第1章 1.2.1 等差数列及其通项公式（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、通项公式及等差中项，以12生肖纪年、冬奥会举办时间等现实情境问题导入，引导学生观察数列共同特征，通过问题链搭建从具体实例到抽象定义的学习支架，衔接概念理解与公式推导。 其亮点在于以真实情境激活数学眼光，从生活实例中抽象等差数列本质；通过归纳与累加法推导通项公式，培养数学思维的逻辑推理能力；例题分层设计结合跟踪训练，强化数学语言表达与应用。课堂小结清单式梳理知识方法，随堂及课时练习梯度递进，助力学生深化理解，也为教师提供系统高效的教学资源。

第1章 <<< 1.2.1　等差数列及其通项公式 1.理解等差数列、等差中项的概念. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 学习目标 我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，连续5个龙年的年份为2024，2036，2048，2060，2072.观察这个数列，你能算出下一个龙年是哪一年吗？ 导 语 一、等差数列的概念 二、等差数列的通项公式 课时对点练 三、等差中项 随堂演练 内容索引 等差数列的概念 一 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； (3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？ 问题1 提示　对于(1)，我们发现2010－2006＝4，2014－2010＝4，2018－2014＝4，2022－2018＝4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于(2)有44－45＝－1，….对于(3)有10－10＝0，以上数列有同样的取值规律. 一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项之___都等于___________，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的_____，公差通常用字母____表示. 2 差 同一个常数 公差 d 知识梳理 (1)概念的符号表示：an＋1－an＝d(n∈N＋). (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)差必须是同一个常数. (4)公差可以是正数、负数、零. 注 意 点 <<< 9 　　　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. (1)1，3，5，7，9，…； 例 1 是，a1＝1，d＝2. (2)9，6，3，0，－3，…； 是，a1＝9，d＝－3. 10 (3)1，3，4，5，6，…； 不是. (4)7，7，7，7，7，…； 是，a1＝7，d＝0. 不是. 11 利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 反 思 感 悟 12 (多选)下列数列是等差数列的是 A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 跟踪训练 1 √ √ √ 由等差数列的定义得， A项d＝0，故是等差数列； B项d＝3，故是等差数列； D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列. 13 二 等差数列的通项公式 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题2 提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…， 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d. 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …， an－an－1＝d(n≥2)， 把这n－1个等式相加得an－a1＝(n－1)d， 由此得到an＝a1＋(n－1)d. 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝____________. a1＋(n－1)d 知识梳理 17 　在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； 例 2 18 (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. 设等差数列的公差为d，由题意知 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N＋. 19 反 思 感 悟 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可. (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个，那么就可以由通项公式求出第四个，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. 等差数列通项公式的求法与应用技巧 　　　　　已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89. (1)求该数列的通项公式与项数； 跟踪训练 2 因为a1＝1，d＝－1－1＝－2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋3. 由－2n＋3＝－89，得n＝46. 21 (2)－51是不是该数列的项？如果是，是第几项？ 由(1)知，an＝－2n＋3，令－51＝－2n＋3， 得n＝27. 所以－51是该数列的项，是第27项. 22 等差中项 三 由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 问题3 提示　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2. 在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项. 知识梳理 25 (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即M＝ . (3)a3是a1和a5的等差中项，特别注意序号之间的关系. 注 意 点 <<< 26 　　　(1)若 则a，b的等差中项为 例 3 √ 由题意知a，b的等差中项为 27 (2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 又a是－1与3的等差中项， 又c是3与7的等差中项， 28 反 思 感 悟 　　　　　已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是 A.8 B.6 C.4.5 D.3 跟踪训练 3 √ ∵m＋2n＝8，2m＋n＝10， ∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6， ∴2m－n和2n－m的等差中项是 30 1.知识清单： (1)等差数列的概念. (2)等差数列的通项公式. (3)等差中项. 2.方法归纳：方程组法(基本量法). 3.常见误区：定义忽略“从第2项起”. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为 A.2 B.3 C.－2 D.－3 √ 由等差数列的定义，得d＝－2. 2.已知等差数列－5，－2，1，…，则该数列的第20项为 A.52 B.62 C.－62 D.－52 1 2 3 4 √ 公差d＝－2－(－5)＝3， a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52. 3.若a，b是方程x2－2x－3＝0的两根，则a，b的等差中项为 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 16 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 4.