第1章 1.2.2 等差数列与一次函数（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦“等差数列与一次函数”核心知识点，从前序等差数列通项公式出发，通过变形an=dn+(a1-d)建立与一次函数的联系，衔接判定证明方法及下标性质、单调性等内容，构建完整知识支架。 资料以问题驱动探究，如通过“通项公式与哪类函数有关”引导学生用数学眼光发现联系，结合例1图象分析单调性、跟踪训练1二次函数系数问题培养数学思维，逻辑推理与规范表达并重，助力课中教学与课后巩固。

1.2.2　等差数列与一次函数 [学习目标]　1.理解等差数列的通项公式与一次函数的关系.2.掌握等差数列的判定和证明方法． 导语 前面我们学习了等差数列的通项公式，现在我们对它进行变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，你知道它与我们熟悉的哪一类函数有关吗？ 一、等差数列的通项公式与一次函数的关系 问题1　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，记为d＝(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，等差数列{an}递增；d＝0时，数列{an}为常数列；d<0时，等差数列{an}递减． 知识梳理 等差数列的单调性与图象 对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d)．当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d＝0时，y＝a1(a1为常数)．这两种情形的函数图象都是直线．这就说明，当用直角坐标系中的点来表示等差数列时，所有的点一定在一条直线上，且等差数列的图象由该直线上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成． (1)当d>0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右上升，等差数列{an}递增(如图甲)； (2)当d<0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右下降，等差数列{an}递减(如图乙)； (3)当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列为常数列(如图丙)． 例1　已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (1)求首项a1和公差d； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的单调性． 解　(1)由于an＝2n－1＝1＋2(n－1)， 所以首项a1＝1，公差d＝2. (2)数列{an}的图象是直线y＝2x－1上一些等间隔的点，如图所示． (3)由(1)可知d>0，所以数列{an}是递增数列． 反思感悟　根据等差数列{an}的通项公式an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p＝dn＋(a1－d)，可知首项a1＝q＋p，公差d＝p.当公差d>0时，数列{an}是递增数列，当d<0时，数列{an}是递减数列． 跟踪训练1　已知数列是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________. 答案　0 解析　∵是等差数列，且an＝an2＋n， ∴an是关于n的一次函数，∴a＝0. 二、等差数列的判定与证明 例2　已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N＋)确定． (1)求证：是等差数列； (2)当x1＝时，求x100. (1)证明　xn＝f(xn－1)＝(n≥2，n∈N＋)， 所以＝＝＋， －＝(n≥2，n∈N＋)． 所以是等差数列． (2)解　由(1)知的公差为. 又因为x1＝，即＝2. 所以＝2＋(n－1)×，＝2＋(100－1)×＝35. 所以x100＝. 反思感悟　判断一个数列是等差数列的方法 (1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (3)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列． 跟踪训练2　判断下列数列是否为等差数列： (1)an＝3n－1； (2)an＝ 解　(1)通项公式an＝3n－1是关于n的一次函数，所以这个数列是等差数列． (2)由通项公式an＝ 知a1＝1，a2＝1，a3＝2. a2－a1≠a3－a2，所以该数列不是等差数列． 三、等差数列的性质 问题2　如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 提示　由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d. 问题3　若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？ 提示　由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，容易发现am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，故有am＋an＝ap＋aq. 知识梳理 1．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)； (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)； (3)d＝(m，n∈N＋，且m≠n)． 2．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则有am＋an＝2ap. 注意点： (1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． (2)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…. (3)若an＝m，am＝n(n≠m)，则an＋m＝0.(证明：＝，即＝，＝－1，故an＋m＝0) 例3　(1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 解　方法一　(利用an＝am＋(n－m)d) 设数列 {an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d， 所以d＝＝＝， 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 方法二　(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，解得d＝4， 所以a75＝a60＋d＝24. (2)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于(　　) A．