第1章 1.3.1 等比数列及其通项公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦等比数列及其通项公式核心知识点，通过类比等差数列，从“拉面哥”拉面、古代数学名题等实例观察除法运算规律引入概念，推导通项公式，学习等比中项，应用于实际问题，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 资料以生活与文化实例引入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过类比推理、公式推导培养数学思维，如细菌分裂、车辆贬值等应用问题助力用数学语言表达现实，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固查漏。

1．3.1　等比数列及其通项公式 [学习目标]　1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.3.掌握等比中项的概念并会应用.4.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 导语 山东省临沂市费县人程运付，从2005年底开始赶集摆摊卖拉面，3元拉面15年不涨价.2021年2月，因为顾客偶然拍摄的一段短视频，走红网络，成为远近闻名的“拉面哥”.2021年3月，全国各地的自媒体、商家和游客纷纷朝着“拉面哥”的家乡“集结”，“拉面哥”每天忙碌地为大家“表演”拉面技艺，他娴熟地将一根很粗的面条拉伸、捏合、再拉伸、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条．你知道他这样拉伸、捏合10次后可拉出多少根细面条吗？ 一、等比数列的概念 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9,92，93，94，95，96，97，98； (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…. 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于(1)，我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)，＝，＝，…；对于(3)，＝－，＝－，…；也有相同的取值规律． 知识梳理 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． 注意点： (1)定义的符号表示：＝q(n∈N＋且n≥2)或＝q(n∈N＋)． (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (3)比必须是同一个常数． (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 例1　判断下列数列是否为等比数列： (1)1,3,32，33，…，3n－1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a，－a，a，－a，…. 解　(1)记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)， ∴数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1≠＝2， ∴此数列不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1. 反思感悟　等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零． (2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒． 跟踪训练1　(多选)下列各组数成等比数列的是(　　) A．1，－2,4，－8 B．－，2，－2，4 C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4 答案　ABD 解析　由等比数列的定义知，A，B，D是等比数列，C中当x＝0时，不是等比数列． 二、等比数列通项公式的基本运算 问题2　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2)． 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， …， 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． 知识梳理 等比数列的通项公式 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N＋)． 例2　在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解　(1)因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. (2)a1＝＝＝5，故a1＝5. (3) 由题意得 由，得q＝，从而a1＝32. 又an＝1， 所以32×n－1＝1， 即26－n＝20，故n＝6. 反思感悟　等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 跟踪训练2　在等比数列{an}中： (1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12； (2)若a3·a5＝18，a4·a8＝72，求q. 解　(1)因为a9＝a1·q8， 所以256·q8＝1，即q＝±. 当q＝时，a12＝a1·q11＝256×＝； 当q＝－时， a12＝a1·q11＝256×11＝－. (2)a1·q2·a1·q4＝18，即a·q6＝18. 又a1q3·a1q7＝72，即a·q10＝72. 两式相除得q4＝＝4，所以q＝±. 三、等比中项 问题3　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示　不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；若－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数． 知识梳理 等比中项 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 注意点： (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列． (2)只有同号的两个实数才有等比中项． (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 例3　－2和＋2的等差中项与等比中项分别为(　　) A.，±2 B．2，± C.，±1 D．1，± 答案　C 解析　－2和＋2的等差中项为 ＝， －2和＋2的等比中项为 ±＝±1. 反思感悟　(1)由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． (3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)． 跟踪训练3　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝____________，ac＝____________. 答案　－3　9 解析　因为b是－1，－9的等比中项， 所以b2＝9，b＝±3. 又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3， 而b又是a，c的等比中项， 故b2＝ac，即ac＝9. 四、等比数列的应用 例4　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示m(m∈N＋)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，…， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. ∴m年后车的价值为am＋1＝(13.5×0.9m)万元． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． 反思感悟　解等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答． 跟踪训练4　我国古代春节期间，“剪窗花，贴对联”几乎是每家每户都会进行的迎新活动，窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意．如图是一幅剪纸作品．某位艺术家把一张厚度(单位：cm)为0.012 5的纸对折了三次，开始了该作品的创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的纸张厚度(单位：mm)是________． 答案　1 mm 解析　由题设知对折了三次后纸张厚度为0.012 5×23＝0.1(cm)，即1 mm. 1．知识清单： (1)等比数列的概念． (2)等比数列通项公式的基本运算． (3)等比中项的概念． (4)等比数列的应用． 2．方法归纳：方程(组)思想、构造法． 3．常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xyD⇏x，G，y成等比数列． 1．某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成(　　) A．