第1章 §1.1 第1课时 数列的概念及通项公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦数列的概念、分类、通项公式及简单应用核心知识点，承接初中数与式基础，为后续等差等比数列学习搭建支架，通过自然情境导入、实例对比分析及例题训练，引导学生从具体到抽象理解知识。 资料以树木分叉等自然现象为导语，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过多个实例对比分析概念，发展抽象能力与推理意识，例题变式训练提升数学语言表达与模型意识，课中助力教师教学，课后练习题帮助学生巩固查漏。

第1课时　数列的概念及通项公式 [学习目标]　1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 导语 有人说，大自然是懂数学的，例如树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？通过本节课的学习，这些问题都会得到解决． 一、数列的概念与分类 问题1　观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401,16 807； (2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； (3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 024,2 024，…，2 024； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…； (5)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化． 知识梳理 1．数列：按照一定顺序排成的一列数叫作数列． 2．数列的项：数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的第n项． 3．一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 4．数列按项的个数分类 (1)有穷数列：只有有限多项的数列称为有穷数列． (2)无穷数列：有无穷多项的数列称为无穷数列． 5．数列{an}可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，f(3)，….与函数的表示方法一样，数列还可以用列表法和图象法来表示． 注意点： (1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列． (2)同一个数可以在数列中重复出现． (3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项． 例1　下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1){0,1,2,3,4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)－3，－1,1，x，5,7，y，11是一个项数为8的数列． 解　(1)错误．{0,1,2,3,4}是集合，不是数列． (2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列． (3)错误．当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成． 反思感悟　(1)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n. (2)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别． 跟踪训练1　指出下列数列是有穷数列，还是无穷数列？ (1)2 011,2 015,2 019,2 023； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)1，－，，…，，…. 解　(1)是有穷数列． (2)是无穷数列． (3)是无穷数列． (4)是无穷数列． 二、数列的通项公式 问题2　我们发现问题1中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示　对于(1)，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈； 对于(2)，an＝n－1，n∈N＋； 对于(3)，an＝2 024，n∈{x|x是本班学生的学号}； 对于(5)，an＝n，n∈N＋. 知识梳理 如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式． 注意点： (1)并不是所有的数列都有通项公式． (2)有些数列的通项公式表达形式不唯一． 例2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－1，，－，； (2)，2，，8； (3)0,1,0,1； (4)9,99,999,9 999. 解　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝由第(1)题也可以写成an＝(n∈N＋)或an＝(n∈N＋)． (4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋. 延伸探究　 根据本例中的第(4)题，试解决以下2个问题： 1．试写出前4项为1,11,111,1 111的一个通项公式． 解　由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，即an＝(10n－1)，n∈N＋. 2．试写出前4项为7,77,777,7 777的一个通项公式． 解　由本例的第(4)题可知，每一项乘即可， 即an＝(10n－1)，n∈N＋. 反思感悟　根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．有时也可用分段形式． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 跟踪训练2　写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1,3,7,15,31，…； (2)，，，，，…； (3)－，，－，，－，…； (4)2×3,3×4,4×5,5×6，…. 解　(1)由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，…，可得an＝2n－1. (2)由＝，＝，＝，＝，＝，…，可得an＝. (3)由－，，－，，－，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得an＝(－1)n×. (4)由2×3＝×，3×4＝×，4×5＝×，5×6＝×，…，可得an＝(n＋1)(n＋2)． 三、数列通项公式的简单应用 例3　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N＋. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项． 解　(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15. (2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是数列{an}中的第5项． 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0， 解得n＝－1(舍去)或n＝(舍去)， 故3不是数列{an}中的项． 反思感悟　(1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N＋，且a4－a2＝72. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项． 解　(1)由题意知q4－q2＝72， 则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3. (2)当q＝3时，an＝3n.显然－81不是此数列中的项； 当q＝－3时，an＝(－3)n. 令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项． 1．知识清单： (1)数列的概念与分类． (2)数列的通项公式． (3)数列通项公式的简单应用． 2．方法归纳：观察法、归纳法、猜想法． 3．常见误区： (1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面． (2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系． 1．下列说法正确的是(　　) A．数列中不能重复出现同一个数 B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C．1,1,1,1不是数列 D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 答案　D 解析　由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确； B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确． 2．数列，－，，－，…的通项公式可能是(　　) A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n－1 C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n－1 答案　D 解析　方法一　将n＝1,2,3,4代入各选项验证易得答案． 方法二　将数列，－，，－，…变为，－，，－，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n＋2，再结合正负的调节，可知其通项公式可以为an＝(－1)n－1. 3．下列各式是数列的是__________；是有穷数列的是____________；是无穷数列的是____________． ①{1,3,5,7,9}；②4,3,2,1,0；③所有无理数；④1,2,3,4，…；⑤2,2,2,2,2. 答案　②④⑤　②⑤　④ 解析　①是集合，不是数列；③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来；②④⑤是数列，其中④是无穷数列，②⑤是有穷数列． 4．数列{an}的通项公式为an＝则a3＋a6＝________. 答案　8 解析　a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．数列可以用图象来表示 B．有些数列的通项公式不唯一 C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示 答案　ABD 解析　数列中的项可以相等，故选项C中说法不正确． 2．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(n2－1)，则a6等于(　　) A．35 B．－11 C．－35 D．11 答案　A 3．已知数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n·2n＋a，且a3＝－5，则实数a等于(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 答案　B 解析　因为an＝(－1)n·2n＋a，a3＝－5， 所以－23＋a＝－5，解得a＝3. 4．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是(　　) A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋ B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋ C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N＋ D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N＋ 答案　A 解析　数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式可以是an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋. 5．数列，，，，…的第10项是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知数列的通项公式是an＝(n∈N＋)，所以a10＝＝. 6．(多选)下列通项公式中，可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是(　　) A．an＝[1－(－1)n] B．an＝ C．an＝[1－(－1)n] D．an＝ 答案　ABD 解析　代入验证，可知A，B，D均符合题意． 7．(5分)在数列，，，，，…中，有序数对(a，b)可以是__________． 答案　(15,26) 解析　由已知，各项可写为，，，，，…，可得a＝3×5＝15，b＝24＋2＝26，故有序数对(a，b)为(15,26)． 8．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝________，若an＝，则n＝________. 答案　　12 解析　∵an＝，∴a10＝＝. 由an＝＝，得n2＋2n－168＝0， 解得n＝12或n＝－14(舍去)． 9．(9分)写出下列各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(3分) (2)，，，，，…；(3分) (3)0.3,0.33,0.333,0.333 3，….(3分) 解　(1)各项是从4开始的偶数， 所以an＝2n＋2，n∈N＋. (2)每一项分母可写成21，22，23，24，25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N＋. (3)因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3,0.33,0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的， 所以an＝，n∈N＋. 10．(12分)已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，an是关于项数n的一次函数． (1)求{an}的通项公式，并求a2 023；(8分) (2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试写出{bn}的一个通项公式．(4分) 解　(1)设an＝kn＋b(k≠0)， 则解得 ∴an＝2n＋1(n∈N＋)，∴a2 023＝4 047. (2)∵a2，a4，a6，a8，…为5,9,13,17，…， ∴bn＝4n＋1. 11．设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则a2等于(　　) A. B.＋ C.＋＋ D.＋＋＋ 答案　C 解析　∵an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，∴a2＝＋＋. 12．已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，则该数列的第22项为(　　) A．6 B．7 C．64 D．65 答案　B 解析　由按规律排列的数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，可知1是1个，2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个， 因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21,1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7. 13．数列－1，，－，，…的一个通项公式是(　　) A．an＝(－1)n· B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n· D．an＝(－1)n· 答案　D 解析　数列的奇数项为负，偶数项为正，分母可调整为3,5,7,9，可表示为2n＋1，分子可调整为1×3,2×4,3×5,4×6，…，故通项公式可以为an＝(－1)n·(n∈N＋)． 14．(5分)若数列{an}的通项公式为an＝cos，则a5＝________，a2n＝________. 答案　－　 解析　因为an＝cos， 所以a5＝cos＝－sin ＝－， a2n＝cos＝cos ＝ 15．(5分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________. 答案　61 解析　f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61. 16．(12分)已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)判断是不是数列{an}中的项；(6分) (2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0,1)内．(6分) 解　(1)∵an＝＝ ＝，∴由an＝＝，解得n＝， ∵不是正整数，∴不是数列{an}中的项． (2)∵an＝＝＝1－，n∈N＋，0<<1， ∴0<an<1，∴数列{an}中的项都在区间(0,1)内． 学科网（北京）股份有限公司 $