第1章 1.3.1 等比数列及其通项公式（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件围绕等比数列及其通项公式展开，通过“拉面哥”拉面、《孙子算经》“出门望九堤”等实例导入，类比等差数列概念引导学生观察数列规律，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解等比数列的定义、通项公式及应用。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，如汽车贬值、细菌分裂问题，培养学生抽象能力和应用意识。通过问题驱动和类比推理发展数学思维，如推导通项公式的累乘法与归纳法，小结梳理知识清单与方法，助力学生系统掌握，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第1章 <<< 1.3.1　等比数列及其通项公式 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 3.掌握等比中项的概念并会应用. 4.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 学习目标 山东省临沂市费县人程运付，从2005年底开始赶集摆摊卖拉面，3元拉面15年不涨价.2021年2月，因为顾客偶然拍摄的一段短视频，走红网络，成为远近闻名的“拉面哥”.2021年3月，全国各地的自媒体、商家和游客纷纷朝着“拉面哥”的家乡“集结”，“拉面哥”每天忙碌地为大家“表演”拉面技艺，他娴熟地将一根很粗的面条拉伸、捏合、再拉伸、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多 根细面条.你知道他这样拉伸、捏合10次 后可拉出多少根细面条吗？ 导 语 一、等比数列的概念 二、等比数列通项公式的基本运算 课时对点练 三、等比中项 随堂演练 内容索引 四、等比数列的应用 等比数列的概念 一 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9,92，93，94，95，96，97，98； 问题1 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的_______之____都等于___________，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的______，公比通常用字母q表示(q≠0). 2 前一项 比 同一个常数 公比 知识梳理 (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 注 意 点 <<< 9 　　　判断下列数列是否为等比数列： (1)1,3,32，33，…，3n－1，…； 例 1 记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∴数列为等比数列，且公比为3. 10 (2)－1,1,2,4,8，…； 记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∴此数列不是等比数列. (3)a，－a，a，－a，…. 当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1. 11 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零. (2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看 的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒. 反 思 感 悟 等比数列定义的理解 12 C.x，x2，x3，x4 D.a－1，a－2，a－3，a－4 　　　　　(多选)下列各组数成等比数列的是 跟踪训练 1 √ √ √ 由等比数列的定义知，A，B，D是等比数列， C中当x＝0时，不是等比数列. 13 二 等比数列通项公式的基本运算 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题2 当n＝1时，上式也成立. 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， …， 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立. 等比数列的通项公式 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的通项公式为an＝_______(n∈N＋). a1qn－1 知识梳理 　　　在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； 例 2 因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 18 (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 又an＝1， 即26－n＝20，故n＝6. 19 反 思 感 悟 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 　　　　　在等比数列{an}中： (1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12； 跟踪训练 2 因为a9＝a1·q8， 21 (2)若a3·a5＝18，a4·a8＝72，求q. 22 等比中项 三 我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 问题3 等比中项 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的_________，此时，G2＝ab. 等比中项 知识梳理 (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 注 意 点 <<< 26 　　　 的等差中项与等比中项分别为 例 3 √ 27 反 思 感 悟 (1)由等比中项的定义可知 ，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项. (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. (3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0). 　　　　　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝____，ac＝___. 跟踪训练 3 －3 9 因为b是－1，－9的等比中项， 所以b2＝9，b＝±3. 又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3， 而b又是a，c的等比中项， 故b2＝ac，即ac＝9. 29 等比数列的应用 四 　　　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示m(m∈N＋)年后这辆车的价值； 例 4 31 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，…， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. ∴m年后车的价值为am＋1＝(13.5×0.9m)万元. 32 (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 33 反 思 感 悟 解等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答. 　　　　　我国古代春节期间，“剪窗花，贴对联”几乎是每家每户都会进行的迎新活动，窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.如图是一幅剪纸作品.某位艺术家把一张厚度(单位：cm)为0.012 5的纸对折了三次，开始了该作品的创作，若不计纸与 纸之间的间隙，则对折后的纸张厚度(单位：mm)是 ______. 跟踪训练 4 1 mm 由题设知对折了三次后纸张厚度为0.012 5×23＝0.1(cm)，即1 mm. 35 1.知识清单： (1)等比数列的概念. (2)等比数列通项公式的基本运算. (3)等比中项的概念. (4)等比数列的应用. 2.方法归纳：方程(组)思想、构造法. 3.常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xyD⇏x，G，y成等比数列. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成 A.64个 B.128个 C.256个 D.255个 √ 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256(个). 1 2 3 4 2.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是 A.1 B.－1 C.－3 D.－4 √ 解得a＝－4，b＝2，c＝8. 3.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列an＝_____________________. 1 2 3 4 设数列{an}的公比为q，则q＝3， 由已知可得a3<1，∴9a1<1， 1 2 3 4 4.若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________. －1或3 设公比为q，则3a1q3＝a1q5－2a1q4. 