64个 B．128个 C．256个 D．255个 答案　C 解析　某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256(个)． 2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．－4 答案　D 解析　由题意，得 解得a＝－4，b＝2，c＝8. 3．写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列an＝________. 答案　×3n－1(答案不唯一) 解析　设数列{an}的公比为q，则q＝3， 由已知可得a3<1，∴9a1<1， ∴a1<，故a1可取，故满足条件的等比数列的通项公式可能为an＝×3n－1. 4．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________． 答案　－1或3 解析　设公比为q，则3a1q3＝a1q5－2a1q4. 因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0， 解得q＝－1或q＝3.　 　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．数列1，－，，－，，…的一个通项公式为(　　) A.n－1 B.n C．(－1)nn－1 D．(－1)n＋1n－1 答案　D 解析　根据数列可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列， 所以该数列的通项公式为1×n－1＝(－1)2×(－1)n－1×n－1＝(－1)n＋1n－1. 2．下面四个数列中，一定是等比数列的是(　　) A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4 C．q，2q，4q，8q D.，，， 答案　D 解析　对于A，一定不是等比数列，对于B，C，当q＝0时不是等比数列，故A，B，C错误；对于D，由题意可得q≠0，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确． 3．在等比数列{an}中，若a4＝8，q＝－2，则a7的值为(　　) A．－64 B．64 C．－48 D．48 答案　A 解析　因为a4＝a1q3＝a1×(－2)3＝－8a1＝8，所以a1＝－1，则等比数列的通项公式an＝－(－2)n－1，所以a7＝－(－2)6＝－64. 4．在等比数列a，2a＋2,3a＋3中，a等于(　　) A．4 B．－4 C．－1 D．2 答案　B 解析　由题意，得2＝a，解得a＝－4或a＝－1， 当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件； 当a＝－4时，等比数列为－4，－6，－9，…，满足条件． 5．已知正项等比数列{an}，若3a1，a3，2a2成等差数列，则{an}的公比q等于(　　) A．2 B．－2 C．－3 D．3 答案　D 解析　易知q>0，因为3a1，a3，2a2成等差数列， 所以解得q＝3. 6．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于(　　) A．6 B．－6 C．－12 D．12 答案　AB 解析　∵a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16， ∴b＝±4，∴ab＝±6. 7．(5分)在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为________，通项公式为an＝________. 答案　±2　(－2)n或－2n 解析　∵＝q2， ∴q2＝＝4，即q＝±2. 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1 ＝(－2)n； 当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n. 8．(5分)若公差不为0的等差数列{an}满足a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，则a1＝________. 答案　1 解析　∵a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1a5，即(a3－d)2＝(a3－2d)(a3＋2d)，又a3＝5，则(5－d)2＝(5－2d)(5＋2d)， 解得d＝2或d＝0(舍去)，则a1＝a3－2d＝1. 9．(10分)某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？ 解　设每月平均下降的百分比为x， 则每月的销售额构成了等比数列{an}， a1＝128，则a2＝a1(1－x)， a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32， 解得x＝50%. 设an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5， 即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元． 10．(12分)(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an；(4分) (2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n；(4分) (3)若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q.(4分) 解　(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意知q>0. 由已知得 解得 ∵q>0，∴q＝， ∴an＝128×n－1＝. (2)由an＝a1·qn－1， 得＝×n－1，即n－1＝3，解得n＝4. (3)∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4，∴qn＝1， ∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1. 11．在等比数列{an}中，已知a1＝2，a1－a3＋a5＝26，则a3等于(　　) A．20 B．12 C．8 D．4 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q，则a1－a3＋a5＝a1－a1q2＋a1q4＝2(1－q2＋q4)＝26， 解得q2＝4(负值舍去)，所以a3＝a1q2＝8. 12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　C 解析　因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0， 则由b2＝ac，可得＝，所以a，b，c成等比数列， 反之，由a，b，c成等比数列，可得b2＝ac， 所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件． 13．(5分)画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________． 答案　2 048 解析　依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×()n－1，所以第10个正方形的面积S＝a＝[2×()9]2＝4×29＝2 048. 14．(5分)若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝________. 答案　2n＋2　63 解析　由a4－a3＝2知等差数列{an}的公差d＝2，又a1＋a2＝2a1＋d＝10，故a1＝4，则an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，则等比数列{bn}的公比q＝2，b1＝4.又b6＝ak，故2k＋2＝4×26－1，解得k＝63. 15.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝. 又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， 所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝. 16．(12分)在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，的通项公式． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解　选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋5d＝6a1d， 联立 解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 联立 解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件③： 因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d， 联立 解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 学科网（北京）股份有限公司 $