第1章 数列 章末检测试卷(一)（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了数列的概念、通项公式、前n项和及性质，涵盖等差等比数列、均值数列、实际应用等内容，通过基础题到综合题的递进设计，帮助学生构建完整的数列知识网络。 其亮点在于融入古代数学问题（如《张邱建算经》分钱）和实际应用（电机生产线盈利）培养数学眼光，通过数阵推导、等比证明发展数学思维，以符号公式表达强化数学语言。分层题目设计让不同学生提升，教师可精准把握复习重点。

第1章 <<< 章末检测试卷(一) A.20项 　　　B.21项 　　　C.22项 　　　D.23项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 √ 即2n－1＝45，解得n＝23， 17 18 19 2.在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5， ∴d＝a4－a3＝7－5＝2. 17 18 19 3.在等比数列{an}中，a2＋a3＝1，a3＋a4＝2，则a4＋a5等于 A.4 B.8 C.16 D.32 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a3＋a4＝q(a2＋a3)，可得q＝2， 所以a4＋a5＝q(a3＋a4)＝4. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2 023条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2 023，则其公差为 √ 17 18 19 由题意，知最长弦长为直径，即a2 023＝10，最短弦长和最长弦长垂直， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知等比数列{an}的各项均为正数，若log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝12，则a6a7等于 A.1 　　　　B.3 　　　　C.6 　　　　D.9 √ 17 18 19 因为等比数列{an}的各项均为正数， 且log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝12， 即log3(a1·a2·…·a12)＝12， 所以a1·a2·…·a12＝312， 所以(a6a7)6＝312，所以a6a7＝32＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＋a7>0，a6＋a8<0，则Sn最大时n的值为 A.4 　　　　B.5 　　　　C.6 　　　　D.7 √ ∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a7>0，a6＋a8<0， ∴a6＋a8＝2a7<0， ∴a6>0，a7<0， ∴Sn最大时n的值为6. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a8＝8(a1＋a5)，a2＋a6＋a10＝10，则S12等于 A.45 　　　　B.75 　　　　C.80 　　　　D.90 √ 17 18 19 A.(－1,3) B.[－1,3] C.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－1]∪[3，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得数列{an}的前n项和为Sn， 17 18 19 所以Sn＝n2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 整理得m2－2m－3≥0， 解得m≤－1或m≥3. 即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 17 18 19 二、多项选择题 9.在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列{an}的通项公式是 A.an＝3n，n∈N＋ B.an＝3n－1，n∈N＋ C.an＝(－1)n－13n，n∈N＋ D.an＝2n－1，n∈N＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a3＝a1q2，得q2＝9，即q＝±3. ∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n. 故数列{an}的通项公式是an＝3n，n∈N＋或an＝(－1)n－13n，n∈N＋. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A选项，当n＝1时，a2(2－a1)＝2， 17 18 19 当n＝2时，a3(2－a2)＝2，即a3(2＋4)＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 故{an}是周期数列且周期为4，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的是 A.当n＝15时，Sn取最大值 B.当n＝30时，Sn＝0 C.当d>0时，a10＋a22>0 D.当d<0时，|a10|>|a22| √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为S10＝S20， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为d<0， 三、填空题 12.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”为今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，依此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 195 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设共有n人， 17 18 19 解得n＝195，所以一共有195人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.各项均为正数的等比数列{an}中，2a2，a4，3a3成等差数列，则 ＝_____. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2a2，a4，3a3成等差数列得2a4＝2a2＋3a3， 由{an}是等比数列得2a1q3＝2a1q＋3a1q2， 化简得2q2＝2＋3q， 因为{an}各项均为正数，所以q>0. 解得q＝2(负值舍去). 17 18 19 14.设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则an＝_______；a1a2·…·an的最大值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值， 即f(n)min＝－6， 17 18 19 四、解答题 15.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an. (1)求{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为a1＝1，an＋1＝3an， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1. (2)数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由(1)得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝9，则b3－b1＝2d＝－4，d＝－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在等差数列{an}中，a5－a2＝6，且a1，a6，a21依次成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公差为d， 因为a5－a2＝6， 所以3d＝6，解得d＝2. 