第1章 §1.1 第2课时 数列的递推公式（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦数列的递推公式，通过钢管堆放实例导入，衔接数列概念与通项公式，构建从已知到递推关系的学习支架，系统覆盖求前几项、通项公式（累加法累乘法）、an与Sn关系及数列最值等内容。 其亮点在于以问题驱动抽象递推关系培养数学眼光，通过归纳法、累加法等多种推导方法发展数学思维，结合易错点提示与分层训练强化理解。小结梳理知识清单与方法，学生提升逻辑推理能力，教师可直接用于课堂教学与分层巩固。

第2课时 第1章 <<< 数列的递推公式 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 2.了解用累加法、累乘法求通项公式. 3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式. 4.会求数列的最大(小)项. 学习目标 同学们，前面我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛. 导 语 一、数列的递推公式 二、由递推公式求通项公式 课时对点练 三、an与Sn的关系 随堂演练 内容索引 四、数列的单调性及最大(小)项 数列的递推公式 一 提示　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7，n∈N＋). 观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 问题1 如果数列{an}的任一项_____与它的前一项____之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；____称为数列{an}的初始条件. an＋1 an a1 知识梳理 (1)通项公式反映的是an与n之间的关系. (2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项. 注 意 点 <<< 8 　　　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝　 　，n∈N＋，求a6. 例 1 9 　　　　　在本例的条件下，求a2 024. 延伸探究 由例1知，a5＝2＝a1，a6＝－3＝a2，…， ∴{an}是周期为4的周期数列， 10 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性). 反 思 感 悟 11 　　　　　已知数列{an}的初始条件a1＝1，且满足an＋1＝ ，则此数列的第3项是 跟踪训练 1 √ 12 二 由递推公式求通项公式 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，则an等于 例 2 √ 14 方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为 又a1＝1， 15 又a1＝1也适合上式， 16 …， a1＝1， 17 以上各式累加得 18 √ 19 反 思 感 悟 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法. ②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法. ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决. 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2)，求an. 跟踪训练 2 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 又a1＝1也符合上式， 21 (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. ＝ ·1＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N＋. 22 an与Sn的关系 三 提示　a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8. 如果已知某数列的前n项和Sn＝n2＋n，如何求a4? 问题2 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_______________. 2.an＝________________ . a1＋a2＋…＋an 知识梳理 (1)注意等式成立的条件. (2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项. (3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn－1，然后作差求得. 注 意 点 <<< 26 　　　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 例 3 因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32，n∈N＋. 27 　　　　　将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an. 延伸探究 因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1] ＝4n－32. 28 反 思 感 悟 (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. 由Sn求通项公式an的步骤 　　　　　已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn＝2n2＋3n＋2； 跟踪训练 3 当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2＋3n＋2－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1， 又a1＝7不适合上式， 30 (2)Sn＝3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1) ＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式， 所以an＝2×3n－1(n∈N＋). 31 数列的单调性及最大(小)项 四 数列按项的变化趋势分类 (1)递增数列：从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列； (2)递减数列：从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列； (3)常数列：各项都_____的数列； (4)摆动数列：从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项_____它的前一项的数列. 大于 小于 相等 大于 小于 知识梳理 33 　　　(1)下列数列中，为递增数列的是____，为递减数列的是________，为常数列的是____. ①1,0.84,0.842，0.843，…； ②2,4,6,8,10，…； ③7,7,7,7，…； 例 4 ⑤10,9,8,7,6,5,4,3,2,1. ② ①④⑤ ③ 34 由数列的单调性，易知②是递增数列； ①④⑤是递减数列； ③是常数列. 35 36 解得2≤n≤3.又n∈N＋，则n＝2或n＝3. 故数列{an}有最大项，为第2项和第3项， 37 反 思 感 悟 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项. 求数列最值的方法 (1)已知数列an＝－n2＋4n＋2，则该数列中最大项的序号是 A.2 B.3 C.4 D.5 跟踪训练 4 因为an＝－(n－2)2＋6，n∈N＋， 所以当n＝2时，an取得最大值. √ 39 (2)下列数列哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ ①2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022； ⑤1,0，－1,0,1,0，…； ⑥9,9,9,9,9,9. 40 ①②是递增数列； ③是递减数列； ⑥是常数列； ④⑤是摆动数列. 41 1.知识清单： (1)数列的递推公式. (2)由递推公式求通项公式. (3)数列的前n项和Sn与an的关系. (4)数列的单调性及最大(小)项. 2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法. 3.常见误区： (1)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式. (2)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N＋)，则a4的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 √ 因为a1＝2，an＋1＝an＋n， 所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8. 1 2 3 4 2.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N＋)，则a5等于 A.32 B.31 C.16 D.15 √ 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1， 当n＝5时，a5＝24＝16. 3.已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝_______. 1 2 3 4 3n＋2 an＝an－1＋3即an－an－1＝3，利用累加法得an＝3n＋2. 1 2 3 4 4.在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N＋，则该数列从第____项开始递增，数列的最小值为______. 4 －36 故数列{an}从第4项开始递增. an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36， 即这个数列有最小值，最小值为－36.　 