第1章 1.3.3 第1课时 等比数列的前n项和公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦等比数列前n项和公式这一核心知识点，系统衔接等比数列定义与通项公式，通过错位相减法、定义性质推导、方程思想三种思路构建公式推导过程，明确公比q=1与q≠1的分类讨论，呈现首项、公比、项数及首项、公比、末项两种求和形式，为数列综合应用搭建学习支架。 资料以“零花钱累计”“麦粒问题”情境导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过多思路推导公式培养逻辑推理与创新意识（数学思维），结合《算法统宗》行程、黄鹤楼灯笼等实例，助力学生用数学语言表达实际问题。课中例题分层设计突破重难点，课后练习题覆盖基础与应用，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

1．3.3　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习目标]　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．　　　　　　　　　　　　　　　　 导语 之前我们构造向家长索要零花钱的函数，原来我们想知道具体某一天会得到多少零花钱，而现在我们想知道的是，经过一段时间，一共获得了多少零花钱． 一、等比数列前n项和公式的基本运算 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示　思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得 qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．利用该公式，我们很容易解决一周能向家长要多少零花钱的问题， S7＝2＋22＋23＋…＋27＝＝28－2＝254. 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化． 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq. 所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决． 问题2　同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？ 提示　S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1＝18 446 744 073 709 551 615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧．大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5 800亿年．同学们，看来学好数学是多么的重要． 知识梳理　 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比 与末项 求和公式 公式一 Sn＝ 公式二 Sn＝ 注意点： (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论． (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数. (3)公式二中的a1表示数列的第一项，an表示数列的最后一项(例如1＋2＋22＋…＋2n＝)． 例1　求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； (2)a1＝27，a9＝，q<0. 解　(1)因为a1＝，q＝， 所以S8＝＝. (2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8. 又由q<0，可得q＝－， 所以S8＝＝＝＝. 反思感悟　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立． 跟踪训练1　(1)在等比数列{an}中，首项a1＝8，公比q＝，那么它的前5项和S5的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　S5＝＝＝. (2)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______，前n项和Sn＝____________. 答案　2　2n＋1－2 解析　设等比数列的公比为q， ∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40， ∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20， 解得q＝2，且a1＝2. ∴Sn＝＝2n＋1－2. 二、等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用 例2　已知数列{an}是等比数列． (1)若a1＝2，q＝－，求S10； (2)若S4＝1，S8＝17，求an； (3)若q＝，S100＝150，求a2＋a4＋a6＋…＋a100的值． 解　(1)S10＝＝ ＝×＝. (2)若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1， ∴S4＝＝1， S8＝＝17， 两式相除得＝17＝1＋q4， 解得q＝2或q＝－2. 当q＝2时，a1＝， 当q＝－2时，a1＝－， ∴an＝×2n－1或an＝－×(－2)n－1. (3)方法一　S100＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100 ＝2(a2＋a4＋…＋a100)＋a2＋a4＋…＋a100 ＝3(a2＋a4＋…＋a100)＝150， ∴a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50. 方法二　S100＝＝150， 整理得a1＝75， ∴a2＋a4＋a6＋…＋a100＝ ＝a1＝×75＝50. 反思感悟　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解． 跟踪训练2　等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________. 答案　32 解析　设{an}的首项为a1，公比为q， 则解得 所以a8＝×27＝25＝32. 三、等比数列前n项和公式的应用 例3　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么该人第1天所走路程里数为(　　) A．96 B．126 C．192 D．252 答案　C 解析　由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有 S6＝＝378，解得a1＝192， 所以该人第1天所走路程里数为192. 反思感悟　(1)解应用题的核心是建立数学模型． (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． (3)注意问题是求什么(n，an，Sn)． 跟踪训练3　中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂________盏灯笼． 答案　3 解析　依题意，塔楼内部从上到下各层灯笼数构成等比数列{an}(n∈N＋，n≤9)，公比q＝2，前9项和为1 533，于是得S9＝＝1 533，解得a1＝3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼． 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式． (2)等比数列的前n项和公式的应用． 2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论法． 3．常见误区： (1)忽略q＝1的情况而致错． (2)忽略对参数的讨论． 1．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于(　　) A．－63 B．31 C．－31 D．63 答案　D 解析　S6＝＝26－1＝64－1＝63. 2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论．他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米；……，所以阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：米)构成等比数列{an}，且首项a1＝100，公比q＝，易知a5＝10－2，则乌龟爬行的总距离(单位：米)为S5＝＝＝. 