7 B．14 C．21 D．7(n－1) 答案　B 解析　因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7， 所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. 延伸探究　在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10. 解　方法一　设数列{an}的公差为d. 则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d) ＝4a1＋36d＝4(a1＋9d) ＝4a10＝40， ∴a10＝10. 方法二　∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10. 反思感悟　(1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担． (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)， 则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 跟踪训练3　(1)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________. 答案　8 解析　方法一　∵{bn}为等差数列， ∴可设其公差为d， 则d＝＝＝2， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. ∴b8＝2×8－8＝8. 方法二　由＝＝d， 得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. (2)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　) A．－2 B．－ C．2 D. 答案　C 解析　由3＋an＝an＋1， 得an＋1－an＝3. 所以{an}是公差为3的等差数列． 又a2＋a4＋a6＝9， 且a2＋a6＝2a4， 所以3a4＝9， 则a4＝3， 所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12， 故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2. 1．知识清单： (1)等差数列通项公式与一次函数的关系． (2)等差数列的判定与证明． (3)等差数列的项与项之间的性质及应用． 2．方法归纳：定义法、公式法、构造法、解方程组法． 3．常见误区： (1)不注意运用性质而出错或解法烦琐． (2)实际问题中项数的确定． 1．对于数列{an}，“an＝kn＋b(k，b为常数)”是“数列{an}为等差数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　C 2．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 答案　B 解析　等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝－2<0，故数列{an}是递减数列． 3．在等差数列{an}中，若a2＋a6＝6，a5＝8，则a10等于(　　) A．20 B．25 C．30 D．33 答案　D 解析　方法一　设等差数列的公差为d， 则解得 则a10＝－12＋5×9＝33. 方法二　因为a2＋a6＝2a4＝6，所以a4＝3. 又a5＝8，所以d＝a5－a4＝5， 所以a10＝a5＋(10－5)d＝8＋5×5＝33. 4．已知数列{an}中，a1＝1，＝1＋(n∈N＋)，则a10等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　令bn＝(n∈N＋)，则bn＋1＝1＋bn，b1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以bn＝n，an＝，所以a10＝.　 　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．已知数列{an}满足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N＋)，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列 B．数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列 C．数列{an}是以－3为首项，3为公差的等差数列 D．数列{an}是以－3为首项，－3为公差的等差数列 答案　B 解析　因为数列{an}满足a1＝3，且an＝an＋1＋3，即an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列． 2．下列各数列中首项为零的等差数列是(　　) A．an＝2n B．an＝2(n－1) C．an＝2n D．an＝2n－1 答案　B 解析　对于选项A，该数列首项为2，不符合题意； 对于选项B，该数列是首项为2×(1－1)＝0，公差为2的等差数列，符合题意； 对于选项C，该数列首项为2，不符合题意； 对于选项D，该数列首项为1，不符合题意． 3．在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，公差d等于(　　) A．4 B．2 C．－2 D．2或－2 答案　B 解析　因为在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝a4＋a5＝－6，a4a5＝8， 所以a4＝－4，a5＝－2， 则公差d＝a5－a4＝2. 4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　) A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 答案　C 解析　由等差数列的性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51， 由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0， 故a3＋a99＝2a51＝0. 5．在数列{an}中，a1＝5，3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则an等于(　　) A.n＋ B．－n＋ C．－n－ D.n－ 答案　B 解析　依题意a1＝5，3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，所以an＋1＝an－，即an＋1－an＝－， 所以数列{an}是首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝－n＋5＋＝－n＋. 