第1章 1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦等差数列前n项和公式这一核心知识点，通过高斯求和问题引入，结合唐代诗歌对称性分析搭建认知支架，系统推导倒序相加法，梳理首项、公差、项数等五个量的关系及Sn与an的转化，形成从具体到抽象的学习脉络。 资料特色在于情境化与问题驱动设计，以高斯故事、诗歌数量特征激发学习兴趣，体现数学眼光观察现实世界。通过老张跑步、《张邱建算经》织布等实例，培养数学思维与建模能力，例题分层及跟踪训练助力课堂教学，课后练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1．2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学习目标]　1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an. 导语 高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人之一，享有“数学王子”的美誉．高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100＝？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来．不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5 050！”老师和其他同学都很吃惊．你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？ 一、等差数列的前n项和公式 问题1　请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 　　　　花，　　　　　　 花． 　 　　深浅，　　　　　 芬葩． 　　凝为雪，　　　　 错为霞． 　 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮． 已迷金谷路，　　 频驻玉人车． 　 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家． 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯． 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示　诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案． 问题2　对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d. 提示　倒序相加法 ⇒ 两式的两边分别相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 知识梳理 等差数列前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注意点： (1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和． (2)由公式二知当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”． (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． 例1　在等差数列{an}中， (1)已知a3＝16，S20＝20，求S10； (2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12； (3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以S10＝10×20＋＝200－90＝110. (2)因为Sn＝n·＋·＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以a12＝＋(12－1)×＝－4. (3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， 所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30. 又因为Sn＝＝210， 所以n＝＝14. 反思感悟　等差数列前n项和公式应用的关注点 (1)在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an用公式Sn＝较简便；若已知首项a1及公差d用公式Sn＝na1＋d较好． (2)在运用公式Sn＝求和时，要注意性质“m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq”的运用． (3)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二． 跟踪训练1　在等差数列{an}中， (1)已知a1＝，S4＝20，求S6； (2)已知a14＝10，求S27. 解　(1)∵S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，∴d＝3. 故S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48. (2)∵a14＝10，a1＋a27＝2a14， ∴S27＝＝27a14＝270. 二、等差数列前n项和的实际应用 例2　老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天比前一天多跑的距离相同．若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为(　　) A．8 B．9 C．13 D．14 答案　B 解析　由已知可得这20天日跑步量成等差数列，记为{an}， 设其公差为d，前n项和为Sn，且a1＝3， 则S20＝20a1＋×d，即20×3＋×d＝98， 解得d＝， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)·＝＋， 由an>5，得＋>5， 解得n>11， 所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20－11＝9. 反思感悟　(1)建立等差数列前n项和的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数． (2)在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，这是数学建模的核心素养． 跟踪训练2　《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织______尺布(不作近似计算)． 答案　 解析　由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，则S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.故该女子织布每天增加 尺． 三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列 问题3　(1)等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？ (2)二次函数形式Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C为常数)都表示等差数列的前n项和吗？ (3)数列{an}中，Sn与Sn－1(n≥2)有何关系？ 提示　(1)能． (2)不是． (3)an＝Sn－Sn－1(n≥2)． 知识梳理 数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝ 注意点： (1)这一关系对任何数列都适用． (2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示． 若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式表示． 例3　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求这个数列的通项公式，并判断这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解　当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1， 又a1＝5适合上式，∴an＝4n＋1，n∈N＋. 故数列{an}是等差数列， 它的首项a1＝5，公差d＝4. 反思感悟　等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列． 跟踪训练3　已知一个数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r. (1)当r＝0时，求证：该数列{an}是等差数列； (2)若数列{an}是等差数列，求r满足的条件． (1)证明　当r＝0时，Sn＝25n－2n2，令n＝1，a1＝S1＝25－2＝23， 当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2， 所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n， 此时a1＝27－4＝23，适合上式， 所以an＝27－4n， 所以d＝an－an－1＝27－4n－27＋4(n－1)＝－4， 可得数列{an}是公差为－4，首项为23的等差数列． (2)解　Sn＝25n－2n2＋r， 令n＝1，得a1＝S1＝25－2＋r＝23＋r， 当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n， 所以d＝an－an－1＝27－4n－27＋4(n－1)＝－4， 可得当n≥2时，数列{an}是公差为－4的等差数列， 所以若数列{an}是等差数列， 则a1＝27－4＝23＝23＋r， 所以r＝0. 1.知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式． (2)等差数列在实际问题中的应用． (3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列． 2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想． 