第1章 §1.1 第2课时 数列的递推公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦数列的递推公式，承接数列概念与通项公式，系统梳理递推公式定义、由递推公式求通项（累加法、累乘法）、an与Sn的关系及数列单调性与最大（小）项，构建递进式学习支架。 通过钢管堆放情境导入培养数学眼光，结合归纳法、累加法等多种方法发展推理能力，例题与跟踪训练强化数学语言表达，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

第2课时　数列的递推公式 [学习目标]　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式.4.会求数列的最大(小)项． 导语 同学们，前面我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛． 一、数列的递推公式 问题1　观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 提示　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7，n∈N＋)． 知识梳理 如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 注意点： (1)通项公式反映的是an与n之间的关系． (2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项． 例1　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N＋，求a6. 解　a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－，a4＝＝＝， a5＝＝＝2，a6＝＝＝－3. 延伸探究　在本例的条件下，求a2 024. 解　由例1知，a5＝2＝a1，a6＝－3＝a2，…， ∴{an}是周期为4的周期数列， ∴a2 024＝a4＝. 反思感悟　递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性)． 跟踪训练1　已知数列{an}的初始条件a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3 ＝a2＋＝. 二、由递推公式求通项公式 例2　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为 a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝， a3＝＋－＝2－＝， a4＝＋－＝2－＝， a5＝＋－＝2－＝，…， 又a1＝1， 由此可得数列的一个通项公式为an＝. 方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－， a3＝a2＋－，…， an＝an－1＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2)． 又a1＝1也适合上式， 所以an＝(n∈N＋)． 方法三　(累加法)　an＋1－an＝－， a1＝1， a2－a1＝1－， a3－a2＝－， a4－a3＝－， …， an－an－1＝－(n≥2)， 以上各式累加得 an＝1＋1－＋－＋…＋－. 所以an＝(n≥2)． 因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N＋)． (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于(　　) A．n＋1 B．n C. D. 答案　D 解析　由题意，因为数列{an}满足an＋1＝an，所以＝， 所以an＝··…···a1＝××…×××1＝. 反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． ②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决． 跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an. 解　因为an＝an－1＋－(n≥2)， 所以an－an－1＝－. 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝－＋1. 又a1＝1也符合上式， 所以an＝－＋1，n∈N＋. (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 解　因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1， 即＝e(n≥2)． 所以an＝··…··a1 ＝·1＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N＋. 三、an与Sn的关系 问题2　如果已知某数列的前n项和Sn＝n2＋n，如何求a4? 提示　a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8. 知识梳理　 1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ . 注意点： (1)注意等式成立的条件． (2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项． (3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn－1，然后作差求得． 例3　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 解　因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32，n∈N＋. 延伸探究　将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an. 解　因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1] ＝4n－32. 当n＝1时不符合上式．所以an＝ 反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝ 跟踪训练3　已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn＝2n2＋3n＋2； (2)Sn＝3n－1. 解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2＋3n＋2－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1， 又a1＝7不适合上式， 所以an＝ (2)当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1) ＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式， 所以an＝2×3n－1(n∈N＋)． 四、数列的单调性及最大(小)项 知识梳理 数列按项的变化趋势分类 (1)递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列； (2)递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列； (3)常数列：各项都相等的数列； (4)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 例4　(1)下列数列中，为递增数列的是____，为递减数列的是________，为常数列的是______． ①1,0.84,0.842，0.843，…； ②2,4,6,8,10，…； ③7,7,7,7，…； ④，，，，…； ⑤10,9,8,7,6,5,4,3,2,1. 答案　②　①④⑤　③ 解析　由数列的单调性，易知②是递增数列；①④⑤是递减数列；③是常数列． (2)已知数列{an}的通项公式是an＝nn，n∈N＋.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 解　根据题意，令 即 解得2≤n≤3.又n∈N＋，则n＝2或n＝3. 故数列{an}有最大项，为第2项和第3项， 且a2＝a3＝2×2＝. 反思感悟　求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 跟踪训练4　(1)已知数列an＝－n2＋4n＋2，则该数列中最大项的序号是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　A 解析　因为an＝－(n－2)2＋6，n∈N＋， 所以当n＝2时，an取得最大值． (2)下列数列哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ ①2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022； ②0，，，，…； ③1，，，，…； ④－，，－，，…； ⑤1,0，－1,0,1,0，…； ⑥9,9,9,9,9,9. 解　①②是递增数列；③是递减数列；⑥是常数列；④⑤是摆动数列． 1．知识清单： (1)数列的递推公式． (2)由递推公式求通项公式． (3)数列的前n项和Sn与an的关系． (4)数列的单调性及最大(小)项． 2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法． 3．常见误区： (1)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式． (2)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况． 