课时对点练 六 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N＋)，且a1＝0，则此数列的第5项是 A.15 B.255 C.16 D.63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.－2 B.－1 C.0 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是 A.an＋1＝an＋n，n∈N＋ B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2 √ 结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4， ∴an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是 A.a1＝3 B.an＝2n(n≥2) C.an＝2n D.an＝2n(n≥2) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵n是整数， ∴当n＝7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108. 7.在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是_____. 108 8.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N＋)，则a9＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1a2…a8＝82， ① a1a2…a9＝92， ② 9.已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N＋)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴an＋1<an，即n≥3时，{an}是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求{an}的通项公式； 当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 当n＝1时，a1＝－1，符合上式， 所以{an}的通项公式是an＝4n－5，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以上n－1个式子左右两边分别相乘，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以数列{an}是周期为3的周期数列， 故a2 024＝a3×674＋2＝a2＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于 A.a2 021 B.a2 022 C.a2 023 D.a2 024 √ 由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)， 则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a5＋a6＋…＋a2 022＝a2 021＋a2 022＝a2 023. 14.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，第k项满足5<ak<8，则k＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝1时，a1＝S1＝－5； 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)＝n2－8n＋7， an＝Sn－S n－1＝2n－7， 当n＝1时，a1＝－5符合上式， 所以{an}的通项公式为an＝2n－7， 所以ak＝2k－7.由5<2k－7<8解得6<k<7.5， 因为k为正整数，所以k＝7. 7 15.在一个数列中，如果对任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 28 依题意得数列{an}是周期为3的数列， 且a1＝1，a2＝2，a3＝4， 因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1. 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 故m所有可能的取值为4,5,32. a5＝＝＝2，a6＝＝＝－3. a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－，a4＝＝＝， ∴a2 024＝a4＝. a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝. an＋ A.1 B. C. D. an＋－ A. B. C. D. a5＝＋－＝2－＝，…， 由此可得数列的一个通项公式为an＝. a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝， a3＝＋－＝2－＝， a4＝＋－＝2－＝， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2). 所以an＝(n∈N＋). 方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－， a3＝a2＋－，…， an＝an－1＋－(n≥2)， an－an－1＝－(n≥2)， a4－a3＝－， 方法三　(累加法)　an＋1－an＝－， a2－a1＝1－， a3－a2＝－， an＝1＋1－＋－＋…＋－. 所以an＝(n≥2). 因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N＋). (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于 A.n＋1 B.n C. D. 由题意，因为数列{an}满足an＋1＝an，所以＝， 所以an＝··…···a1＝××…×××1＝. ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝－＋1. 所以an＝－＋1，n∈N＋. － 因为an＝an－1＋－(n≥2)， 所以an－an－1＝－. 因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1， 即＝e(n≥2). 所以an＝··…··a1 当n＝1时不符合上式.所以an＝ (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝ 所以an＝ ④，，，，…； (2)已知数列{an}的通项公式是an＝nn，n∈N＋.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 根据题意，令 即 且a2＝a3＝2×2＝. (2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值. ②0，，，，…； ③1，，，，…； ④－，，－，，…； 因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，又n∈N＋， 因为an＝n，所以该数列的项为－，，－，，…，故该数列是摆动数列. 1.已知数列an＝n，则该数列是 3.数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是 A.an＋1＝2an B.an＋1＝－2an C.an＋1＝an D.an＋1＝－an 4.已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N＋).若数列{an}是常数列，则a等于 ∵数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N＋)， ∴a2＝. ∵数列{an}是常数列，∴a＝，解得a＝－2. Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝ an＝－2n2＋29n＋3对应的抛物线开口向下，对称轴为n＝－＝＝7， 由②÷①得，a9＝＝. 存在最大项.理由：a1＝，a2＝＝1， a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，…. ∵当n≥3时，＝× ＝＝2<1， 又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝. ∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项. (2)已知数列{an}中，a1＝，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式. 因为an＝an－1(n≥2)， 所以当n≥2时，＝， 所以＝，＝，…，＝，＝， ··…·· ＝××…××， 即＝××2×1，所以an＝(n≥2). 当n＝1时，a1＝，符合上式. 所以数列{an}的通项公式是an＝，n∈N＋. 11.若数列的通项公式为an＝，则这个数列中的最大项是 an＝＝， 因为n＋≥2＝28， 当且仅当n＝14时，n＋有最小值28， 所以当n＝14时，取得最大值. 12.在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 024等于 A. B.－1 C.2 D.3 由题意知a1＝，an＋1＝1－， 当n＝1时，a2＝1－＝－1； 当n＝2时，a3＝1－＝2； 当n＝3时，a4＝1－＝＝a1； 当n＝4时，a5＝1－＝－1＝a2； 16.已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值. 若a2为偶数，则＝1，a2＝2. 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)， 若a1为偶数，则＝2，a1＝4； 若a3为偶数，则＝4，a3＝8. 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)， 若a2为偶数，则＝8，a2＝16. 若a1为偶数，则＝16，a1＝32. $