3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论． 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A．－n2＋ B．－n2－ C.n2＋ D.n2－ 答案　A 解析　∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1， ∴Sn＝＝－n2＋. 2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案　B 解析　∵S5＝＝5a3＝25， ∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2， ∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13. 3．据科学计算，运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭，在点火后1分钟通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是____________分钟． 答案　15 解析　由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列，设第n分钟后通过的路程为an，则a1＝2，公差d＝2，所以an＝2n，Sn＝·n＝240，解得n＝15或n＝－16(舍去)． 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an＝________. 答案　2n 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，当n＝1时，a1＝2也适合an＝2n， 综上，an＝2n(n∈N＋)． 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于(　　) A．27 B. C．45 D．－9 答案　A 解析　由已知得数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列， ∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27. 2．在等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于(　　) A. B．2 C. D．4 答案　A 解析　设公差为d，由题意得 10a1＋×10×9d＝4， 所以10a1＋45d＝20a1＋40d， 所以10a1＝5d，所以＝. 3．一物体从1 960米的高空降落，如果第1秒降落4.90米，以后每秒比前一秒多降落9.80米，那么经过________秒落到地面(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 答案　C 解析　设物体经过t秒降落到地面． 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960， 即4.90t2＝1 960，解得t＝20. 4．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　) A．765 B．665 C．763 D．663 答案　B 解析　∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100， ∴n<15， ∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665. 5．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝n2－4n D．Sn＝n2－2n 答案　AC 解析　设首项为a1，公差为d. 由S4＝0，a5＝5可得解得 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n. 6．已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为(　　) A．24 B．26 C．25 D．28 答案　B 解析　设该等差数列为{an}， 由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67， 又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， ∴4(a1＋an)＝21＋67＝88，∴a1＋an＝22. ∴Sn＝＝11n＝286，∴n＝26. 7．(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________. 答案　0 解析　设公差为d，由题意知a2＝a1＋d＝－3， S5＝5a1＋d＝－10，即a1＋2d＝－2， 解得a1＝－4，d＝1，所以a5＝a1＋4d＝0. 8．(5分)数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________． 答案　－1 解析　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，∴λ＝－1. 9．(10分)在等差数列{an}中． (1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；(5分) (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.(5分) 解　(1)由题意得，Sn＝＝＝－5， 解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－.∴n＝15，d＝－. (2)由已知得S8＝＝＝172， 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. 10．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 解　当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n. 又a1＝1不满足an＝2n， ∴数列{an}的通项公式是an＝ ∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2， ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列． 11．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，则第八个孩子分得斤数为(　　) A．65 B．176 C．183 D．184 答案　D 解析　由已知得，每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996. 由等差数列前n项和公式可得 8a1＋×17＝996， 解得a1＝65. 由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184. 12．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　由S13＝＝0， 得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2， ∴数列{an}的通项公式为 an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14， 由2n－14>0，得n>7，则使得an>0的最小正整数n为8. 13．(5分)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝40，则a3a8的最大值为________． 答案　16 解析　∵正项等差数列{an}的前n项和为Sn， S10＝＝＝40， ∴ ∴a3a8≤2≤2＝16.当且仅当a3＝a8＝4时取等号． 14．(5分)已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，则数列的前n项和Tn＝________. 答案　n2－n 解析　设等差数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d. ∵S7＝7，S15＝75，∴ 即解得 ∴＝a1＋d＝－2＋，∴－＝， ∴数列是等差数列，且其首项为－2，公差为. ∴Tn＝n2－n. 15．(5分)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 答案　3n2－2n 解析　方法一　(观察归纳法) 数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…； 数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，…. 观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列， 则an＝1＋6(n－1)＝6n－5. 故前n项和为Sn＝＝ ＝3n2－2n. 方法二　(引入参变量法) 令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm， 则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数． 令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)． at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5. 下同方法一． 16．(12分)某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 解　设最下面一层放n根，则最多可堆n层，则1＋2＋3＋…＋n＝≥600， 所以n2＋n－1 200≥0，记ƒ(n)＝n2＋n－1 200， 因为当n∈N＋时，f(n)单调递增， 而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0， 所以n≥35，因此最下面一层最少放35根． 因为1＋2＋3＋…＋35＝630， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层． 故最下面一层放35根，共堆了28层． 学科网（北京）股份有限公司 $