3．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________. 答案　3或－4 解析　因为q≠1，所以S3＝＝＝26，所以q2＋q－12＝0，所以q＝3或q＝－4. 4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________. 答案　6 解析　因为a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又因为Sn＝126，所以＝126，所以n＝6. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分 1．在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于(　　) A．4－2100 B．4＋2100 C．4－2－98 D．4－2－100 答案　C 解析　q＝＝. S100＝＝ ＝4×(1－2－100)＝4－2－98. 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　显然q≠1，由Sn＝， 得93＝， 解得q＝2.由an＝a1qn－1， 得48＝3×2n－1，解得n＝5. 3．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 答案　C 解析　设{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，所以q＝2.又a1＝1，所以S4＝＝15. 4．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为(　　) A．1.14a B．11×(1.15－1)a C．1.15a D．10×(1.16－1)a 答案　B 解析　从今年起到第5年，这个厂的总产值为 a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15＝a×＝11a(1.15－1)． 5．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则S6等于(　　) A．6 B．8 C．9 D．12 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q， 因为a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2， 所以a1(1＋q＋q2)＝1，a1q(1＋q＋q2)＝2， 解得a1＝，q＝2， 所以S6＝＝＝9. 6．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　) A.或5 B.或5 C. D. 答案　C 解析　由9S3＝S6，得q≠1，且＝， 即1＋q3＝9，解得q＝2， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 则数列的前5项和为＝. 7．(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________. 答案　－2 解析　S3＋3S2＝a1＋a2＋a3＋3a1＋3a2＝4a1＋4a2＋a3＝a1(4＋4q＋q2)＝a1(2＋q)2＝0， 故q＝－2. 8．(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________. 答案　2n－1 解析　设等比数列{an}的公比为q. 则q＝＝＝， 所以＝＝＝2n－1. 9．(10分)已知等比数列{an}． (1)若q＝2，S4＝1，求S8的值；(4分) (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S6的值．(6分) 解　(1)方法一　∵q＝2，S4＝1， ∴＝1，即a1＝， ∴S8＝＝＝17. 方法二　∵S4＝＝1，且q＝2， ∴S8＝＝·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17. (2)设等比数列{an}的公比为q，由题意得 即 ∵a1≠0,1＋q2≠0， ∴②÷①得，q3＝，即q＝， ∴a1＝8，∴a4＝a1q3＝8×3＝1， S6＝＝＝. 10．(12分)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)求{bn}的前n项和．(6分) 解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝， 得a1＝2. 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1，n∈N＋. (2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝， 因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列． 记{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝＝－. 11．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝. 12．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为(　　) A．S1 B．S2 C．S3 D．S4 答案　C 解析　由题意知S1正确；若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65；若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12.∴q＝，∴S4＝＝＝65，符合题意． 13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 答案　B 解析　设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1. ∵＝＝qm＋1＝9， ∴qm＝8. ∵＝＝qm＝8＝， ∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2. 14．(5分)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，则m的值是________． 答案　6 解析　设等比数列{an}的公比为q.在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3， 则q2＝＝4，解得q＝±2. 当q＝2时，Sm＝＝63，解得m＝6； 当q＝－2时，Sm＝＝63，整理可得(－2)m＝－188，无整数解． 故m＝6. 15．(5分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在直线y＝x＋上．若bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝________. 答案　 解析　依题意得＝n＋， 即Sn＝n2＋n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－＝2n－； 当n＝1时，a1＝S1＝， 符合an＝2n－， 所以an＝2n－(n∈N＋)， 则bn＝＝32n， 由＝＝32＝9， 可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32×1＝9， 故Tn＝＝. 16．(13分)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N＋. (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(6分) (2)求T2n.(7分) 解　(1)因为an·an＋1＝n， 所以an＋1·an＋2＝n＋1， 所以＝，即an＋2＝an， 因为bn＝a2n＋a2n－1， 所以＝＝＝， 所以{bn}是公比为的等比数列． 因为a1＝1，a1·a2＝， 所以a2＝，b1＝a1＋a2＝， 所以bn＝×n－1＝. (2)由(1)可知an＋2＝an， 所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列， 所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－. 学科网（北京）股份有限公司 $