因为a1，a6，a21依次成等比数列， 17 18 19 即(a1＋5×2)2＝a1(a1＋20×2)， 解得a1＝5， 所以an＝2n＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得n＝15. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.在数列{an}中，前n项和Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1). (1)证明：数列{an}为等比数列； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为Sn＝1＋kan，① Sn－1＝1＋kan－1(n≥2)，② 由①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)， 17 18 19 由已知可得当an＝0时，Sn＝1无意义， 所以an≠0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的通项公式； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18.近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元. (1)引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设引进设备n年后总盈利为f万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为an，构成等差数列， 所以f(n)＝100n－[24n＋4n(n－1)＋196] ＝－4n2＋80n－196＝－4(n－10)2＋204，n∈N＋， 所以当n＝10时，f(n)max＝204(万元)， 即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设n年后平均盈利为g(n)万元， 17 18 19 故n＝7时，g(n)max＝g(7)＝24(万元)， 即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求m及a53； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得a31＝a11＋(3－1)×m＝2m＋2， a32＝a31×m＝(2m＋2)×m＝2m2＋2m， a41＝a11＋(4－1)×m＝3m＋2， 17 18 19 即m2－2m＝0. 又m>0，∴m＝2，∴a51＝a11＋4×2＝10， ∴a53＝a51×22＝40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)记Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，求Tn. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得an1＝a11＋(n－1)×2＝2n. 当n≥3时，ann＝an1·2n－1＝n·2n.(*) 又a21＝a11＋2＝4，a22＝ma21＝2×4＝8. a11＝2，a22＝8符合(*)式， ∴ann＝n·2n. ∵Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann， ∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n， ① 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， ② 由①－②得， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －Tn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1 17 18 19 ＝2n＋1－2－n·2n＋1 ＝(1－n)·2n＋1－2， ∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2. 1.已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的第 已知数列1，，，，…，， 则该数列的通项公式为an＝， 若＝3＝， 则3是这个数列的第23项. A. B. C. D. 由弦长公式得a1＝2＝8， 所以d＝＝. 设等比数列{an}的公比为q，由a4＋a8＝8可知a1q3＋a5q3＝8， 所以q＝2，S12＝＋＋＋ ＝(a2＋a6＋a10)＋(a2＋a6＋a10)＋q(a2＋a6＋a10)＋q2(a2＋a6＋a10) ＝＝10×＝75. 8.若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列的前n项和为Tn，若Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立，则实数m的取值范围为 由“均值数列”的定义可得＝n， 所以＝＝， 所以Tn＝ ＝<， 又Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立， 所以m2－m－1≥， 10.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1(2－an)＝2，则 A.a3＝ B.{an}是周期数列且周期为4 C.S4＝ D.S21＝ 即a2＝2，解得a2＝－4， 解得a3＝，A错误； B选项，当n＝3时，a4(2－a3)＝2，即a4＝2，解得a4＝， 当n＝4时，a5(2－a4)＝2，即a5＝2， 解得a5＝，循环， C选项，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－4＋＋＝，C正确； D选项，由于21＝4×5＋1，故S21＝5S4＋a1＝5×＋＝，D正确. 所以10a1＋d＝20a1＋d， 解得a1＝－d. 所以Sn＝－dn＋d＝n2－15nd＝[(n－15)2－225]，对于选项A，因为d的正负不确定，Sn不一定有最大值，故A错误； 对于选项B，S30＝30a1＋d＝30×＋15×29d＝0，故B正确； 对于选项C，a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2＝d>0，故C正确； 对于选项D，a10＝a1＋9d＝－d＋d＝－d，a22＝a1＋21d＝－d＋d＝d， 所以|a10|＝－d，|a22|＝－d，|a10|<|a22|，故D错误. 根据题意得3n＋＝100n， 所以＝＝＝＝. n－4 由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，可得 解得 ∴an＝8×n－1＝n－4. ∴a1a2·…·an＝－3－2－1＋0＋1＋…＋(n－4)＝ . 令f(n)＝n(n－7)＝(n2－7n) ＝2－， ∴a1a2·…·an的最大值为－6＝64. 所以Sn＝13n＋×(－2)＝－n2＋14n. 所以a＝a1a21， 由(1)知bn＝＝， (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝，求n的值. 所以bn＝， 所以Sn＝ ＝， 由＝， 所以an＝an－1. 当n＝1时，S1＝a1＝1＋ka1，所以a1＝. 所以{an}是首项为，公比为的等比数列. 因为a1＝，q＝， 所以an＝·n－1＝－. 因为在数列{an}中，a1＝， (3)当k＝－1时，求a＋a＋…＋a. 公比q＝， 所以数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列. 当k＝－1时，{a}是首项为，公比为的等比数列， 所以a＋a＋…＋a＝＝×. 前n年成本之和为万元， 则g(n)＝＝－4n－＋80，n∈N＋， 因为g＝－4＋80， 当n∈N＋时，n＋≥2＝14， 当且仅当n＝，即n＝7∈N＋时取等号， 19.在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11＝2，a41＝a32＋2，＝m. ∵a41＝a32＋2， ∴3m＋2＝(2m2＋2m)＋2， ＝－n·2n＋1 $