1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N＋)，则a4的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 解析　因为a1＝2，an＋1＝an＋n， 所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8. 2．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N＋)，则a5等于(　　) A．32 B．31 C．16 D．15 答案　C 解析　当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1， 当n＝5时，a5＝24＝16. 3．已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________. 答案　3n＋2 解析　an＝an－1＋3即an－an－1＝3，利用累加法得an＝3n＋2. 4．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N＋，则该数列从第______项开始递增，数列的最小值为______． 答案　4　－36 解析　因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，又n∈N＋， 故数列{an}从第4项开始递增． an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36， 即这个数列有最小值，最小值为－36.　 　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．已知数列an＝n，则该数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 答案　C 解析　因为an＝n，所以该数列的项为－，，－，，…，故该数列是摆动数列． 2．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N＋)，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　) A．15 B．255 C．16 D．63 答案　B 解析　由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255. 3．数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是(　　) A．an＋1＝2an B．an＋1＝－2an C．an＋1＝an D．an＋1＝－an 答案　D 4．已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N＋)．若数列{an}是常数列，则a等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案　A 解析　∵数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N＋)， ∴a2＝. ∵数列{an}是常数列，∴a＝，解得a＝－2. 5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N＋ B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2 C．an＋1＝an＋，n∈N＋，n≥2 D．an＝an－1＋，n∈N＋，n≥2 答案　B 解析　结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4， ∴an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2. 6．(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是(　　) A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2) C．an＝2n D．an＝2n(n≥2) 答案　AD 解析　Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝ 7．(5分)在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是________． 答案　108 解析　an＝－2n2＋29n＋3对应的抛物线开口向下，对称轴为n＝－＝＝7， ∵n是整数， ∴当n＝7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108. 8．(5分)已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N＋)，则a9＝________. 答案　 解析　a1a2…a8＝82，① a1a2…a9＝92，② 由②÷①得，a9＝＝. 9．(10分)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由． 解　存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1， a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，…. ∵当n≥3时，＝× ＝＝2<1， ∴an＋1<an，即n≥3时，{an}是递减数列． 又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝. ∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项． 10．(12分)(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求{an}的通项公式；(6分) (2)已知数列{an}中，a1＝，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．(6分) 解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 当n＝1时，a1＝－1，符合上式， 所以{an}的通项公式是an＝4n－5，n∈N＋. (2)因为an＝an－1(n≥2)， 所以当n≥2时，＝， 所以＝，＝，…，＝，＝， 以上n－1个式子左右两边分别相乘，得 ··…·· ＝××…××， 即＝××2×1，所以an＝(n≥2)． 当n＝1时，a1＝，符合上式． 所以数列{an}的通项公式是an＝，n∈N＋. 11．若数列的通项公式为an＝，则这个数列中的最大项是(　　) A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项 答案　C 解析　an＝＝， 因为 n＋≥2＝28， 当且仅当n＝14时，n＋有最小值28， 所以当n＝14时，取得最大值. 12．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 024等于(　　) A. B．－1 C．2 D．3 答案　B 解析　由题意知a1＝，an＋1＝1－， 当n＝1时，a2＝1－＝－1； 当n＝2时，a3＝1－＝2； 当n＝3时，a4＝1－＝＝a1； 当n＝4时，a5＝1－＝－1＝a2； …， 所以数列{an}是周期为3的周期数列， 故a2 024＝a3×674＋2＝a2＝－1. 13．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于(　　) A．a2 021 B．a2 022 C．a2 023 D．a2 024 答案　C 解析　由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)， 则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a5＋a6＋…＋a2 022＝a2 021＋a2 022＝a2 023. 14．(5分)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，第k项满足5<ak<8，则k＝________. 答案　7 解析　当n＝1时，a1＝S1＝－5； 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)＝n2－8n＋7， an＝Sn－S n－1＝2n－7， 当n＝1时，a1＝－5符合上式， 所以{an}的通项公式为an＝2n－7， 所以ak＝2k－7.由5<2k－7<8解得6<k<7.5， 因为k为正整数，所以k＝7. 15．(5分)在一个数列中，如果对任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 答案　28 解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列， 且a1＝1，a2＝2，a3＝4， 因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 16．(12分)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值． 解　若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1. 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)， 若a2为偶数，则＝1，a2＝2. 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)， 若a1为偶数，则＝2，a1＝4； 若a3为偶数，则＝4，a3＝8. 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)， 若a2为偶数，则＝8，a2＝16. 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 若a1为偶数，则＝16，a1＝32. 故m所有可能的取值为4,5,32. 学科网（北京）股份有限公司 $