因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0， 解得q＝－1或q＝3.　 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下面四个数列中，一定是等比数列的是 A.q，2q，4q，6q B.q，q2，q3，q4 C.q，2q，4q，8q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 对于A，一定不是等比数列，对于B，C，当q＝0时不是等比数列，故A，B，C错误； 3.在等比数列{an}中，若a4＝8，q＝－2，则a7的值为 A.－64 B.64 C.－48 D.48 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a4＝a1q3＝a1×(－2)3＝－8a1＝8，所以a1＝－1，则等比数列的通项公式an＝－(－2)n－1，所以a7＝－(－2)6＝－64. 4.在等比数列a，2a＋2,3a＋3中，a等于 A.4 B.－4 C.－1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件； 当a＝－4时，等比数列为－4，－6，－9，…，满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知正项等比数列{an}，若3a1， ，2a2成等差数列，则{an}的公比q等于 A.2 B.－2 C.－3 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于 A.6 B.－6 C.－12 D.12 √ √ ∴b＝±4，∴ab＝±6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1 ＝(－2)n； 当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n. 7.在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为____，通项公式为an＝____________. ±2 (－2)n或－2n 8.若公差不为0的等差数列{an}满足a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，则a1＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得d＝2或d＝0(舍去)，则a1＝a3－2d＝1. 1 9.某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设每月平均下降的百分比为x， 则每月的销售额构成了等比数列{an}， a1＝128，则a2＝a1(1－x)， a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32， 解得x＝50%. 设an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5， 即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q，由题意知q>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an＝a1·qn－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4，∴qn＝1， ∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1. (3)若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在等比数列{an}中，已知a1＝2，a1－a3＋a5＝26，则a3等于 A.20 B.12 C.8 D.4 √ 综合运用 设等比数列{an}的公比为q，则a1－a3＋a5＝a1－a1q2＋a1q4＝2(1－q2＋q4)＝26， 解得q2＝4(负值舍去)，所以a3＝a1q2＝8. 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0， 反之，由a，b，c成等比数列，可得b2＝ac， 所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以数列{an}是周期为3的周期数列， 故a2 024＝a3×674＋2＝a2＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于______. 2 048 14.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝______；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a4－a3＝2知等差数列{an}的公差d＝2，又a1＋a2＝2a1＋d＝10，故a1＝4，则an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，则等比数列{bn}的公比q＝2，b1＝4.又b6＝ak，故2k＋2＝4×26－1，解得k＝63. 2n＋2 63 15.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，{bn}的通项公式. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋5d＝6a1d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件③： 因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…. 提示　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于(1)，我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)，＝，＝，…；对于(3)，＝－，＝－，…；也有相同的取值规律. (1)定义的符号表示：＝q(n∈N＋且n≥2)或＝q(n∈N＋). ∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)， ∵＝－1≠＝2， A.1，－2,4，－8 B.－，2，－2，4 提示　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2). 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， a1＝＝＝5，故a1＝5. 由题意得 由，得q＝，从而a1＝32. 所以32×n－1＝1， a12＝a1·q11＝256×11＝－. 所以256·q8＝1，即q＝±. 当q＝时，a12＝a1·q11＝256×＝； 当q＝－时， a1·q2·a1·q4＝18，即a·q6＝18. 又a1q3·a1q7＝72，即a·q10＝72. 两式相除得q4＝＝4，所以q＝±. 提示　不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；若－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数. ＝， －2和＋2的等比中项为 ±＝±1. －2和＋2 A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± －2和＋2的等差中项为 ＝⇒G2＝ab⇒G＝± 由题意，得 ×3n－1(答案不唯一) ∴a1<，故a1可取，故满足条件的等比数列的通项公式可能为an＝×3n－1. 1.数列1，－，，－，，…的一个通项公式为 A.n－1 B.n C.(－1)nn－1 D.(－1)n＋1n－1 根据数列可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列， 所以该数列的通项公式为1×n－1＝(－1)2×(－1)n－1×n－1＝(－1)n＋1n－1. D.，，， 对于D，由题意可得q≠0，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确. 由题意，得2＝a，解得a＝－4或a＝－1， a3 易知q>0，因为3a1，a3，2a2成等差数列， 所以解得q＝3. ∵a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16， ∵＝q2， ∴q2＝＝4，即q＝±2. ∵a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1a5，即(a3－d)2＝(a3－2d)(a3＋2d)，又a3＝5，则(5－d)2＝(5－2d)(5＋2d)， 由已知得 解得 ∵q>0，∴q＝， ∴an＝128×n－1＝. (2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n； 得＝×n－1，即n－1＝3，解得n＝4. 则由b2＝ac，可得＝，所以a，b，c成等比数列， 依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×()n－1，所以第10个正方形的面积S＝a＝[2×()9]2＝4×29＝2 048. A. B. C. D. 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝. 所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以 a53＝×2＝. 联立 解得或(舍去)， 联立 解得或(舍去)， 联立 解得或(舍去)， $