第2章 2.2.1 直线的点斜式方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式方程、斜截式方程及含参数直线方程的几何特征，以射击手瞄准情境导入，将子弹轨迹抽象为直线，通过问题引导、知识梳理和例题训练搭建学习支架，衔接直线确定条件与方程形式的关联。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过斜率存在性判断、截距与距离辨析等训练发展数学思维，用参数方程恒过定点证明强化数学语言表达。如例3恒过定点分析，跟踪训练分层设计，助力学生提升推理与应用能力，为教师提供系统教学资源与分层练习支持。

第2章 <<< 2.2.1　直线的点斜式方程 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题. 学习目标 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到上述的两个动作要求，分析子弹是否会击中目标. 导 语 一、直线的点斜式方程 二、直线的斜截式方程 课时对点练 三、含参数的直线方程的几何特征 随堂演练 内容索引 直线的点斜式方程 一 给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 问题1 提示　y－y0＝k(x－x0). 我们称方程_______________为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.由于该方程由直线上一定点及其斜率确定，因此把方程y－y0＝k(x－x0)称为直线的___________，简称点斜式. y－y0＝k(x－x0) 点斜式方程 知识梳理 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 注 意 点 <<< 8 　　　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－4,3)，斜率k＝3； 例 1 由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－3＝3(x＋4). (2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°. 由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1). 9 求直线的点斜式方程的思路 反 思 感 悟 10 　　　　　写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ x的倾斜角的2倍； 跟踪训练 1 11 (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行. 与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. 12 二 直线的斜截式方程 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 问题2 提示　y＝kx＋b. 1.直线l与y轴的交点(0，b)的_______称为直线l在y轴上的截距. 2.把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程，简称斜截式. 纵坐标 知识梳理 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 注 意 点 <<< 16 　　　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； 例 2 由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y＝2x＋5. 17 (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； ∵直线的倾斜角为150°， 18 (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. ∵直线的倾斜角为60°， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线的斜截式方程为 19 跟踪训练 2 　　　　　求倾斜角是直线y＝ ＋1的倾斜角的 ，且在y轴上的截距是－5的直线方程. ∴其倾斜角α＝120°， 20 含参数的直线方程的几何特征 三 　　　已知直线l：y＝ax＋ . (1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限； 例 3 所以直线l必经过第一象限. 22 (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 若直线l不经过第二象限， 则直线l的斜率kl≥3， 即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，＋∞). 23 反 思 感 悟 对于含参数k的直线y－y0＝k(x－x0)，该直线恒过定点(x0，y0). 　　　　　(1)已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点 A.(1,3) B.(－1，－3) C.(3,1) D.(－3，－1) 跟踪训练 3 √ 直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1). 25 √ 26 1.知识清单： (1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. (3)含参数的直线方程的几何特征. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求直线的方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则 A.直线经过定点(2，－1)，斜率为－1 B.直线经过定点(1，－2)，斜率为－1 C.直线经过定点(－2，－1)，斜率为1 D.直线经过定点(－1，－2)，斜率为－1 √ 直线的方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过定点(－1，－2)，斜率为－1. 1 2 3 4 √ ∴l在y轴上的截距为－9. 3.(多选)给出下列四个结论，正确的是 1 2 3 4 B.若直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.若直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 √ √ 1 2 3 4 B，C显然正确； 当直线的斜率不存在时，没有点斜式和斜截式方程. 1 2 3 4 √ 课时对点练 五 1.经过点P(0,2)且斜率为2的直线的方程为 A.y＝－2x－2 B.y＝2x－2 C.y＝2x＋2 D.y＝－2x＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 由点斜式可得直线的方程为y－2＝2(x－0)，化为y＝2x＋2. 2.已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为 A.x＝3 B.x＝－2 C.y＝3 D.y＝－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵直线与x轴平行， ∴其斜率为0， ∴直线的方程为y＝－2. 3.若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是 A.y－1＝x B.y＋1＝x C.y－1＝－x D.y＋1＝－x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率为1， 又∵直线l过点(0，－1)， ∴直线l的方程为y＋1＝x. 4.直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为 A.a＋b B.2a－b C.b－2a D.|2a－b| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意得，直线的斜截式方程为y＝2x＋b－2a，∴直线在y轴上的截距为b－2a. 5.(多选)关于一次函数y＝kx＋b(k>0)，下列结论正确的有 A.当b>0时，函数图象经过第一、二、三象限 B.当b<0时，函数图象经过第一、三、四象限 C.∀b∈R，函数图象必经过第一、三象限 D.∀b∈R，函数在R上恒为减函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 在一次函数y＝kx＋b中，若k>0，b>0，则函数图象经过第一、二、三象限； 若k>0，b<0，则函数图象经过第一、三、四象限； 若k>0，则函数图象必经过第一、三象限，且函数在R上恒为增函数. C.