在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝____. 解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16. 课时对点练 五 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是 A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ A，B，D项满足等差数列的定义， 是等差数列； C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. √ 2.35是数列3，5，7，9，…的 A.第16项 B.第17项 C.第18项 D.第19项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数列3，5，7，9，…的通项为2n＋1， 由2n＋1＝35，得n＝17， 所以35是数列3，5，7，9，…的第17项. 3.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于 A.90 B.96 C.98 D.100 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的首项为a1，公差为d， 4.已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于 A.15 B.22 C.7 D.29 √ 所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵b是x，2x的等差中项， 又∵x是a，b的等差中项， ∴2x＝a＋b， A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1) C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 故an＝2(n＋1)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －3 7.在等差数列{an}中，a5＝9，且2a3＝a2＋6，则a1＝_____. 设数列{an}的公差为d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项， ∴2ln 3＝ln 9a＋ln 3b， ∴ln 32＝ln(9a·3b)＝ln 32a＋b， ∴32＝32a＋b， ∴2a＋b＝2. 2 8.设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝____. 9.在等差数列{an}中， (1)已知a5－a3＝12，a12＝20，求a1和d； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a5－a3＝12，所以公差d＝6. 由a12＝a1＋11d＝20，所以a1＝－46， 故a1＝－46，d＝6. (2)已知a1＝9，公差d＝－2，an＝－15，求n； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an＝a1＋(n－1)d，得－15＝9－2(n－1)，解得n＝13. (3)已知a3＝9，a9＝3，求{an}的通项公式. 所以an＝a1＋(n－1)d＝11－(n－1)＝－n＋12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. (1)求数列的第10项； 设数列{an}的公差为d， a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)112是数列{an}的第几项？ an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39. 所以112是数列{an}的第39项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)80到110之间有多少项？ 由80<3n－5<110， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是 设an＝－24＋(n－1)d，n∈N＋， A.3 B.4 C.5 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意可知，a＋b＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，则数列{an}的通项公式为________. an＝2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b， ① 由①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2， 将b2＝ac代入得a2＋2ac＋c2＝4ac， 即(a－c)2＝0，得a＝c. 又a＋c＝2b， ∴2a＝2b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a＝b， ∴a＝b＝c. ∴△ABC 是等边三角形. 15.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4，a3＝9，且{an＋1－an}是等差数列，则a6等于 A.36 　　　　B.37 　　　　C.38 　　　　D.39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 因为a2－a1＝3，a3－a2＝5，所以(a3－a2)－(a2－a1)＝2， 又{an＋1－an}是等差数列，故首项为3，公差为2， 所以an＋1－an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 所以a6＝(a6－a5)＋(a5－a4)＋…＋(a2－a1)＋a1＝11＋9＋7＋5＋3＋1＝36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…， a2n＝2×2n＝4n. 当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列. ∴bn＝4＋4(n－1)＝4n. (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式. (5)1，，，，，…. C.，，1，， D.－3，－2，－1，1，2 C项d＝，故是等差数列； 由题意知 解得 解得 a＝，b＝， A. B. C. D. ×＝×(－＋＋)＝. 则b＝＝3， 所以a＝＝1. 所以c＝＝5.所以该数列为－1，1，3，5，7. 若a，M，b成等差数列，则M＝；反之，由M＝也可得到a，M，b成等差数列，所以M是a，b的等差中项⇔M＝. ＝＝3. A.－1 B.－ C.1 D. 因为a，b是方程x2－2x－3＝0的两根，所以a＋b＝2.所以a，b的等差中项为＝1. 则由a2＝2，a5＝8，得 根据题意得 解得 5.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则等于 A. B. C. D. ∴b＝＝， ∴a＝，∴＝. 6.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为 由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列， 所以＝2＋(n－1)＝n＋， 则 解得 由已知可得解得 则解得 解得28<n<38， A. B. C. D. 由解得<d≤3. 12.正数a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是 α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5， 当且仅当a＝b＝时，取等号. 由题意知 ∴ 解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n. 14.已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为___________. 由，，成等差数列得＋＝2， ② 由②2－①得2＝2b，即b2＝ac， 由题意得， 解得 $