6．(多选)在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点在直线x－y－＝0上，则(　　) A．数列{an}是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列{an}的通项公式为an＝3n D．数列的通项公式为＝n 答案　BD 解析　∵点在直线x－y－＝0上，∴－＝， ∴数列是以＝为首项，为公差的等差数列，B正确； ∴＝＋＝n，D正确； ∴an＝3n2，C错误； ∴an－an－1＝3n2－32＝6n－3，∴{an}不是等差数列，A错误． 7．(5分)在数列{an}中，a1＝2，a8＝16，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则a2 024＝________. 答案　4 048 解析　因为数列{an}的通项公式是关于n的一次函数，所以数列{an}为等差数列． 设等差数列{an}的公差为d， 则a8＝a1＋7d＝2＋7d＝16， 解得d＝2， 所以an＝2＋2(n－1)＝2n， 则a2 024＝2×2 024＝4 048. 8．(5分)在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20＝________. 答案　 解析　对an＋1＝取倒数得＝＋3， ∴－＝3， ∴是以为首项，3为公差的等差数列． ∴＝＋3(n－1) ＝3n－＝， ∴an＝，∴a20＝. 9．(9分)在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值． 解　方法一　设公差为d， 则d＝＝＝－1， 从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0. 方法二　设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)， 则 得a＝－1，b＝m＋n. 所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0. 10．(12分)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋)． (1)证明：数列是等差数列；(6分) (2)求数列{an}的通项公式．(6分) (1)证明　由＝＝＝＝＋， 即－＝，n∈N＋， 故数列是等差数列． (2)解　由(1)知＝＋×＝，所以an＝，n∈N＋. 11．(多选)下列关于公差d>0的等差数列{an}的结论中，正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 答案　AD 解析　设等差数列{an}的首项为a1，d>0， 则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)， ∴数列{an}是递增数列，A正确； nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，数列{nan}不是递增数列，B错误； ＝d＋，当a1－d>0时，数列不是递增数列，C错误； [an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，∴数列{an＋3nd}是递增数列，D正确． 12．等差数列an中，若a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 012＋a2 023等于(　　) A．10 B．15 C．20 D．40 答案　B 解析　∵a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根， ∴a2＋a2 022＝10， 由等差数列的性质得2a1 012＝10，即a1 012＝5， ∴a1＋a1 012＋a2 023＝3a1 012＝15. 13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则满足an>的n的最大值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　B 解析　因为an＋1＝，两边取倒数，得＝，整理得－＝4，又＝1，所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，＝1＋(n－1)×4＝4n－3，则an＝，因为an>，即>，解得n<8，n∈N＋，所以n的最大值是7. 14．(5分)已知数列{an}的首项为－1，设Sn是数列{an}的前n项和，且an＋1＝2SnSn＋1，则Sn＝________. 答案　 解析　∵an＋1＝Sn＋1－Sn(n∈N＋)，∴Sn＋1－Sn＝2SnSn＋1，∴－＝－2(n∈N＋)，∵a1＝－1， ∴＝－1，∴是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴＝－1－2(n－1)＝1－2n，即Sn＝. 15．(5分)在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是________． * 74 2y 186 y 103 0 x 2x 答案　142 解析　记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52＝x，a41＝y. 由第3行得a33＝， 由第3列得a33＝2×103－2x， 所以2x＋y＝113.① 由第1列得a21＝3y， 则由第2行得a23＝2×74－3y， a33＋103＝a23＋2x，a23＝3×103－4x， 所以2×74－3y＝3×103－4x， 即4x－3y＝161，② 由①②，得x＝50，y＝13， 所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＝2a33－a53＝112，a14＝＝142， 故标有*号的空格应填142. 16．(12分)定义数列“从第二项起，若数列{an} 的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列{an} 为等平方差数列，d 叫作此数列的公平方差．” 已知数列{an} 为“等平方差数列”，且a1＝1，a5＝3. (1)判断满足条件的数列{an} 是否唯一，并说明理由；(6分) (2)求正项数列{an} 的通项公式，并判断其单调性．(6分) 解　(1)根据“等平方差数列”的定义，及a1＝1，a5＝3，得a＝a＋d＝a＋2d＝a＋3d＝a＋4d，即9＝1＋4d，解得d＝2. 依题意，得a＝a＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以an＝±， 所以满足条件的数列{an} 不唯一． (2)因为an＞0，所以由(1)得an＝. 因为an－an＋1＝－ ＝＜0， 所以an＜an＋1，所以数列{an} 是递增数列． 学科网（北京）股份有限公司 $