直线l的倾斜角为60° D.直线l在y轴上的截距为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.不管k为何值，直线y＝k(x－2)＋3必过定点_____. (2,3) 8.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是__________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 9.求倾斜角为直线y＝－ x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程. (1)经过点(－4,1)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线过点(－4,1)， (2)在y轴上的截距为－10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线在y轴上的截距为－10， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，易知k≠0， 11.(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为 A.y＝x＋3 B.y＝x－1 C.y＝－x＋3 D.y＝－x－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 √ 由题意可知直线的斜率为±1， 当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1； 当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3. 12.(多选)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则4m＋1＝2m2－m＋3， 即2m2－5m＋2＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.直线y＝ax与直线y＝x＋a在同一直角坐标系中的图象可能是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，y＝ax过坐标原点，a>0，所以直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项B，y＝ax过坐标原点，a>0，所以直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项C，y＝ax过坐标原点，a<0，所以直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)在平面直角坐标系中，直线l：y＝k(x－2)＋3与坐标轴分别交于点A，B，则下列选项中是真命题的有 A.存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有一条 B.存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有两条 C.存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有三条 D.存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有四条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可知，当0<m<12时，k有两个解； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m＝12时，k有三个解；当m>12时，k有四个解. 结合选项可知B，C，D正确，A错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； 由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(－2,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若当－3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方， ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线的点斜式方程为y＋3＝(x－2). ∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴斜率k＝tan 150°＝－. 由斜截式可得方程为y＝－x－2. ∴其斜率k＝tan 60°＝.  y＝x＋3或y＝x－3. 由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°， 故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝. ∴所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5， 故所求直线的方程为y＝x－5. －x ∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－， 所以直线l恒过定点. 因为点位于第一象限， 因为y＝ax＋＝a＋， 设A， 则直线OA的斜率kOA＝＝3. (2)直线y＝ax－的图象可能是 因为直线y＝ax－，所以该直线的斜率与截距异号且a≠0，结合选项知B项正确. 2.已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为 A.9 B.－9 C. D.－ 由y＋＝(x－1)，得y＝x－9， A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 方程k＝不经过点(－1,2)，与方程y－2＝k(x＋1)不表示同一条直线，故A错误； 4.经过点(－1,1)，且斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是 A.x＝－1 B.y＝1 C.y－1＝(x＋1) D.y－1＝2(x＋1) 由题意知所求直线斜率为，故由点斜式知所求直线方程为y－1＝(x＋1). 6.(多选)已知直线l：y＝x－1，则 A.直线l过点(，－2) B.直线l的斜率为 对于A，将(，－2)代入y＝x－1，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由y＝x－1，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，可得α＝60°，故C正确； 对于D，由y＝x－1，令x＝0，可得直线l在y轴上的截距为－1，故D不正确. 所以直线的斜率为或－，  y＝x－6或y＝－x－6 又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6. 由直线y＝－x＋1的斜率为－，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k＝. 所以由直线的点斜式方程得y－1＝(x＋4). 所以由直线的斜截式方程得y＝x－10. 令y＝0，得x＝， 由三角形的面积为2，得××2＝2. 解得k＝. 可得直线l的方程为y－2＝(x－2). 综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2). A.－2 B.－ C. D.2 令x＝0，得y＝. 由已知得＝1， 解得m＝2或m＝，经检验，均符合题意. 14.将直线y＝(x－2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线的斜截式方程是________________. ∵直线y＝(x－2)的倾斜角是60°， ∴按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－，且过点(2,0)，  y＝－x＋2 ∴其方程为y－0＝－(x－2)，即其斜截式方程为y＝－x＋2. 由题意知k≠0，直线l：y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴交点的坐标分别为A，B(0,3－2k)，当k＝时，直线l：y＝x过原点，∴k≠， 所以S△OAB＝××|3－2k|＝ ＝2，作出 其图象如图所示， 需满足即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. $