}的首项分别为a1，b1，前n项和分别为An，Bn， 则An＝n2＋n，Bn＝qn＋， 结合Sn＝n2－n＋2n－1，得 解得所以d＋q＝4. 9．(10分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(5分) (2)求a2＋a4＋…＋a2n.(5分) 解　由条件知S1＝a1＝1. (1)①当c＝1时，an＝⇒an＝ ②当c≠1时，an＝ (2)①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0； ②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，所以a2＋a4＋…＋a2n＝＝. 10．(12分)在等比数列{an}中，对任意n∈N＋，均有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，求a＋a＋…＋a. 解　由题意设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q， 显然Sn＝2n－1. 令n＝1，得a1＝S1＝1； 令n＝2，得a1＋a2＝3，∴a2＝2， ∴公比q＝＝2，∴an＝a1·qn－1＝2n－1(n∈N＋)． 又∵＝＝4， ∴数列{a}是首项为1，公比为4的等比数列． ∴a＋a＋…＋a＝＝ ＝(4n－1)． 11．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　) A．90 B．70 C．40 D．30 答案　C 解析　∵S30≠3S10，∴q≠1. 由得 ∴ ∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3， ∴S20＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40. 12．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，若这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为(　　) A. B. C．1 D．2 答案　D 解析　设数列{an}共有2m＋1项，由题意得 S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝， S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝， 因为项数为奇数时，＝q， 即2＋q＝， 所以q＝. 所以Tn＝a1·a2·…·an ＝aq1＋2＋…＋n－1＝， 故当n＝1或2时，Tn取得最大值2. 13．等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则当n∈N＋时，Sn－的最大值与最小值的比值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　因为等比数列{an}的首项为，公比为－，所以Sn＝＝1－n. ①当n为奇数时，Sn＝1＋n随着n的增大而减小，则1<Sn≤S1＝，故0<Sn－≤； ②当n为偶数时，Sn＝1－n随着n的增大而增大，则＝S2≤Sn<1，故－≤Sn－<0.所以Sn－的最大值与最小值的比值为＝－. 14．(5分)已知等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n，数列{bn}是递增数列，且bn＝An2＋Bn，则A＝________，B的取值范围为____________． 答案　1　(－3，＋∞) 解析　因为Sn＝＝－qn(q≠1)， 而等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n， 所以A＝1，于是bn＝n2＋Bn， 又因为数列{bn}是递增数列， 所以bn＋1－bn＝(n＋1)2＋B(n＋1)－n2－Bn＝2n＋1＋B>0恒成立， 所以B>－(2n＋1)恒成立，所以B>－3， 即B的取值范围为(－3，＋∞)． 15．(5分)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 答案　1－ 解析　令x＝n，y＝1， 则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，又an＝f(n)， ∴＝＝f(1)＝a1＝， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝＝1－. 16．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N＋. (1)证明：{an－1}是等比数列；(6分) (2)求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由. (6分) (1)证明　当n＝1时，由Sn＝n－5an－85可知， a1＝－14； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－5an＋5an－1＋1， 即6an＝5an－1＋1. 因此6an－6＝5an－1＋1－6＝5(an－1－1)， 所以an－1＝(an－1－1)． 又a1－1＝－15≠0， 所以数列{an－1}是等比数列． (2)解　由(1)知，an－1＝－15×n－1， 得an＝1－15×n－1， 从而Sn＝75×n－1＋n－90，n∈N＋. 解不等式Sn<Sn＋1， 得n－1<，n> ＋1≈14.9， 当n≥15时，数列{Sn}单调递增； 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减． 故当n＝15时，Sn取得最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $