因式分解和分式综合训练2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

因式分解和分式综合 一、选择题： 1.若为正整数，则下列各数中，一定能整除的是(    ) A. B. C. D. 2.已知，其中和是整数，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 3.多项式化简结果为(    ) A. B. C. D. 4.已知、、为的三边长，且，则是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5.同号两实数，满足，若为整数，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6.已知，求的值是(    ) A. B. C. D. 7.已知、、是的三边长，且，那么的形状是(    ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 8.若关于的方程的解为负数，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 9.若关于的不等式组至少有四个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.若关于的分式方程有增根，则的值是(    ) A. 或 B. C. D. 或 11.若关于的分式方程无解，则的是(    ) A. B. C. 或 D. 或 12.一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 13.分解因式：________． 14.多项式的公因式是______． 15.分解因式：          ． 16.已知，则的值为          ． 17.若关于的二次三项式因式分解为，则的值为          ． 18.、、是等腰的三边长，其中、满足，则的周长为______ 19.已知，则          ． 20.，，的最简公分母是          ． 21.若分式的值为，则的值为          ． 22.某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进一批衬衫，上市后果然供不应求，该服装商又用元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的倍，但单价贵了元，则该服装商第一批进货的单价是          元 三、计算题： 23.计算： 24.先化简：，再从、、中选一个合适的的值代入求值． 四、解答题： 25.本小题分 王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， 当时，，有最小值 当时，，有最小值． 所以最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 多项式有最______填“大”或“小”值，该值为______． 已知，求的最值． 已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 26.本小题分 如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图 图中的阴影部分的面积为           观察图请你写出、、之间的等量关系是           根据中的结论，若，，则           实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解如图，因式分解：          ． 27.本小题分 某商场销售、两种商品，售出件种商品比售出件种商品所得利润多元，售出种商品获利元的件数和售出种商品获利元的件数相同． 求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别为多少元； 由于需求量大，、两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共件，如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，且种商品至多购进件，求商场有哪几种购进方案． 28.本小题分 学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的倍，用元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少本． 甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ 若学校计划购买这两种图书共本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 29.本小题分 年月日至日，第届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售，两种吉祥物挂件，已知每个种挂件的价格是每个种挂件价格的，用元购买种挂件的数量比用元购买种挂件的数量多个． 求每个种挂件的价格； 某游客计划用不超过元购买，两种挂件，且购买种挂件的数量比种挂件的数量多个，求该游客最多购买多少个种挂件． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 必是的倍数， 故选：． 先对因式分解，得出，再利用、、三个连续正整数中必有一个数是的倍数，必有一个数是的倍数，即可解决． 本题考查因式分解及数的特征，熟练掌握因式分解的应用以及正整数的特征是解题的关键． 2.【答案】  【解析】【分析】 已知等式变形后分解因式，根据与为整数，确定出正确结论即可． 此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【解答】 解：已知等式变形得：，即， 整理得：， 和为整数， 分两种情况考虑： 当，时，解得：，，不符合题意； 当，时，解得：，， 则，． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：原式 ， 故选D． 本题主要考查了多项式的因式分解的应用，熟练掌握提公因式法是关键直接利用提取公因式法分解因式得出即可． 4.【答案】  【解析】解：， ， ， 、、为的三边长， ， ， ， 为等腰三角形， 故选：． 等式左边因式分解后，得到，即可得到，确定，即可得出三角形为等腰三角形． 考查了因式分解法的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 5.【答案】  【解析】，， ，． ，，． 为整数，为平方数，或，解得或故选A． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用拆项法进行分解因式．先根据已知条件，求出，然后把所求代数式进行拆项，分解成含有的形式，然后把它的值整体代入求值即可． 【解答】 解：， ， ． 故选D． 7.【答案】  【解析】，，，，，，，的形状是等边三角形故选D． 8.【答案】  【解析】解：， 方程两边都乘以得：， 去括号，得， 移向，得：， 合并同类项，得， 化系数为得：， 关于的方程的解为负数， ，且， 解得：， 故选：． 先解方程，再根据题意列不等式即可． 本题考查了分式方程解的情况，解题关键是熟练的解分式方程并根据题意列出不等式，注意：分式的分母不为． 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】【分析】根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出的值． 【详解】关于的分式方程  有增根，   是方程  的根， 当  时，  解得：  当  时，  解得：  故选A． 【点睛】本题主要考查的是分式方程的相关知识，解题的关键是明确增根的含义． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论得出答案是解题关键． 直接利用分式方程的解法以及分式方程无解的意义分析得出答案． 【解答】 解：去分母得：， 则， 故， 当时， 解得：， 此时无解； 当时， 则或， 解得：或无解， 综上所述：或． 故选：． 12.【答案】  【解析】设江水的流速为， 根据题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，即江水的流速为故选D． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了因式分解，确定公因式是解题关键． 提取公因式，然后整理即可得出答案． 【解答】 解：原式 ， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：， 多项式的公因式是， 故答案为：． 根据公因式的定义判断即可． 本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 先利用十字相乘法，再利用平方差公式进行因式分解即可． 本题考查十字相乘法、公式法分解因式，掌握十字相乘法、公式法的结构特征是正确应用的前提． 16.【答案】  【解析】因为，  所以，  所以  因为，，  所以，解得，，  所以． 17.【答案】  【解析】略 18.【答案】  【解析】【分析】 本题考查因式分解的应用，非负数的性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，解决本题的关键是明确题意，发现所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． 根据，可以求得，的长，然后根据，，是等腰的三边长，即可求得的周长． 【解答】 解：， ， ， ，， 解得，，， ，，是等腰的三边长， 当时，，此时不能构成三角形， 当时，此时，符合三角形的三边关系，则的周长为：， 故答案为：． 19.【答案】  【解析】根据分式的减法和除法化简题目中的式子，然后根据，即可解答本题。 解：原式             ， ， ， 原式， 故答案为． 点拨：本题考查对分式的化简，熟练运用并综合运算是解决这题的关键。 20.【答案】  【解析】略 21.【答案】  【解析】【点拨】由题意可知 所以． 22.【答案】  【解析】解：设第一批进货的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，故第一次进货的单价为元． 23.【答案】【小题】 解：原式     ； 【小题】 原式 ； 【小题】 原式 ； 【小题】 原式   ．   【解析】 略  略  略  略 24.【答案】解：原式 ， ， 取， 则原式．  【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，再从，，中选择一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 25.【答案】大；；   ；     【解析】， ， 当时，的值最大，最大值是． ． 当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，； ， ， ， ， 当时，的值最小，最小值是． ． 当时，的值最小，最小值是． 的最小值是． ， ， ，， 边长的范围为． ，，都是正整数， 边长的值为，则的周长为． 化成完全平方公式和的形式计算即可； 把原式化成再利用完全平方公式计算即可； 化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可． 本题考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 26.【答案】解：． ．    ．   【解析】【分析】 本题考查了完全平方公式的几何背景：利用面积法证明完全平方公式． 阴影部分为边长为的正方形，然后根据正方形的面积公式求解； 在图中，大正方形由小正方形和个长方形组成，则； 由的结论得到，再把，的值代入得到，然后利用平方根的定义求解； 观察图形得到宽与长分别为与的长方形由个边长为的正方形、个边长为、的长方形和一个边长为的正方形组成，则有． 【解答】 解：阴影部分为边长为的正方形， 所以阴影部分的面积； 故答案为； 图中，用边长为的正方形的面积减去边长为的正方形等于个长、宽分别、的长方形面积， 所以； 故答案为； ， 而，， ， ， ； 故答案为； 边长为与的长方形面积为，它由个边长为的正方形、个边长为、的长方形和一个边长为的正方形组成， ； 故答案为． 27.【答案】解：设每件种商品售出后获得的利润为元，则每件种商品售出后获得的利润为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：每件种商品售出后获得的利润为元，每件种商品售出后获得的利润为元． 设购进种商品件，则购进种商品件， 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为，，，当时，当时，当时， 答：商场共有种购进方案， 方案：购进种商品件，种商品件； 方案：购进种商品件，种商品件； 方案：购进种商品件，种商品件．  【解析】点拨 设每件种商品售出后获得的利润为元，则每件种商品售出后获得的利润为元，根据售出种商品获利元的件数和售出种商品获利元的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出每件种商品售出后获得的利润，再将其代入中即可求出每件种商品售出后获得的利润； 设购进种商品件，则购进种商品件，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合“将这件商品全部售完后所得利润不低于元，且种商品至多购进件”，即可得出关于的一元一次不等式组，结合为正整数，即可得出各购进方案． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 28.【答案】解：设乙种图书的单价为元，则甲种图书的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根， 则， 答：甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元； 设购进甲种图书本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， 当时，， 当时，， 当时，， 共有种方案．  【解析】用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； 设购进甲种图书本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确找到关系式是解题关键． 29.【答案】【小题】 解：设每个种挂件的价格为元，则每个种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个种挂件的价格为元； 【小题】 解：设该游客购买个种挂件，则购买个种挂件， 由得每个种挂件的价格为元， 根据题意，得， 解得， 由于为正整数， 故该游客最多购买个种挂件．   【解析】  本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． 设每个种挂件的价格为元，则每个种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可；   设该游客购买个种挂件，则购买个种挂件，根据题意列不等式求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $